恢复力模型研究现状及处在问题

恢复力模型研究现状及存在问题
摘要：恢复力模型是根据大量从试验中获得的恢复力与变形的关系曲线经适当抽象和简化而得到的实用数学模型，是结构构件的抗震性能在结构弹塑性地震反应分析中的具体体现。

本文对迄今为止国内外关于钢筋、混凝土和钢筋混凝土结构构件的恢复力模型的研究成果进行了汇总和简要评述，分析了现有恢复力模型存在的主要问题，在此基础上提出恢复力模型今后的研究建议。

关键词：钢筋混凝土；恢复力模型；骨架曲线；滞回规则
1前言
恢复力模型是根据大量的从试验中获得的恢复力与变形关系曲线经适当抽象和简化而得到的实用数学模型，是构件的抗震性能在结构弹塑性地震反应分析中具体体现。

若仅用静力非线性分析，模型一般是指力与变形关系骨架曲线的数学模型；而如果是用于结构动力非线性时程分析，恢复力模型不仅包含骨架曲线，同时也包含各阶段滞回环的数学模型。

就钢筋混凝土结构而言，恢复力模型的研究可以分为两个层次：第一层是材料的恢复力模型，主要用于描述钢筋及混凝土的应力-应变滞回关系，它是钢筋混凝土构件恢复力模型计算的基础；第二层次是构件的恢复力模型，主要用于描述构件截面的Mφ
-滞回关系或构件的P∆
-滞回关系。

2 钢筋混凝土材料的恢复力模型研究
很多学者对钢筋混凝土材料的恢复力做了各种各样的研究，并提出了各自的恢复力模型，以下仅将应用比较多的进行阐述和归纳。

2.1 反复荷载作用下混凝土单轴下滞回本构模型
2.1.1朱伯龙模型
1980年，朱伯龙在研究反复荷载作用下钢筋混凝土构件截面弯矩-曲率关系和荷载-挠度滞回曲线时，通过试验提出了一个混凝土单轴滞回本构模型。

该模型如图2.1.1所示，模型的骨架曲线、卸载及再加载曲线都采用曲线方程。

该模型除给出混凝土受压区卸载、再加载曲线方程外，还能够考虑混凝土受拉开裂后重新受压的裂面效应，所以是一个比较全面的模型，该模型主要公式如下(该模型规定受压为正，受拉为负)。

图2.1.1朱伯龙模型
(1) 骨架曲线 骨架曲线的方程为：
)(){}
1212122=12000.2c c c c c c
k f k k f εεεεεσεεεεεεε+≤⎧⎪⎪
⎡⎤--≤<⎨⎣⎦
⎪≥⎪⎩c c (2.1.1)
① 卸载曲线段方程(图2.1.1中AB 段)：
()()un c 0.2
1.8
0.2 1.8un un
un un un un un εεσεεεεσεεσεεεε-⎧≤⎪-⎪
=⎨-⎪>⎪-⎩c (2.1.2)
②在加载曲线方程(图2.1.1中BC 段)：
c c 21021+02210
220
con w con un c c con un c un un un un un un c un un un c εσεεεεεεσεεεεεεσεεεσεεεεεεεεεεεεσεεεεεεεεε⎧⎛⎫
-≤<⎪ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎛⎫
⎪-≤> ⎪⎪+⎪⎝⎭⎨
⎛⎫⎛⎫⎪-+><≥ ⎪ ⎪
⎪++⎝⎭⎝⎭⎪
⎛⎫>≥≥ ⎪++⎝⎭⎩
w
且 且且 且且⎪⎪⎪ (2.1.3)
上式中:c f 为混凝土的单轴抗压强度，c ε为混凝土峰值压应变，k 1为系数，取值范围为 0.8~1.0，
un ε、un σ为卸载点的应力、应变，con σ为0ε=时的接触应
40.322w c con c w c f εεσεε⎡⎤
-=+
⎢⎥+⎣
⎦。

w ε开始产生裂缝接触面的应变。

max ε为再加载时最大裂缝
所对应的应变。

2.1.2过-张模型
1981-1982年，过镇海、张秀琴等通过试验研究了不同种形式反复荷载对素混凝土试件的应力-应变曲线的影响，量测了素混凝土的应力-应变全曲线。

