第5章控制规律的离散化设计方法(z变换、大林).

Q5* 扭•规W 耐离傲化设廿方港第5章控制规律的离散化设计方法5・1离散系统「枷扫土 5・2离散系统性能力析 5・3数字控制器直接设讨5・4大林(Dahlin)算法 5・5数字控制器D ⑵算法实现Q5* 扭•规 W 耐离傲化设廿方港5.1离散系统分析基础在连续系统分析屮，应用拉氏变换作为数学工具, 将描述系统的微分方程转化为代数方程，建立了以传 递西数为基础的复域分析法，使得问趣得以人人简化。

那么在离散系统的分析屮是否也有类似的途径呢？答案是肯定的，在离散系统屮，采用Z 变换法，也町以将 差分方程转化为代数方程，同样町以建立以Z 传递函数 为堆础的复域分析法。

連曲 3g5*散化设廿方港 ___________________________5.1.1 Z 变换及性质1・Z 变换左义Z 变换是拉氏变换的一种变形，是山采样函数的拉 氏变换演变而來的。

连续信弓⑴的拉氏变换式EG)是 复变就$的冇理函数。

A —泄条件下，微机控制系统中 的采样可假设为理想采样。

将连续信号巩。

通过采样周 期为T 的理想采样后町得到采样信号€>*(/),它是一组理 想加权脉冲序列，每一个來样时刻的脉冲强度等丁该 采样时刻的连续函数值，英表达式为8y (f) =工 e{kT) ^{t-kT)jt=f )金MS* Mir«d k 敷化讼廿方港—to*j (a )'''对式(5—1)进行拉氏变换，得£(巧= □》(/)] = £ MkT) •严k=0式中含冇无穷多项，R 每一项中含冇以®它足$的 超越函数，而不是冇理函数，为了运算方便，引入新的 变量乙，令ee®则式(5—2)可改'弓为(5—1)(5—2)E(Z ) = £ £伙7>Z "上=0(5—3)在式(5—3)中E(z)称为八W的Z变换。

记作：Z [e*(0] =£(z)W为Z变换只对采样点上的信号起作用，所以也町写为：Z ［亡⑴］=F(z)将式(5—3)展开，得E(Z)N(O)Z①+M1)Z」+巩2)尹+...+巩"!比m+ (5)4)曲此看出，采样函数的Z变换是变駅Z的‘4^级数(或称罗朗级数).氏一般项心T)F的物理意义足心T)表征采样脉冲的幅值！Z的:fif次表征采样脉冲出现的时刻。

因为它既包含了量值信息e(kT),乂包含了时间信息邪。

/Va. M5* I2M MITftd TT敷化讼好方港2.Z变换的计算方法求任总函数貞”的Z变换，通常分三步进行：①£（『）被理想采样器采样，给出离散采样函数疋“小6②求gp）的拉氏变换，给岀£*（5）= £le*（Z）］ = J③在E心）中Hk替换给出E（z）= X心帛汎M5* Miras MMlt■»■«•：»•>*•I）级数求和法级数求和法是根据z变换的定义式求函数0（f）的z变换。

严格说來，时间函数或级数町以足任何函数，｛H 足只們EG）表达式的无穷级数收敛时，它才叮农示为封闭形式。

下而通过典型信号的Z变换式來说明如何应用级数求和法计算Z变换。

帛汎站5* Gig讼卄方港【例5—1】求单位阶跃瓯数的Z变换解设"f)二1,求Z变换E⑵。

山定义可得:00£(Z)= Y 1 伙卩)・z" =1 + 乙"+込4 + z"+… k"(5—5)这是个公比为z"的等比级数…'"|1刊V1亦即匕1>1时, 级数收敛，则式(5—5)可写成闭合形式：(5—6)Z-臣皂3^5* 垃傲化设廿方港【例5—2】求单位理想脉冲序列的Z变换。

«0解设&")= »")=艺(z-AD& =0求Z变换Ed)，则E(z) = y I 伙IT)才=|+厂十^-2 + 乙-'+..・=A=o Z 一(5—7)比较式(5—6)和式(5—7)町以看出，不同的曲)，n| 以得到和同的E⑵。

这是由于阶跃倍号采样后严⑷与理想脉冲串绘一样的.所以Z变换只是对采样点上的信息冇效只要护W 相同，E⑵就和同，但采样前的"『)对以足不同的。

疟皂弟5* etiMKira&TiniM■讼廿方港【例5—3】单位斜坡信号。

解设求Z变换£(乙)，则E(Z)=£伙巧・z"k 二00OE(z) = Y (―M)辽/t=0 ("1)2 (乙>1)(5—8)【例5—4】指数函数。

解设W)二严，求Z变换E⑵，a为实常数，贝1]£(^) = £严•亍=1 +严丁•乙」+尸刃•厂+严.Z一3*=0(5—9) 这是一个公L-匕为的等比级数，半叫＜1时，级数收敛，则式(5—9)可写成闭介形式：(5—10)2)部分分式展开法川部分分式展开法求Z变换，即L2知时间函数的拉氏变换E(s),求该时间函数£⑴的Z变换。

