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湍流的统计平均法 湍流的基本方程
粘性流体动力学基础
• 三 体均法
• 湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也具有 随机性。若在湍流管流的轴线L段上同时测量各点轴向速 度的分布，在不同时刻可以测得不同速度分布，如图13-2 所示。实线和虚线是分别在两个时刻测得的结果。由图可 见，任一时刻，在轴上的速度分布都是极不规则的，但是 若在距离L内求速度的平均值，则任意两次的试验结果有 相同的平均值，显然，具有这种随机性质的湍流采用按体 积平均的方法较为合适。
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湍流的统计平均法 湍流的基本方程
粘性流体动力学基础
五、三种平均法之间的关系及各态遍历假说
• 前面我们已经介绍了三种平均方法，但时均法和体均法只 能用于各自特定的条件，概率平均法虽然普遍适用，但按 照这种定义的平均值，很难直接测量（至少在目前还不可 能)，因此用这种方法建立的理论不能直接与实验结果相 比较，而时均值或体均值可以实测。若能弄清楚在什么物 理条件下，普遍适用的概率平均值和时均值或体均值等价， 那么时均法和体均法的应用范围就可扩大。而用这两种方 法建立的湍流平均值可以用实验来直接验证。
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湍流的统计平均法 湍流的基本方程
粘性流体动力学基础
• 时均值和体均值都是任用一次试验结果(对时间或对空间) 的平均值以代替大量试验的平均值。弱此严格说来，时均 法只适用于定常湍流，体均法只适用于均匀不定常湍流。 然而，不论是对于时均法还是对于体均法而言，为什么任 一次试验结果的平均值会等于大量试验的平均值?这个问 题需要各态遍历假说来解释。
随机值与平均值之差称为脉动值，并用“’”注明
Vi x1, x2, x3,t Vi x1, x2, x3,t Vi x1, x2, x3,t
脉动值是随机变量，平均值是统间的互相关系。
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粘性流体动力学基础
Vi 在Vi+△Vi之间的次数记为△ N，若N足够大，则根据概
率的定义有
P(Vi Vi Vi
Vi )
N N
从物理概念和数学定义上来看，我们都可以相信
P(Vi Vi Vi Vi ) V
于是概率可写成 P(Vi Vi Vi Vi ) p Vi Vi
p Vi 称作概率密度。
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湍流的统计平均法 湍流的基本方程
粘性流体动力学基础
• 总之，各态遍历假说的结论是：对于一个满足各态遍历的 系统，三种平均值相等
t p
Vi Vi Vi
在本章各节中，凡未加说明者，都认为各态遍历假说成立。 这样就可以在建立湍流理论时用概率平均值，而在和实验测 量比较时，把这平均值看成是时均值或体均值。
• 时均法的确切定义是：
(t)u(
x1,
x2,
x3
)
1 T
t0 t0
T
u
(
x1
,
x2,
x3
,
t
)dt
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湍流的统计平均法 湍流的基本方程
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随机量的平均值符号规定如下：在这个量上加“—”表示 平均值，在 一横之上再加的符号表示平均的方法。
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湍流的统计平均法 湍流的基本方程
• 由上述性质可见，就随机现象而言，虽然个别试验的结果 没有规律性，但大量试验结果的算术平均值有一定的规律 性。所以说，由随机现象的每一次试验得不到“决定性” 的结果，而只有大量试验的统计平均才能给出具有“决定 性”的结果。
• 正因为湍流具有随机性，因此统计方法在湍流问题的研究 中具有重要的意义。
• 在湍流理论中，有三种统计平均方法：时均法，体均法和 按概率平均法（或称系综平均法），下面我们将分别予以 讨论，然后再进行比较。
湍流的统计平均法 湍流的基本方程
粘性流体动力学基础
• 同理，我们可以定义空间意义上的平均。既体均法
( )
Vi
(t
)
1
Vi
(
,
,
,
t
)d
d
d
式中 为包含某空间点在内的足够大的体积。
体均值要求与积分体积的大小及所处的坐标位置无关。因 此严格说来，体均法只适用于描述对体均值而言的均匀的 湍流流场。