在分析卸载和再加载曲线的变化规律的基础上，提出了一个反复荷载作用下素混凝土单轴滞回规则。

随后又在该试验的基础上对不同配箍率的约束混凝土在反复荷载作用下的应力-应变全曲线进行试验研究，提出了一个考虑箍筋约束效应的混凝土单轴滞回本构模型。

该模型的主要缺点是只适用于混凝土受压区反复加卸载，对混凝土开裂后再加载部分未提供计算公式。

该模型如图2.1.2所示。

图2.1.2 过-张滞回本构模型
其主要公式如下： (l)骨架曲线：
①当约束指标v λ≤ 0.32时，骨架曲线方程：
()()(
)232322 1.01.01ac ac ac dc x x x x y x
x x x αααα⎧+-+-≤⎪=⎨>⎪-+⎩
(2.1.4)
式中：cc x ε
ε=，cc y f σ=，cc f 为混凝土约束抗压强度，()10.5cc v c f f λ=+，
cc ε为混凝土约束峰值压应变，()1 2.5cc v c ελε=+。

②当约束指标v λ>0.32时，骨架曲线方程：
0.66 1.1
0.120.370.51x x
y x
-=+ (2.1.5) 式中： ()0.55 1.96cc v c f f λ=+ (2.1.6)
()6.225cc v c ελε=-+ (2.1.7)
(2)滞回规则
① 卸载曲线段(图2.1.2中AB 段)
卸载曲线方程： =n
pl
u u pl
εεσσεε⎛⎫
-
⎪ ⎪-⎝⎭
(2.1.8) ② 再加载曲线方程(图2.1.2中BD 段)
1re cc εε≤时： 1.2
10.2s i n p l
p l r e r e p l r e p l εεεεσπσεεεε⎡⎤
⎛⎫
⎛⎫--=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ( 2.1.9) 1re cc
εε>时： 1.4
10.6s i n p l p l r e r e p l r e p l
εεεεσπσεεεε⎡
⎤
⎛⎫
⎛⎫--=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-
-⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎣
⎦ (2.2.1)上式中的各字母符号的含义：ac α、dc α为单轴受压应力-应变曲线上升段、下降段的参
数值，当混凝土强度等级为C20~C30时，()1+1.8ac v a αλα=，
()
0.551 1.75dc v d αλα=-，2.40.0125a c f α=-，0.7850.1570.905d c f α=-，cu ε为混凝土极限压应变，pl ε为混
凝土受压完全卸载残余塑性应变，re σ、re ε为再加载曲线与骨架曲线交点的应力、应
变，1n =+
2.1.3 Blakeley 模型
1973年，Blakeley 和Park 研究预应力构件在反复荷载下的性能时，以Kent-Park 模型作为骨架曲线，提出一个混凝土单轴滞回本构模型，如图2.1.3所示。

在该模型中，卸载、再加载曲线均简化为折线，该模型主要公式如下：
图 2.1.3 Blakeley 模型
(1) 骨架曲线
骨架曲线的方程为：
()()2220.0020.00210.0020.2c c c c f f Z f εεεε
σεεεεεε⎧⎡⎤-≤⎣
⎦⎪⎪
=--<≤⎡⎤⎨⎣⎦⎪
>⎪⎩
c c 2c (2.2.2)
(2) 滞回规则
当卸载点应变小于c ε时，卸载和再加载曲线都为直线，其斜率取混凝土初始弹性模量。

当卸载应变大于c ε时，以卸载点垂直向下卸到卸载点应力的一半，然后考虑刚度退化系数c k 按直线进行卸载和再加载。

c k 与卸载点坐标有关，计算公式如下：
()200.7
0.80.1un c c c
k εεεε-⨯=-
≥- (2.2.3)
20ε为相应于最大应力只剩20%的应变值，一般情况下极限应变值可取20ε。

式中： 50500.5
0.002
u
h Z εε=
+- (2.2.4)
3
5020.672106.89
c u c f f ε-⎛⎫+=⨯
⎪-⎝⎭
(2.2.5) 3503104h
ερ-= (2.2.6) 2.1.4 Mander 模型
1988年，Mander 等完成一系列钢筋混凝土柱轴心受压试验，试件考虑了螺旋箍、菱形箍、矩形箍多种配箍形式。