它足通过$域和时间域之间的关系，來建立S域和辽域之间的关系的° 其解法的具体步骤足：U知口$),将Z分解成部分分式Z和，賁变换表求时间曲数吃)="[EG)],利用式(5—3)或查Z变换表求ili£(3)o 设连续时间函数⑴的拉氏变换E(£)为冇理分式函数(5—11)帛汎 M5*££*1 JVtir*d 7*敷化讼卄方港*^n>\jBD''式(5—1 1)中，MG)和NG)分别为父变帚S 的冇理多 项式。

当E(s)没冇重根时，即EG)没仃重极点，可将EG) 展开成部分分式利的形式，即£($) = £ △/=1 S- P,式(5—12)屮，巾是拉氏变换式EG)的第/个极点，即 MC 的零点；儿是第f 项系数，町用待定系数法求得，即 当N($) L L 分解为因式乘积时NC$)或者当NG)耒分解力因式乘积时_M(s) '~ /V\.s)式(5—14)屮N®是NG)对S 的导数。

市拉氏变换知道，4 "(M)相对应的时间函数为 Aiepit.根据式(5—10)便可求衍与A/G 诃)项对应的Z 变 换为4 二4?1 一护^一1 Z — €卩卩(5—12)(5—13)wpi(5—14)S=PiJg5*垃個机律曲血敷化讼廿方港因此，函数eW 的Z 变换便可山£($)求得，并可写作"4 ” £U )= Z|£(.)1 = X 匸加=艺/=! ' _ 亡•1=13g5*垃個机律曲血敷化讼廿方港【例5—5】已知£($) =—-—，求它的Z 变换E(z)。

£($ + «) 解先对E($)进行部分分式分解:£(巧=〒^ = -------------------s(s +d) s y + d4込Z -严(5—15)/V汎MS* l£« JVtlTttd K敷化讼廿方港"wXJCD ■■查表得I I 7£,U) = Z[-1 = -—=—s \-z z-1〔2 ⑵=Z[ —] = - _a丁 _] = Z$ + d \-e z z-z一、、z 1 z(l—E®)£(z) = ZEG) = y - = o ne 严Z - I I -e Z(z-l)(乙一£_ Z(1-严)■込2-(1+€5)2 + 严丁/Vit MS* JVtlTttd K敷化讼廿方港—wUCD ■■3）留数计算法若己知连续时间函数W⑴的拉氏变换式EG）及：11全部极点卩口=1, 2,…，小则E⑴的Z变换还町以通过下列留数计舁求得，即n7£(z) = S Re5[£(p,.)^^l/=! 乙一小« 1 7=y {-------------------------- 心一p)£(s)—]}纟©-1)! d” 八z-严 r(5—16)式屮，H为全部极点数，为极点S =Pi的贡数，T 为采样周期。

W此，在已知连续凶数£(『)的拉氏变换式£(可全部极点宀的条件下，可采用式(5—16)求0(0的Z变换式。

弟5* 垃•散化设廿方港【例5—6】已知控制系统的传递函数为E(s) = ---------- !~~-(5 + 1)(5 +4) ,求瓦Z变换式・解山传递*1数求出的极点为：6=1, r, = l；$2=4, /*2二1。

Z变换式为£（2）= （$ + 1） -__—一—（5 + 1）（5 + 4）+（5 + 4） -------- --------（5'+ 1）（5 + 4）Z3（z-茁了）3（z-严）金 ar5*Mir«d TBTHM 匕讼卄方港【例5-71求连续时间函数e(Z )= rI 宀 t n 0对应的z 变换式。

解丘⑴的拉氏变换为E(s)= ---------(s+d)・则52=2。

丿IJ 式(5—16)对它进行变换后，得3. Z 变换基本定理与拉氏变换类似，在Z 变换屮右•一些基本定理，它 们町以使Z 变换变得简单和方便。

1) 线性定理若L L 知勺⑴和勺⑴冇Z 变换分别为d ⑵和d ⑵，且5 和。

，为常数，贝IJ■Z ［⑷^⑴土如勺(f)］ =«|E ］⑵土6/2^2(^)(5—17)Ee 為•去($5($打二亠“一(z-"y(Z —严)2VXZAZCR 富 8帛汎 ar5*iftM Mir«d 7<敷住设卄方港•^n>*jBD■2) 右移位定理若Z [>(”] =£(z).则Z \_e{t-nT}'} ynE ⑵英屮，n 为止整数。

说明：该定理农明，"广域小ft<J 采样信号⑴时间 上延迟《步，则对应于在“Z"域屮e •(OfTjZ 变换E(z)乘 以〃步时迟因子乙叫/%iv ar5* Mir«d7<敷住设卄方港■^n>\jBD ■3) 九移位定理若Z &(『)] =E(z),贝ijZ(e(t + nT)]= z”{E(z) —“0)-dT)J-NCH2_..._£[G — i )7jz77 = Z”[E(z)-X e 伙T)Z“]Jt=O(5—18)英中，〃为疋整数。

(5—19)F |—I *rrT)I ----- iU)/%iv MS* 仪《1 MITftdTT 敷化设卄方港—TO* J CD【例5—8】求被延迟一个采样周期卩的单位阶跃函 数的Z 变换。