高考数学一轮复习112排列与组合课件理新人教B版

3
(1)由题意知,不考虑特殊情况,共有C12 种取法;其中每一种卡片各取
色卡片至多1张,不同的取法种数为(
)
3 张,有 4 种取法;两张红色卡片,共有C32 C91 种取法,故所求的取法共有
3
-4-C32 C91 =189(种).
C12
(2)(2017北京东城区二模,理11)某校开设A类选修课4门,B类选修
m-1
n
.
知识梳理
考点自测
1
2
3
4
5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(
)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(
)
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(
)
(4)若组合式C = C ,则 x=m 成立. (
(5)A
)
=n(n-1)(n-2)×…×(n-m). (
)
关闭
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
答案
知识梳理
考点自测
1
2
3
4
5
2.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数
为(
)
关闭
由题意知,要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为 1,3,5,
其他位置共有A44 种排法,所以其中奇数的个数为 3A44 =72,故选 D.
个.(用数字作答)
关闭
①没有一个数字是偶数的四位数有A45 =120 个;
②有且只有一个数字是偶数的四位数有C41 C53 A44 =960 个.
所以至多有一个数字是偶数的四位数有 120+960=1 080(个).
关闭
1 080
解析
答案
考点1
考点2
考点3
考点 1
排列问题
例13名女生和5名男生排成一排.
(2)不同的选法可分为两类:
课2门,每名同学需从两类选修课中共选4门.若要求至少选1门B类
A 类选修课选 3 门,B 类选修课选 1 门,共有C43 C21 种不同的选法;
课程,则不同的选法共有
种.(用数字作答)
A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 2 门,共有C42 C22 种不同的选法,
(3)(2017浙江,16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,
2 2
(
)
歌曲插入小品两边,有A
2 A 2 =4 种编排方法,根据分类ห้องสมุดไป่ตู้法计数原理
关闭
可知,共有
(1)D (2)C40+4+4=48 种编排方法,故选 C.
解析
答案
考点1
考点2
考点3
考点 2
组合问题
例2某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合
格商品.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种?
(1)若女生全排在一起,有多少种排法?
(2)若女生都不相邻,有多少种排法?
(3)若女生不站两端,有多少种排法?
(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻),有多少种排法?
(5)其中甲不站最左边,乙不站最右边,有多少种排法?
考点1
考点2
考点3
解: (1)(捆绑法)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体,这样同
不合格商品必须在内的不同取法有 561 种.
3
3
3
2
(2)从 34 种可选商品中,选取 3 种,有C34
种或者C35
− C34
= C34
=5
984 种取法.
故某一种不合格商品不能在内的不同取法有 5 984 种.
(3)从 20 种合格商品中选取 1 种,从 15 种不合格商品中选取 2 种,有
1 2
对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编,则每种
若是
1,1,3,则有C53 × A33 =60 种不同的分派方法;
C 25 C 23
400 种不同排法.
(3)(方法一:位置分析法)因为两端不排女生,只能从 5 名男生中选 2
人排,有A25 种排法,剩余的位置没有特殊要求,有A66 种排法,因此共有
A25 ·A66 =14 400 种不同排法.
考点1
考点2
考点3
(方法二:元素分析法)从中间 6 个位置选 3 个安排女生,有A36 种排法,
其余位置无限制,有A55 种排法,因此共有A36 ·A55 =14 400 种不同排法.
(4)8 名学生的所有排列共A88 种,其中甲在乙左边与乙在甲左边的各
1
1
2
2
占 ,因此符合要求的排法种数为 A88 =20 160.
(5)甲、乙为特殊元素,左、右两边为特殊位置.
(方法一:特殊元素法)甲在最右边时,其他的可全排,有A77 种不同排法;
(方法二:特殊位置法)先排最左边,除去甲外,有A17 种排法,余下 7 个位
置全排,有A77 种排法,但应剔除乙在最右边时的排法A16 ·A66 种,因此共
有A17 ·A77 − A16 ·A66 =30 960 种排法.
(方法三:间接法)8 名学生全排列,共A88 种,其中,不符合条件的有甲在
最左边时,有A77 种排法,乙在最右边时,有A77 种排法,其中都包含了甲
2
成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(
)
C 24 C 12 C 11
3
种情况,故不同的安排方式共有
·A3 =36(种),故选 D.
A.12种
B.18种
C.24种D.36种
A 22
(2)人数分配上有两种方式,即
1,2,2 与 1,1,3.
(2)为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派5名教师
故不同的选法共有C43 C21 + C42 C22 =14(种).故答案为 14.
普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有
(3)由题意可得,总的选择方法为C84 C41 C31 种方法,其中不满足题意的选
种不同的选法.(用数字作答)
法有C64 C41 C31 种方法,则满足题意的选法有C84 C41 C31 −
知识梳理
考点自测
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
性质
(1)m
…·(n-m+1)=
n =n(n-1)(n-2)·
n!
(n-m)!
(2)nm
=
m
n
m
m
=
n(n-1)(n-2)·…·(n-m +1)
m!
(1)0!=
;
1
nn =n×(n-1)×(n-2)×…×2×1=n!
n-m
(2)nm = n
关闭
4 1 1(2)14 (3)660
C(1)C
6 C4 C3 =660(种).
解析
答案
考点1
考点2
考点3
考点 3
分组分配问题
关闭
C 24 C 12 C 11
例3(1)(2017全国
Ⅱ3,理6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完
(1)先把
4 项工作分成
份,有 A 2 种情况,再把 3 名志愿者排列有A33
关闭
D
解析
答案
知识梳理
考点自测
1
2
3
4
5
3.(2017湖南长沙模拟)考生甲填报某高校专业意向,打算从5个专
业中挑选3个,分别作为第一、第二、第三志愿,则不同的填法有
(
)
种种种种
关闭
满足题意的不同的填法共有A35 =60(种),故选 B.