在试验结果的基础上，Mander 提出了一个适用于不同箍筋形式，
上升段和下降段采用一个方程表达的约束混凝土应力一应变全曲线。

同时还根据试验结果给出了约束混凝土的加载卸载滞回规则，该模型如图2.1.4所示。

图2.1.4 Mander 模型
图2.1.4 中ABCE 曲线表示混凝土受压卸载至受拉区然后再加载时应力-应变曲线，FGI 曲线表示混凝土受压不完全卸载时再加载时的应力应变曲线。

该模型主要公式如下：
(1) 骨架曲线
骨架曲线的方程： 1cc r
f xr
r x σ=
-+ (2.2.7)
cc
x ε
ε=
(2.2.8) 0
0see E r E E =
-
(2.2.9)
cc
see cc
f E ε=
(2.3.1)
0E =
(2.3.2)
151cc cc c c f f εε⎡
⎤
⎛⎫=+-⎢⎥
⎪⎝⎭⎣
⎦
(2.3.3) '
2 1.254l cc c c f f f f ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
(2.3.4)
1.40.004v yh syh
cu cc
f f σεε=+
(2.3.5)
对圆形截面： '0.5l e s f k f ρ=，4sp s A d s
ρ=，2
121s e cc s d k ρ⎛⎫- ⎪
⎝⎭=- (2.3.6)
对矩形截面： '''l lx ly f f f =+，'lx e x yh f k f ρ=，'
lx e x yh f k f ρ= (2.3.7)
sx
x c A sd ρ=，sy x c
A sb ρ=， (2.3.8)
()2
11116221n i i c c c c e cc
w s s
b d b d k ρ=⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪
⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦=
-∑ (2.3.9)
其中：'l f 为混凝土的有效侧向约束应力，yh f 为箍筋的屈服强度，v ρ为箍筋的体积配筋率，
sp A 为箍筋的截面积，i w 为矩形截面第i 段得约束筋净距。

c b 、c d 为矩形截面约束混凝土
的两个边长，cc ρ为纵向钢筋面积对约束混凝土面积的比，sx A 为x 方向箍筋截面总和，sy A 为y 方向箍筋截面总和，s d 为箍筋径向直径，syh ε为箍筋最大拉应力时拉应变。

(2) 滞回规则
① 卸载曲线段(图2.1.4中AB 或FG 段)
卸载曲线段方程为：
2
22
22
1un un r x r r x σσσ=-
-+ (2.4.1)
式中：
2sec 2
un
un E r E E =
-
(2.4.2)
其中sec 2E 为卸载点的割线模量公式： sec 2un
un pl
E σεε=
- (2.4.3)
2un
pl un
x εεεε-=
- (2.4.4)
()()
0un a un
pl un un a E εεσεεσε+=-+
(2.4.5)
0.09,cc un a cc un
cc εεεεεε⎧
⎫
=⎨
⎬+⎩⎭ (2.4.6)
un E 为卸载点初始弹性模量： 0.5
0max ,1cc un un un c E E f εσε⎛⎫
⎧⎫=⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎩⎭
(2.4.7)
a ε为公交点应变(初始弹性模量和卸载点模量交点)，式中其余符号含义同前。

再加载曲线由两部分组成，第一部分为直线，第二部分为抛物线。

② 再加载直线方程(图2.1.4CD 段GH 段)为：
()ro r ro E σσεε=+- (2.4.8)
式中 0.92
ro new
r ro un
E σσεε-=-，ro σ、ro ε和r E 为再加载起点应力、应变和斜率。

③ 再加载曲线段(图2.1.4中DE 段或HI 段) 再加载曲线方程：
2+re re E x Ax σσ=+ (2.4.9)
式中： ()()=
4r re
new re r un re E E A E σσεε-----⎡⎤⎣⎦
(2.5.1)
re x εε=- (2.5.2)
2re new
re un cc r c f E f σσεε-=+
⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭，re σ、re ε、re E 为再加载曲线与骨
架曲线交点的应力、应变和切线模量。

2.1.5滕-邹模型
滕智明、邹离湘(1996)在分析反复荷载钢筋混凝土构件的非线性性能时采用了Yankelevsky 和Reinhardt 提出的焦点模型，并对该模型进行了一定的简化并补充了部分滞回规则，所谓的“焦点”是位于受压应力-应变曲线在原点的切线及其在延长线上。