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粘性流体动力学基础
• 瞬时流场总是不定常的，但是它又不同于通常所说的不定 常流场，不是普通的函数，而是随机函数。随机函数具有 以下特性：
• (1)某一次试验中在空间和时间上的变化是极不规则的； 即使保持相同条件作重复试验；每次试验所得到的速度场 也均不相同。
• (2)在相同条件下进行很多次试验，任意取出其中足够多
粘性流体动力学基础
两种研究方法
(1)寻求若干最基本的物理定律以建立普遍适用的湍流理论； (2)在某些特定条件下，对观测到的流动现象作出某些假定， 从而建立有局限性的半经验理论。
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湍流的统计平均法
• 统计平均方法是处理湍流流动的基本手段，这是由湍流的 随机性所决定的。
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• 例如，对于非均匀的不定常湍流流场，严格说来，时均法和体均法都 不能应用。但是，若不均匀性的空间尺度Lk较之湍流各态分布尺度 (在此尺度内存在湍流各种状态)大得多，那么在比Lk小的尺度 L中平 均特性的变化可以忽略不计，而在尺度L中包含了湍流的几乎所有状 态，即在尺度中湍流是各态遍历的。于是在尺度L中应用体均法所得
湍流的统计平均法 湍流的基本方程
粘性流体动力学基础
内容提要
• 湍流的统计平均法 • 湍流的随机性 • 时间平均法 • 体积平均法 • 概率平均法 • 各态历经假设 • 脉动值及其性质
• 湍流的基本方程 • 连续性方程 • 平均动量方程---雷诺方程
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湍流的统计平均法 湍流的基本方程
粘性流体动力学基础
湍流的统计平均法 湍流的基本方程
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• 这样式（13-5）可写成
N N
p Vi
Vi
由此知，在N次试验中出现速度Vi到Vi+ △Vi之间的次数为
N NpVi Vi
于是
Vi N Vi NpVi Vi
因而按概率的定义，平均值可以写成
p 1 Vi N
1
Vi
N N
Vi Np Vi Vi
(1) 平均值的平均仍为原平均值
Vi 是多次试验的统计平均值，而对任意一次来说，平
均值都相同，因此
Vi
1 N
N k
V k 1 i
NVi N
Vi
即
Vi Vi
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粘性流体动力学基础
• (2) 脉动值的平均值等于零
若对脉动值 Vi Vi Vi 取平均值可得
湍流的统计平均法湍流的基本方程粘性流体动力学基础平均值的平均仍为原平均值是多次试验的统计平均值而对任意一次来说平均值都相同因此湍流的统计平均法湍流的基本方程粘性流体动力学基础脉动值的平均值等于零若对脉动值湍流的统计平均法湍流的基本方程粘性流体动力学基础cvcvvvvv脉动值各阶导数的平均值等于零湍流的统计平均法湍流的基本方程粘性流体动力学基础湍流的基本方程湍流的随机速度平均速度和脉动速度的散度都等于零
湍流
•湍流流动状态在自然界和工程设备中是最常见的一类流动 状态。
•由雷诺试验我们知道湍流相对于层流而言，是一种复杂的 不定常的随机流动。
•湍流理论到现在为止尚未达到成熟阶段，人们对于湍流的 物理本质还不很清楚，以致要给湍流一词以确切的定义都 很困难。
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•四 概率平均法
时均法和体均法只适用于两种特殊状态的湍流，前者 适用于定常湍流，后者适用于均匀湍流。对于一般的不定常 非均匀流，可以采用随机变量的一般平均法，即概率平均法。
概率平均法的出发点是将重复多次的试验结果做算术 平均，即
p
Vi
x1,
x2
,
x3
,
t
lim
N
1 N
N k 1
k
Vi
x1,
x2
,
x3
,
t
k 为第k次试验的流场分布函数，N为重复试验次数。由
Vi
于问题的随机性，因此只要N够大，上述平均函数必 然趋向某一确定的函数。
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• 上式又可写成概率分布的形式。把N次试验中测得的速度
• 湍流的随机性是湍流的主要的特性。我们首先讨论湍流的 随机性，然后讨论统计平均方法。
• 一、湍流的随机性 人们对于湍流的长期观察，测量，发现随机性是湍流
的主要特性。我们将从随机现象的一般概念上对此加以说 明。
湍流的瞬时流场的速度场
Vi Vi (x1, x2, x3,i)
