2022届吉林省通化一中高三第二次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足1
3
AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．
7388
BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388
BA BC +
2．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为1
3
，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．
23
π B ．2π
C ．4π
D ．6π
3．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．
的是
A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段
B ．平面DMN ⊥平面11BC
C B C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值
D ．DMN ∆可能为直角三角形 5．函数()()ln 12f x x x
=+-的定义域为（ ） A ．()2,+∞
B ．()()1,22,-⋃+∞
C ．()1,2-
D ．
1,2
6．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
7．设实数x 、y 满足约束条件10
24x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则23z x y =+的最小值为（ ）
A ．2
B ．24
C ．16
D ．14
8．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ） （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
10．关于函数2
2tan ()cos 21tan x
f x x x
=
++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8
x π=对称
D
．将函数2y x =
图像向左平移
8
π
个单位可得函数()y f x =的图像 11
．在平面直角坐标系中，经过点P
，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）
A ．22
142-=x y
B ．22
1714x y -=
C ．22
136x y -=
D ．22
1147
y x -=
12．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z
+为实数m ，则m =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>
的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方
程为 ．
14．已知变量()12,0,x x m ∈ (m >0)，且12x x <，若2112x
x
x x <恒成立，则m 的最大值________．
15．某市公租房源位于A 、B 、C 三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率是______ .（用数字作答）
16．已知实数x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为______，若目标函数
z x y =-的最小值为-1，则实数m 等于______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C 交于,A B 两点，
290AF B ∠=，且220
9
F AB S ∆=
． （1）求C 的方程；
（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．
18．（12分）在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，1
tan 2
ACB ∠=
.已知E F ，分别是BC AC ，的中点.将CEF ∆沿EF 折起，使C 到C '的位置且二面角C EF B '--的大小是60°，连接C B C A ''，，如图：
（1）证明：平面AFC '⊥平面ABC '
（2）求平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小.
19．（12分）设函数2
()||||()f x x a x a a a =++--∈R ． （1）当1a =时，求不等式()5f x ≤的解集；
（2）若存在[1,0]a ∈-，使得不等式()f x b ≥对一切x ∈R 恒成立，求实数b 的取值范围． 20．（12分）已知函数1()x
x
f x e
--=，
（1）证明：()f x 在区间(0,1)单调递减；
（2）证明：对任意的(0,1)x ∈有11x
x x e x e ---<-<． 21．（12分）已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()3f x x <+的解集；
（2）若不等式22()m x x f x --在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率为12，且过点()
0,3.
()1求椭圆C 的方程；
()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，
①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】 由1
3
AD DC =
，可得34CD CA =，1()2CE CB CD =+13()24CB CA =+，再将CA BA BC =-代入即可.
【详解】 因为1
3
AD DC =
，所以34CD CA =，故1()2CE CB CD =+=13()24CB CA +=
133
()244BC BA BC -+-=3788
BA BC -.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题. 2、D 【解析】
取AC 中点N ，由题意得BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，易得点O 为ADC 的
中心，则三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，列出方程22
2
262333r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
即可得解. 【详解】
如图，由题意易知ABC 与ADC 均为正三角形，取AC 中点N ，连接BN ，DN ， 则BN AC ⊥，DN AC ⊥，∴BND ∠即为二面角B AC D --的平面角， 过点B 作BO DN ⊥于O ，则BO ⊥平面ACD ，
由3BN ND ==，1cos 3BND ∠=可得3cos 3ON BN BND =⋅∠=，233OD =，2
326
333OB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴1
3ON ND =即点O 为ADC 的中心，
∴三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ， ∴11BO DO r ==，1263
OO r =-,
∴22
2262333r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得62r =， ∴三棱锥A BCD -的外接球的表面积为23
4462
S r πππ==⨯
=. 故选：D.
本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题. 3、D 【解析】
先把(1)21z i i ⋅+=+变形为21
1i z i
+=+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案. 【详解】
解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)331
1(1)(1)222
i i i i z i i i i ++-+=
===+++-， 所以3122z i =
-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，在第四象限 故选：D 【点睛】
此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 4、D 【解析】
A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行；
B 项利用线面垂直的判定定理；
C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;
D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形. 【详解】
A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；
B 项，如图：
当M 、
N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1
可得平面DMN⊥平面11
BCC B，故正确；
C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；
D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.
故选D
【点睛】
本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.
5、C
【解析】
函数的定义域应满足
20
,1 2. 10
x
x
x
->
⎧
∴-<<⎨
+>
⎩
故选C.
6、B
【解析】
求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；【详解】
f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
因为f′（x）
1
1
x
=-
+
a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，
可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，
故选：B．
【点睛】
本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．7、D
【解析】
做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.
【详解】
做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
的可行域，如下图阴影部分，
根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，
由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩
，即(4,2)A ，
所以23z x y =+的最小值为14. 故选： D.
【点睛】
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 8、C 【解析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n 天后长度，进而可得：131212212112
n
n ⎛
⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--，解出即可得出． 【详解】
由题意可得莞草与蒲草第n 天的长度分别为1
113,122n n n n a b --⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭
据题意得：131212212112
n
n ⎛
⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--， 解得2n ＝12，
∴n 122
lg lg =
=23
2lg lg +≈1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9、B 【解析】
根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
再分析即可. 【详解】
因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫
=+= ⎪
⎝⎭
,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5cos cos 33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】
本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题. 10、B 【解析】
化简到()24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案.
【详解】
22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π⎛
⎫=
+=+=+ ⎪+⎝⎭
，
故函数的定义域为,2x x k k Z π
π⎧⎫
≠
+∈⎨⎬⎩
⎭
，故A 错误； 当3,88x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确；
当4
πx =-
，关于8x π=的对称的直线为2x π
=不在定义域内，故C 错误.