腾-邹滞回本构模型如2.1.5图所示。

图 2.1.5腾-邹滞回本构模型
在上图中的对应焦点：1F 、2F 、3F 、4F 、5F 的应力水平分别为3.0c f 、c f 、0.75c f 、
0.2c f 、t f 。

该模型主要公式如下
(1) 骨架曲线
骨架曲线所采用的方程和过-张模型采用的一致。

(2) 滞回规则
① 受压卸载、再加载曲线段
当ε≤0.55c ε时，按初始弹性模量卸载，按弹性刚度卸载、再加载。

当ε>0.55c ε时，按焦点指示的路径进行卸载和再加载，如果沿骨架线上任一点A (A ε,A σ)卸载，卸载沿
A D
B --路径进行，点B 为2AF 连线与ε轴的交点，B ε为卸载至σ=0时的残余应变：
1
c A A B c A
f f εσεεσ-=
- (2.5.3)
式中10
c
f E ε=
，D 点为直线1CF 与4BF 的交点，这里C 为直线3BF 上应变等于A ε的点，故
()10.750.75c
C A B B
f σεεεε=
-- (2.5.4)
D 点的坐标(D ε,D σ)的表达式为：
11212
33B c
D D D f D D εεε--=
-；()2D D B D σεε=- (2.5.5)
如果卸载至B 再加载时，再加载线将沿折线B C E --进行，
E 为包络线上应变等于1.15A ε的点；如果卸载至B 点后，反向加载，则应力应变将沿直线B
F 进行，F 为包络线上峰值拉应力点(t ε,t f )。

②受拉卸载、再加载路径
当卸载点应变t εε≤时，按弹性刚度卸载再加载；t εε>时，按焦点法确定卸载、再加载途径。

焦点5F 为与过原点的包络线切线上，设自下降段上任一点D (D ε,D σ)卸载，卸载沿直线GH 进行，H 为5GF 连线与ε轴的交点，即
t G G t
H G t
f f εσεεσ-=
- (2.5.6)
如果卸载至H 点后，反向加载，应力应变将沿折线H I J --进行，I 点为软化段HI 的终点，其坐标为(I ε,8t f -),()54I G H εεε=-。

IJ 段反映裂面效应使刚度增大，J 点位于σ轴上，J ε为ε=0时的裂面接触传递的压应力： 0
211J c f εεεσσεεε⎛⎫=-
+
⎪+⎝
⎭ (2.5.7)
对以上关于混凝土的各本构关系的特点进行分析：
⑴朱伯龙模型：
①朱伯龙模型只是对混凝土单轴受压时进行应力-应变的表述并给予曲线方程的数学表达，没有考虑混凝土受拉时的应力-应变的关系。