关闭
B
解析
答案
知识梳理
考点自测
1
2
3
4
5
4.(2017河北武邑中学一模,理6)已知甲、乙和其他4名同学合影
5 名男生合在一起有 6 个元素,排成一排有A66 种排法,而其中每一种
排法中,3 名女生之间又有A33 种排法,因此共有A66 ·A33 =4 320 种不同
排法.
(2)(插空法)先排 5 名男生,有A55 种排法,这 5 名男生之间和两端有 6
个位置,从中选取 3 个位置排女生,有A36 种排法,因此共有A55 ·A36 =14
在最左边,同时乙在最右边的情形,有A66 种排法.因此共有A88 -2A77 +
A66 =30 960 种排法.
考点1
考点2
考点3
思考解决排列问题的主要方法有哪些?
解题心得解决排列问题的主要方法有:
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与
捆绑法
其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列
不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,
插空法
再将不相邻的元素插在前面元素形成的空当中
除法
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定
序元素的全排列
间接法 正难则反,等价转化的方法
考点1
考点2
考点3
对点训练1(1)甲、乙、丙等21名同学合影留念,他们站成两排,前关闭
3
3
3
(5)任意选取 3 种的总数为C35
,因此共有C35
− C15
=6 545-455=6 090
种取法.
故至多有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 6 090 种.
考点1
考点2
考点3
思考解决组合问题的一般思路是什么?常用方法有哪些?
解题心得1.解组合问题的一般思路:首先分清问题是不是组合问
题;其次要搞清是“分类”还是“分步”,一般是先整体分类,再局部分
留念,站成两排三列,若甲、乙不在同一排也不在同一列,则这6名同
学的站队方法共有(
)
种种种种
关闭
站队方法共有C61 C21 A44 =288(种),故选 C.
关闭
c
解析
答案
知识梳理
考点自测
1
2
3
4
5
5.(2017天津,理14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至
多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有
甲不在最右边时,可从余下 6 个位置中任选一个,有A16 种.而乙可排在
除去最右边位置后剩余的 6 个中的任一个上,有A16 种,其余人全排列,
共有A16 ·A16 ·A66 种不同排法.
由分类加法计数原理知,共有A77 + A16 ·A16 ·A66 =30 960 种不同排法.
考点1
考点2
考点3
(1)在
21 名同学中,除了甲、乙、丙需要指定位置外,其余 18 名同学
排11人,后排10人,甲站在第一排正中间的位置,乙、丙站在与甲相
18
可以任意排序,虽然分前后两排,但不影响排序结果,所以有A
邻的两侧,如果对其他同学所站的位置不做要求,那么不同的站法
18 种站
2
2 18
共有(
)
法,而甲、乙、丙根据要求则有A
曲的两边,这时形成了
5 个空,将相声插入其中一个空中,共有
2 1 1 1
A形式表演5个节目,其中歌曲有2个节目,小品有2个节目,相声有1个
2 A2 A2 A5 =40 种编排方法;第二类,相声插入歌曲之间,再把小品插
2 2
节目,要求相邻节目的艺术形式不能相同,则不同的编排种数为
入歌曲两边,有A
2 A2 =4 种编排方法;第三类,相声插入小品之间,再把
种站法,所以共有A
2
2 A18 种站法,故
2 18
A.A18
B.A20
C.A23 A318 A10
选 D.
18 种
20 种
10 种 D.A 2 A18 种
(2)(2017山西实验中学3月模拟,理5)九九重阳节期间,学校准备举
(2)第一类,先选择
1 个小品插入到 2 个歌曲之间,另一个小品放在歌
行慰问退休老教师晚会,学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术
步,将复杂问题通过两个原理化归为简单问题.
2.含有附加条件的组合问题的常用方法:通常用直接法或间接法,
对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题,既可考虑反面情形间接求
解,也可以分类研究进行直接求解.
考点1
考点2
考点3
对点训练2(1)现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿
关闭
色卡片各3张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红
(2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种?
(3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?
(4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?
(5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?
考点1
考点2
考点3
2
解: (1)从余下的 34 种商品中,选取 2 种,有C34
=561 种取法,故某一种
m-1
m
;n+1
= nm + n
=
n!
m!(n-m)!
知识梳理
考点自测
m-1
1.m
n =(n-m+1)n .
m-1
2.m
n =nn-1 .
3.(n+1)!-n!=n·n!.
k-1
4.knk =nn-1 .
n
m-1
n
m
5.nm = m n-1 = n-m n-1
=
n-m+1
m
C20
C15 =2 100 种取法.
故恰有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 2 100 种.
考点1
考点2
考点3
3
1 2
(4)选取 2 种不合格商品有C20
C15 种取法,选取 3 种不合格商品有C15
3
1 2
种取法,共有C20
C15 + C15
=2 100+455=2 555 种取法.
故至少有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 2 555 种.
高考数学一轮复习112排列与组
合课件理新人教B版
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考点自测
1.排列与组合的概念
名称
排列
组合
定
义
从 n 个不同元素中取 按照一定的顺序排成一列
出 m(m≤n)个元素
合成一组
2.排列数与组合数的概念
名称
定
义
排列数 从 n 个不同元素中取出
组合数 m(m≤n)个元素的所有不同
排列
的个数
组合 的个数