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湍流的统计平均法 湍流的基本方程
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各态遍历假说
• 各态遍历假说的思想是：一个随机变量在重复许多次的试 验中出现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长的时 间或相当大的空间范围内以相同的概率出现。
• 可以用公式表示这个思想。
N t NT
正是由于这个假说，为以一次试验结果的平均值代替大量试 验的平均值提供了理论依据，从而使时均法和体均法具有更 为普遍的意义。
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六、脉动值及其性质
• 我们已经知道，湍流的瞬时速度是随机变量
Vi Vi x1, x2, x3,t
而他的平均值
t p
,,
是非随机变量，根据各态遍历假
说，上述三种平均Vi 值V相i 等Vi 。因此，在下面的叙述中平均值一
律用 Vi 表示。
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• 均值表达式中的瞬时值是任一次试验结果，积分限中的下
限可以任意取，即一次试验中，从任何时候开始都不能影 响平均值的结果。
• 关于这一点，我们可以这样来理解。同一次试验中取不同 起始时刻，相当于同条件下重复的不同试验，既然不同次
试验的平均值都相等，那末不同起始时刻的平均值也应相 等。
• 式中的积分区域，从理论上来说应趋向无限大，但在实用 上，只要取足够长的有限时间间隔即可。
• 最后应当指出，时均法只能用来描述对时均值而言的定常 湍流流动。
• 总之，应用对均法需满足下列要求：平均值与平均的起始 时刻及时间间隔(只要足够长) 无关；而且平均值本身不再
是时间的函数，因此，时均法只能用于讨论定常的湍流流 动。
Vi p Vi Vi
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• 令△Vi0则上式可写成
p Vi
Vi p Vi dVi
注意到
N N
1
因而得到概率密度的附加条件
p Vi
dVi
1
可见，概率平均值取决于概率密度 pVi
若能对某种湍流找到相应的概率密度，则湍流问题就可认为 已经解决。但是由于湍流的基本单元的复杂性，目前还未找 到湍流概率密度的基本方程。
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• 在湍流流场的某固定点上，于不同时刻测量该处的速度。 以圆管轴上的某一点的轴向流速为例，测出该点速度随时 间的变化图13-1所示，图中实线与虚线表示两次试验结果。 由图可见，每次试验的速度变化都极不规则，但是两次试 验在相当长的时间内的平均值相同。显然，对于具有这种 随机性质的湍流采用按时间平均的方法较为合适。
次的速度场作算术平均，由此所得到的函数与另外任取足
够多次的速度场作算术平均而得到的函数趋予一致，即任
意一组的算术平均趋于同一个确定的函数。
1
lim N N
Vi (x1, x2 , x3,i) Vi (x1, x2 , x3,i)
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粘性流体动力学基础
• 一维体均法的确切定义是
( x )
u
(t)
1 L
x0 L u( , t)d
x0
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• u( ,t)是在相同条件下任一次试验的速度分布 • ( x) 是沿x方向L段上的的平均值
u
• x0是任一起始位置，L是足够长的距离。
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Vi Vi Vi Vi Vi Vi Vi 0
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粘性流体动力学基础
(3) 脉动值乘以常数的平均值等于零
cVi cVi 0
(4) 脉动值与任一平均值乘积的平均值等于零
ViVi ViVi 0
到的平均值十分近似于随机变量的概率平均值。这种体均值在空间可
以是变化的。可见，在各态遍历假说成立的前提下，可以用体均法研 究非均匀湍流流场。类似地，若不定常湍流的时间尺度Tk比湍流本身 的时间尺度大得多．则在比Tk小的T的尺度内平均特性的变化可以忽 略不计。而在T中包含了湍流的几乎所有状态，即在T尺度中是各态遍 历的。于是在尺度T中应用时均法所得到的平均值十分近似于随机变 量的概率平均值。这种时均值在时间上可以是变化的.所以，在各态遍 历假说成立的前提下，可以用时均法研究不定常流动。