②该模型考虑受拉开裂后重新受压时的裂面效应。

③该模型没有考虑部分卸载和部分再加载的情况。

⑵过-张模型：
①该模型是考虑箍筋约束效应的混凝土在重复荷载下单轴滞回本构模型。

②所给出的方程仅适用于混凝土受压范围内的重复加卸载过程，且要求完全加卸载：即卸载至应力为零，再加载至与包络线相交。

没有考虑部分卸载、部分再加载的情况。

③没有考虑混凝土受拉的情况。

④考虑了卸载和再加载时的刚度退化和强度降低。

⑶ Blakeley模型：
①本模型是研究预应力构件在反复荷载下得到混凝土单轴本构模型。

②与过-张模型对比可以发现该模型计算参数少、简单易用。

③该模型虽然考虑部分卸载和再加载，但没有考虑再加载时的强度退化问题。

④该模型虽然考虑拉应力的影响，但拉应力并没有超过抗拉强度，因此仍属于重复加载，而不是拉压反复加载。

⑷Mander模型：
① Mander模型是在对钢筋混凝土轴心受压试验基础上提出适用于不同箍筋形式的约束混凝土单轴本构模型。

②考虑因素比较全面，不仅考虑箍筋形式还有箍筋间距、屈服强度、布置方式、箍筋率以及有效约束混凝土面积的相对大小等因数，应用性比较广。

③卸载和再加载途径过程中考虑卸载刚度退化、再加载的刚度退化以及强度降低问题。

④ Mander模型与前面的模型相比，虽然增加了部分卸载情况，但是没有考虑部分加载等其它一般情况加载下混凝土应力-应变关系，考虑的加载路径不够全面。

⑸滕-邹模型：
①滕-邹模型是在焦点模型基础上进行改进得到的，主要特点是考虑混凝土受拉对应力-应变关系曲线的贡献以及裂面效应。

②没有考虑卸载途中再加载的规则。

③ 再加载线上的回归点应变ε=1.15A ε表明回归点应变始终与卸载点应变保持相同的比例，这与事实不符。

④ 该模型还考虑受拉情况下的反复加载受力路径，是一个比较全面的混凝土本构模型。

2.2 反复荷载作用下钢筋滞回本构模型
相对于混凝土模型，反复荷载作用下钢筋的滞回本构模型要容易描述一些，其力学性能的数学描述也同样包括骨架曲线和滞回规则两部分。

从试验中得到的基本规律为:骨架曲线和单调加载下的应力-应变曲线基本相同，而钢筋屈服以后，如果卸载再反向加载会出现曲线的应力-应变关系，也就是屈服强度降低的现象，即Banshinger 效应。

因此一个合理的钢筋滞回本构模型应该具备以下几个要求：(1)能反映钢筋的弹性段、屈服强化段；(2)弹性卸载反向加载时，随历史最大塑性应变的增加，加载曲线的曲率降低，能考虑Baushinger 效应。

下面详细介绍几个有代表性的钢筋滞回模型。

2.2.1 Menegotto-Pinto 模型
Menegotto 和Pinto 于1973年提出一个反复荷载作用下钢筋的滞回本构模型，由于该模型不能模拟各向同性的钢筋应变硬化特性，1983年Filippou 曾对该模型作出了修正。

修正后模型计算效率较高，便于使用且与钢筋的反复加载结果较为吻合，应用较为广泛，该模型如图2.2.1所示。

图2.2.1Menegotto-Pinto 模型
其主要公式如下：
(1) 骨架曲线
骨架曲线方程： ()=s y s y T y y s E f E f E f E εεσεεε⎧≤⎪⎨+->⎪⎩ ()
()
(2.5.8)
(2) 滞回规则
滞回曲线方程： ()()
*
**1*11R βεσβεε-=++ (2.5.9)
式中 *0r r εεεεε-=-，*0r r
σσσσσ-=-，其中(0σ，0ε)为两条渐进线的交点，β为应变强化率，T s E E β=，T E 为钢筋的强化模量，r σ、r ε为双线性骨架线反向点处钢筋的应力、应变，R 为影响过渡曲线形状的参数，102a R R a ξξ
=-
+，0R 是首次加载时的初始参数，由试验确定。

2.2.2 Seckin 模型
Seckin 于 1981年建立了一个反复荷载作用下钢筋滞回本构模型，如图2.2.2所示。

该模型能够较好的描述反复荷载作用下钢筋的力学特征，是一个精度较高的模型，所以该模型被很多学者在分析钢筋混凝土结构及构件的非线性分析中采用。

但是该模型比较复杂，应用到建筑结构非线性地震反应分析时效率较低。

图2.2.2 Seckin 模型
该模型的主要公式如下:
(1)骨架曲线
骨架曲线方程为：
()=s y s y T y y s E f E f E f E εεσεεε⎧≤⎪⎨+->⎪⎩ ()
()
(2.6.1)
(2)滞回规则
① 卸载曲线段(图2.2.2中BC 段) 卸载部分为直线，方程如下：
式中： u n E 为卸载模量，其具体计算公式如下：
式中：un ε为加载历史上钢筋所达到最大应变，0ε为对应卸载初始点的塑性应变。

② 正向再加载曲线段(图2.2.2中CD 段)
再加载曲线方程：
③ 反向再加载曲线段(图2.2.2中FB 段) 反向再加载曲线方程为：
2.2.3、双线性随动强化模型
为简化分析，很多学者将钢筋本构模型中的曲线简化为折线，提出了一些 简化模型。

