高中教师招聘考试数学试卷

高中数学教师招聘考试数学试题
一．选择题本题共10小题,每小题3分,共30分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确的答案填在答题卡对应的方格内
1.已知集合}101{，，A -=,集合},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,则集合B 中所含元素的个数为
A 3
B 5
C 7
D 9
2．若函数⎩⎨
⎧>≤+=1
,ln 1
,12)(x x x x x f ,则=))((e f f
A 3
B 12+e
C e
D 1
3．函数22)(3-+=x x f x 在区间0,1内的零点个数是
A 0
B 1
C 2
D 3
4．若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是
填写正确命题的编号．
①1ab ≤； ≤； ③ 222a b +≥；
④33
3a b +≥； ⑤
11
2a b
+≥
A ③⑤
B ①②④
C ②③⑤
D ①③⑤
5．若ABC ∆外接圆的半径为1,圆心为O ,BC 为圆O 的直径,且AB=AO,则CB CA ⋅
等于
A.
2
3
B.3
C.3
D.32
6. 设曲线()a ax x f -=3
2在点(1,)a 处的切线与直线210x y -+=平行,则实数a 的值
为
A
31 B 12
1 C
2 D 3
7．复数i i )1(-的共轭复数是
A i --1
B i +-1
C i -1
D i +1
8．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的焦点与顶点,若双曲线
的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为 A ．
3
1
B ．
2
1
C ．
3
3
D ．
2
2
9．一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的体积是
A ．
83 B ．4
3
C ．4
D ．8
10．已知等差数列}{n a 中,1,16497==+a a a ,则12a 的值是
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
选择题答题卡
蝿
题号
蒇
1
螄
2
膂
3
膀
4
艿
5
袇
6
节
7
薁
8
蚇
9
薆
10
莂
答案
二．填空题本题共5小题,每小题3分,共15分,将正确的答案填在横线上;
11. 已知a b c ，，分别是ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边,若1a b ==，且B 是 A 与C 的等差中项,则sin A =
12. 已知圆C 过点1,0,且圆心在x 轴的正半轴上,直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为
则圆C 的标准方程为 .
13．设m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n ；
②若m α⊥,//m β,则αβ⊥；
③ 若n α⊥,n β⊥,m α⊥,则m β⊥；
④ 若αγ⊥,βγ⊥,m α⊥,则m β⊥．
其中错误．．
命题的序号是
14．已知7270127(x m )a a x a x ...a x -=+++的展开式中5x 的系数是189,则实数m = ．
15．将容量为n 的样本中的数据分为6组,绘制频率分布直方图,若第一组至第六组的数
据的频率之比为2：3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和为 27,
则 n =__________
三.解答题本题共6小题,共55分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．本题满分8分
已知函数)02
,0( )cos(3)(<<-
>+=ϕπ
ωϕωx x f 的最小正周期为π,且其图象
经过点)0,12
5(π
;
1 求函数)(x f 的解析式；
2 若函数)2
,0(),62()(π
βαπ∈+=、x f x g ,且423)(,1)(==βαg g ,
求)(βα-g 的值;
17．本题满分8分
已知单调递增的等比数列{}n a 满足：24320,8a a a +==．
Ⅰ求数列{}n a 的通项公式；
Ⅱ若12
log n n n b a a =+,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求n S .
18．本题满分9分
如图,在三棱锥P ABC -中,AB AC =,D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上．
Ⅰ证明：AP ⊥BC ；
Ⅱ已知8BC =,4PO =,3AO =,2OD =．
求二面角B AP C --的大小．
19．本题满分10分
一个盒子里装有标号为1,2,3的3大小、颜色、质地完全相同的小球,现在有放回地
从盒子中取出2个小球,其标号记为y x ,,记|||1|y x x -+-=η.
1设η的取值集合为M,求集合M 中所有元素的总和;
2求2=η时的概率.
20．本题满分10分
已知椭圆C ：
)0(12
22
2>>=+
b a b y a x 的离心率为
2
2
,其中左焦点F-2,0.
1 求椭圆C 的方程；
2 若直线m x y +=与椭圆C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点M 在
圆122=+y x 上,求m 的值.
21.本题满分10分
已知fx x a x b xa ()=+++322
3在x =-1
时有极值0.
1求常数b a 、的值； 2求f x ()的单调区间.
参考答案
一、CABDC ABDBA
二、11.