在这些简化模型中，双线性强化模型由于计算效率较高，又能抓住钢筋在反复荷载作用下的主要力学特征，应用较为广泛。

如图2.2.3所示
图2.2.3双线性随动强化模型
其主要公式如下：
(1) 骨架曲线
骨架曲线的方程为：
(2) 滞回规则
卸载部分及反向加载部分均为直线，计算公式为：
式中：1i σ-、1i ε-为第i 时间步开始时应力、应变，i σ、i ε为第i 时间步结束时应力、应变，s E 为钢筋弹性模量。

3、钢筋混凝土构件的恢复力模型研究现状
一个钢筋混凝土结构构件的恢复力模型必须具备：①具有一定精度，能体现实际结构或构件的滞回性能，并能在可接受的限度内再现实验结果；②简便实用，不会因模型本身的复杂性而造成结构动力非线性分析不能有效进行。

钢筋混凝土结构构件的恢复力模型一般分为曲线型和折线型两种，其中曲线型比较接近结构的实际受力特性，结果比较精确，但是刚度计算比较复杂，因此，应用很少；折线型恢复力模型由若干直线段所构成，刚度变化不连续，存在拐点问题，但刚度计算比较简单，故在实际工程中得到广泛应用。

下面主要对折线型恢复力模型进行阐述。

折线型恢复力模型在实际的工程中已提出的有双线型、三线型、四线型、指向原点型等
3.1 双线性(Bi-linear) 模型
1962年，首次由Penizen 根据钢材试验结果并考虑钢材包辛格效应和应变硬化，提出双线性(Bi-linear)模型，该模型的特点是加载和卸载时都采用初始刚度0K ，实用简单。

因此双线型模型不仅适用于以采用钢材为框架且破坏形式以弯曲屈服型的结构，也可以用于钢筋混凝土结构，双线型具体可以分为理想弹塑性、硬化双线型和退化双线型。

图3.1 所示为硬化双线型。

图3.1 双线性模型
其中：
P1(+)、P1(-) ——正向和负向的第一屈服强度；
D1(+)、D1(-)——正向和负向的第一屈服变形；
K0——初始刚度；
K2(+)、K2(-)——正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=α1(+)∙K0，K2(-)=α1(-)∙K0；
α1(+)、α1(-)——正向和负向第一屈服后刚度折减系数
加载卸载路径规则：
①时，为线弹性状态，沿着经过原点斜率为K0的直线移动。

②变形D第一次超过D1(+)时或者超过以往发生的最大变形时，沿第二条直线上移动。

③在D1(+)<D, D<D1(-)区段内卸载时，遵循玛辛(Masing)准侧，以弹性刚度为斜率卸
载，继续反向加载时到达第二条折线和卸载线的延长线的交点后，将沿第二条折线移动。

3.2 Clough模型
为了反映钢筋混凝土框架在反复荷载下非线性阶段考虑再加载时刚度退化问题，1966年Clough和Johnston提出退化双线型模型。

屈服后卸载路径按退化的斜率移动，反向加载时指向历史最大变形点，即考虑反向加载时刚度退化。

由于Clough模型概念简单，且抓住钢筋混凝土构件截面滞回关系的关键特性，因此得到了非常广泛的应用。

Clough模型如图3.2所示。

图3.2 Clough模型
其中：
P1(+)、P1(-)——正向和负向的第一屈服强度；
D1(+)、D1(-)——正向和负向的第一屈服变形；
K0——初始刚度；
K2(+)、K2(-)——正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=α1(+)∙K0，K2(-)=α1(-)∙K0；
α1(+)、α1(-)——正向和负向第一屈服后刚度折减系数；
Kr(+)、Kr(-)——正向和负向卸载时的刚度。

，
其中，D max (+)、D max(-)：正向和负向的最大变形，没有屈服的区段使用屈服变形；
β ——计算卸载刚度的幂阶。

Clough模型一般只适用于具有梭形滞回曲线的单纯受弯构件。

3.3 三折线模型
3.3.1标准三折线模型
由于钢筋混凝土构件在受弯过程中一般要经历开裂、屈服、破坏三个关键阶段，在双线型模型的屈服点之前再增加一个开裂点，便形成三线型恢复力模型。

初次加载时沿着三折线骨架曲线移动，卸载刚度使用弹性刚度，随着荷载的加大强度也加大，因此可以用于模拟钢材的包辛格效应(Bauschinger effect)。

图3.3.1标准三折线模型
其中：
P1(+)、P1(-)——正向和负向的第一屈服强度；
P2(+)、P2(-)——正向和负向的第二屈服强度；
D1(+)、D1(-)——正向和负向的第一屈服变形；
D2(+)、D2(-)——正向和负向的第二屈服变形；
K0——初始刚度；
K2(+)、K2(-)——正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=α1(+)∙K0，K2(-)=α1(-)∙K0；
K3(+)、K3(-)——正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=α2(+)∙K0，K3(-)=α2(-)∙K0；
α1(+)、α1(-)——正向和负向第一屈服后刚度折减系数；
α2(+)、α2(-)——正向和负向第二屈服后刚度折减系数。

加载与卸载规则：
①时，按常规的双折线路径移动。

②时，沿第三条折线移动。

③卸载时遵循遵循玛辛(Masing)准侧，以弹性刚度为斜率卸载。

3.3.2武田三折线模型
武田三折线是由武田在1970年利用一条可以考虑开裂、屈服的和一些复杂的滞回规则对Clough模型进行改进而得到的。

武田模型如图3.3.2所示。

武田三折线模型是根据构件试验结果整理的恢复力模型，卸载刚度由卸载点在骨架曲线上的位置和反向是否发生了第一屈服决定。

对正向和负向可定义不同的屈服后的刚度折减系数。

图3.3.2 武田三折线模型
P1(+)、P1(-)——正向和负向的第一屈服强度；
P2(+)、P2(-)——正向和负向的第二屈服强度；
D1(+)、D1(-)——正向和负向的第一屈服变形；
D2(+)、D2(-)——正向和负向的第二屈服变形；
K0——初始刚度；
K2(+)、K2(-)——正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=α1(+)∙K0，K2(-)=α1(-)∙K0；
K3(+)、K3(-)——正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=α2(+)∙K0，K3(-)=α2(-)∙K0；
α1(+)、α1(-)——正向和负向第一屈服后刚度折减系数；
α2(+)、α2(-)——正向和负向第二屈服后刚度折减系数。

β——计算卸载刚度的幂阶；
α——内环卸载刚度折减系数，用于对内环的卸载刚度进行折减，
武田模型最大的特点是在Clough模型上进行考虑卸载过程刚度退化问题。

因此武田模型是钢筋混凝土结构弹塑性地震反应中最为广泛的模型。

武田模型存在的问题：该模型没有考虑到反复荷载作用过程中强度退化、裂缝张合造成的滞回环捏缩和纵向钢筋滑移等影响，因而不适合轴压比比较大，滑移变形较大和剪切变形较大的构件，没有考虑结构大变形可能出现的负刚度现象。

3.3.3修正的武田三折线模型
修正武田三折线模型对武田三折线模型的内环的卸载刚度计算方法做了修正。

图3.3.3修正的武田三折线
P1(+)、P1(-)——正向和负向的第一屈服强度；
P2(+)、P2(-)——正向和负向的第二屈服强度；
D1(+)、D1(-)——正向和负向的第一屈服变形；
D2(+)、D2(-)——正向和负向的第二屈服变形；
K0——初始刚度；
K2(+)、K2(-)——正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=α1(+)∙K0，K2(-)=α1(-)∙K0；
K3(+)、K3(-) ——正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=α2(+)∙K0，K3(-)=α2(-)∙K0；
α1(+)、α1(-)——正向和负向第一屈服后刚度折减系数；
α2(+)、α2(-)——正向和负向第二屈服后刚度折减系数。

β——计算卸载刚度的幂阶；
α——内环卸载刚度折减系数，用于对内环的卸载刚度进行折减。

滞回规则：
①时，为线弹性状态，沿着经过原点斜率为K0的直线移动(Rule:0)。

②变形D初次超过D1(±)时，沿着第二条折线的斜率K2(+)、K2(-)移动(Rule:1)；在第二条折线移动时卸载，将沿着指向反向最大变形点移动，反向没有发生屈服时，反向第一屈服点为最大变形点(Rule:2)；在到达反向最大变形点之前，重新加载，将沿着相同的卸载直线移动(Rule:3)；当到达骨架曲线位置时，重新沿着斜率为K2(+)、K2(-)的骨架曲线移动(Rule:4)。