2
1
12. 4)3(22=+-y x 13. ①④ 14. 3,-3 15. 60
三、
16. 解：1依题意函数的最小正周期πω
π
==
2T ,解得2=ω,所以)2cos(3)(ϕ+=x x f
因为函数)(x f 的图象经过点)0,125(π,所以0)12
52cos(3=+⨯ωπ
,
得到Z k k ∈+=+⨯,21252ππϕπ,即Z k k ∈-=,3
π
πϕ,
由02
<<-
ϕπ
得3
π
ϕ-
=,故)3
2cos(3)(π
-
=x x f ;;;;;;4分
2依题意有x x x g cos 3]3
)62(
2cos[3)(=-+⨯=π
π,由1cos 3)(==ααg
得3
1
cos =α,同理423cos 3)(==ββg ,得42cos =β,
而)2
,0(π
βα∈、,所以3
2
2cos 1sin 2=
-=αα,
4
14cos 1sin 2=
-=ββ,
所以)sin sin cos (cos 3)cos(3)(βαβαβαβα+=-=-g =
4
7
42)4143224231
(3+=⨯+⨯
⨯ ;;;;;;;;8分
17. 解：Ⅰ设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q,
依题意,有3
11
2
31208a q a q a a q ⎧+=⎪⎨==⎪⎩,解之得122q a =⎧⎨=⎩或1
1232q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩；
又{}n a 单调递增,∴122
q a =⎧⎨
=⎩,∴2n
n a =.
………5分
Ⅱ依题意,12
2log 22n n n n b n =+=-,
∴12(12)(1)(1)
221222
n n n n n n n S +-++=-=--
-, ;;;;;;;;;8分
18.
Ⅰ证明：由AB=AC,D 是BC 中点,得AD BC ⊥,
又PO ⊥平面ABC,,得PO BC ⊥
因为PO AD O ⋂=,所以BC ⊥平面PAD,故.BC PA ⊥ ;;;;3分
Ⅱ解：如图,在平面PAB 内作BM PA ⊥于M,连CM;
因为,BC PA PA ⊥⊥得平面BMC,所以AP ⊥CM;
故BMC ∠为二面角B —AP —C 的平面角; ;;;;;5分
在222
,41,Rt ADB AB AD BD AB ∆=+==
中得
在222
Rt POD PO OD ∆=+中,PD ,
在Rt PDB ∆中,222
PB PD BD =+,
所以2222
36, 6.PB PO OD BD PB =++==得
在222
,25, 5.Rt POA PA AO OP PA ∆=+==中得
又2221cos ,sin 23PA PB AB BPA BPA PA PB +-∠==∠=⋅从而
故sin BM PB BPA =∠=
同理GM =
因为222
BM MC BC +=
所以90BMC ∠=︒, 即二面角B —AP —C 的大小为90.︒ ;;;;;;9分
19. 解:1由题意得:
当1=x 时,y 可以取1,2,3,对应的η的值为0,1,2;
当2=x 时,y 可以取1,2,3,对应的η的值为2,1,2;
当3=x 时,y 可以取1,2,3,对应的η的值为4,3,2;
故η的取值集合M 为{0,1,2,3,4}.
所以集合M 中所有元素的总和为0+1+2+3+4=10. ………….5分
2 记取出的2个小球的标号为y x ,,则),(y x 共有9种情况:
1,1,1,21,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3.其中1,3,2,1,2,3,3,3满足2=η,
共4种情况;故2=η时的概率为
9
4
; ;;;;;;;;;;;;;;;10分
20. 解:1由题意得,得⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧+===2
22222c b a c a c 解得⎩⎨⎧==222b a
故椭圆的方程为：14
822=+y x ;;;;;;;;;;4分 2设点A ),(11y x ,B ),(22y x ,线段AB 的中点为M ),(00y x ,
由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+m x y y x 14822消去y 得,0824322=-++m mx x 323208962<<-⇒>-=∆∴m m ,
3
,32200210m
m x y m x x x =+=-=+=∴ ;;;;;;;;8分
又点M 在圆122=+y x 上,
5
53,1)3()32(22±=∴=+-
∴m m m ;;;;;;;10分 21. 解：10)1(,63)('2'=-++=f b ax x x f 且0)1(=-f
⎩⎨⎧==⎩
⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=+-∴92310310
632b a b a a b a b a 或 ;;;;;;;5分 2由1知当3,1==b a 时,
当9,2==b a 时,)1)(3(3)('++=x x x f ,∴在),1(),3,(+∞---∞上,0)('>x f 在-3,-1上,0)('<x f ,故当9,2==b a 时,函数)(x f 的增区间为
)3,(--∞和),1+∞-,减区间是-3,-1; ;;;;;;;;;;;10分。