③变形D初次超过D2(±)时，沿着第三条折线的斜率K3(+)、K3(-)移动(Rule:10)；此时卸载时，将沿着斜率为Kr(+)、Kr(-)的直线移动(Rule:11)；反向没有发生过第二屈服时，反向的第二屈服点为最大变形点。

其中：
β：计算卸载刚度的幂阶(β=0.4，Default)
④超过恢复力为0的点时，将向反向最大变形点移动(Rule:14)；在向反向最大变形点移动时卸载，则开始进入内环(Rule:15)；在内环中到恢复力为0的点之前，沿斜率为K un(-)、K un(+)的直线卸载，超过恢复力为0的点后，将向反向的最大变形点移动(Rule:16)。

3.4 四折线模型
对于钢筋混凝土结构或构件，三线型模型更能准确地概括其力学特性，但大多数钢筋混凝土结构在到达最大承载力后存在下降段，成为负刚度阶段，三线型模型无法表示出下降段的力学特性。

因此，利用退化四线型模型，可以考虑这方面的影响。

四折线模型如图3.4所示。

3.4.1武田四折线模型
图3.4.1武田四折线模型
P1(+)、P1(-)——正向和负向的第一屈服强度；
P2(+)、P2(-)——正向和负向的第二屈服强度；
D1(+)、D1(-)——正向和负向的第一屈服变形；
D2(+)、D2(-)——正向和负向的第二屈服变形；
K0——初始刚度；
K2(+)、K2(-)——正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=α1(+)∙K0，K2(-)=α1(-)∙K0；
K3(+)、K3(-)——正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=α2(+)∙K0，K3(-)=α2(-)∙K0；
α1(+)、α1(-)——正向和负向第一屈服后刚度折减系数；
α2(+)、α2(-)——正向和负向第二屈服后刚度折减系数。

β——计算卸载刚度的幂阶；
α——内环卸载刚度折减系数，用于对内环的卸载刚度进行折减。

3.4.2.修正的武田四折线
修正的武田四折线是对武田四折线进行内环滞回时的卸载刚度修正。

图3.4.2修正的武田四折线模型
P1(+)、P1(-)——正向和负向的第一屈服强度；
P2(+)、P2(-)——正向和负向的第二屈服强度；
D1(+)、D1(-)——正向和负向的第一屈服变形；
D2(+)、D2(-)——正向和负向的第二屈服变形；
K0——初始刚度；
K2(+)、K2(-)——正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=α1(+)∙K0，K2(-)=α1(-)∙K0；
K3(+)、K3(-)——正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=α2(+)∙K0，K3(-)=α2(-)∙K0；
α1(+)、α1(-)——正向和负向第一屈服后刚度折减系数；
α2(+)、α2(-)——正向和负向第二屈服后刚度折减系数。

β——计算卸载刚度的幂阶；
α——内环卸载刚度折减系数，用于对内环的卸载刚度进行折减。

其加载和卸载规则与修正的武田四折线模型类似。

我国对钢筋混凝土构件恢复力模型的研究始于唐山地震之后，我国学者在20世纪80年代对混凝土压弯构件进行大量的试验研究。

1980年，卫云亭和李德成在排架低周反复荷载试验研究提出了骨架曲线为双折线，第二刚度与轴压比相关的压弯构件的水平力—位移恢复力模型。

1981年，朱伯龙和张琨联在中长柱试验基础上，利用统计方法得到了骨架曲线为4折线和一系列标准滞回环，并且考虑卸载刚度退化的压弯构件水平力-位移恢复力模型。

1983年，成文山和邹银生在109根压弯构件试验研究基础上提出了考虑再加载定点指向型和刚度退化的恢复力模型。

图3.5恢复力模型
1991年，杜修力和欧进萍在钢筋混凝土结构疲劳寿命曲线基础上，提出了一种骨架曲线包含负刚度段，且能够同时考虑刚度和强度退化的恢复力模型。

1998年，郭子雄和童岳生在钢筋混凝土低矮抗震墙低周反复加载试验研究基础上提出了带边框低矮剪力墙的层间剪力—层间位移恢复力模型。