平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误. 故选：B .
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力. 11、B 【解析】
根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k
．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程． 【详解】
∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k
．又(在双曲线上，则
k=16-2=14,即双曲线的方程为2
2
2x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22
x y 1714
-=
故选：B 【点睛】
本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 12、B 【解析】
可设(,)z a bi a b R =+∈，将z i z
+
a b i
+
-0b =，解方程即
可求解 【详解】
设(,)z a bi a b R =+∈
，则
)2
2
a b i z
a bi i i i z a b
+
-+=+=+=
+.
00b a =⇒=，所以0m =. 故选：B 【点睛】
本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、22
3144
x y -=
【解析】
由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144
x y -=. 14、e
【解析】 在不等式两边同时取对数，然后构造函数f （x ）＝
ln x x ，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论． 【详解】
不等式两边同时取对数得2112ln ln x x x x <，
即x 2lnx 1＜x 1lnx 2，又()12,0,x x m ∈ 即1212
ln ln x x x x <成立， 设f （x ）＝ln x x
，x ∈（0，m ）， ∵x 1＜x 2，f （x 1）＜f （x 2），则函数f （x ）在（0，m ）上为增函数， 函数的导数22
1x ln x 1ln x x ()x x f x '⋅--==， 由f ′（x ）＞0得1﹣lnx ＞0得lnx ＜1，
得0＜x ＜e ，
即函数f （x ）的最大增区间为（0，e ），
则m 的最大值为e
故答案为：e
【点睛】
本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键 15、80243
【解析】
基本事件总数53243n ==，恰好有2人申请A 小区房源包含的基本事件个数235280m C ==，由此能求出该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率．
【详解】
解：某市公租房源位于A 、B 、C 三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房
子是等可能的，
该市的任意5位申请人中，基本事件总数53243n ==，
该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源包含的基本事件个数：
235280m C ==，
∴该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率是80243m p n =
=． 故答案为：
80243
． 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
16、2m > 5m =
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数z x y =-的最小值，利用数形结合即可得到结论.
【详解】
作出可行域如图，
则要为三角形需满足()1,1B 在直线x y m +=下方，即11m +<，2m >；
目标函数可视为y x z =-，则z 为斜率为1的直线纵截距的相反数，
该直线截距最大在过点A 时，此时min 1z =-，
直线PA ：1y x =+，与AB ：21y x =-的交点为()2,3A ，
该点也在直线AC ：x y m +=上，故235m =+=，
故答案为：2m >；5m =.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）22
154
x y +=（2）45 【解析】
（1
）不妨设2,3A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭
，计算得到2245a b =
，根据面积得到a b ⋅=.
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程利用韦达定理得到00122mx y x x +=，22201204
m x x x x =-，代入化简计算得到答案.
【详解】
（1
）由题意不妨设2,33A a b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，2,33B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
则223b F A c ⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，223b F B c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． ∵290AF B ∠=，∴2
222254099
b F A F B
c a ⋅=-+=，∴2245a b =．
又21220239
F AB b S ∆==
，∴a b ⋅=
∴a =2b =，故C 的方程为22
154
x y +=． （2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则00OP y k x =
．∵0OP MN k k +=， ∴00MN y k x =-，设直线MN 的方程为()00
0y y x m m x =-+≠， 联立0022,1,5
4y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222000004510540x y x mx y x x m +-+-=． ∵P 在C 上，∴22004520x y +=，∴上式可化为()
2220004240x mx y x x m -+-=． ∴00122mx y x x +=，22201204
m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>，
∴()()220001212042225
m y y mx y y x x m x -+=-++==， ()220000121212122000
0y y y my y y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2222
220000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， ∴()()()2222
220001*********
00255m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 22200025
m x mx y -= ()()()2222
0001020120120
24m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=． ∴1020102045
PM PN y y y y k k x x x x --⋅=
⋅=--． 【点睛】 本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18、（1）证明见解析（2）45°
【解析】
（1）设AC '的中点为G ，连接FG ，设BC '的中点为H ，连接GH ，EH ，从而BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角，60BEC ∠='，推导出EH BC '⊥，从而EF ⊥平面BEC '，则AB EH ⊥，即EH AB ⊥，进而EH ⊥平面ABC '，推导四边形EHGF 为平行四边形，从而FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，由此即可得证.
（2）以B 为原点，在平面BEC '中过B 作BE 的垂线为x 轴，BE 为y 轴，BA 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小.
【详解】
（1）∵F 是AC 的中点，∴AF C F '=.
设AC '的中点为G ，连接FG .
设BC '的中点为H ，连接GH ，EH .
易证：C E EF '⊥，BE EF ⊥，
∴BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角.
∴60BEC ∠='，而E 为BC 的中点.
易知BE EC '=，∴BEC '∆为等边三角形，∴EH BC '⊥.①
∵EF C E '⊥，EF BE ⊥，C E BE E '=，∴EF ⊥平面BEC '.
而EF AB ∥，∴AB ⊥平面BEC '，∴AB EH ⊥，即EH AB ⊥.②
由①②，BC AB B '=，∴EH ⊥平面ABC '.
∵G H ，分别为AC BC ''，的中点.
∴四边形EHGF 为平行四边形.
∴FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，又FG ⊂平面AFC '.
∴平面AFC '⊥平面ABC '.
（2）如图，建立空间直角坐标系，设2AB =.
则()002A ，，，()000B ，，，()201F ，，，()200E ，，，()130C '，， 显然平面BEC '的法向量()001m =，，，
设平面AFC '的法向量为()n x y z ，，=，()1
32AC ='-，，，()201AF =-，，， ∴20320x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，∴()
132n =，，. 2cos ,2
m n m n m n ⋅==⋅， 由图形观察可知，平面AFC '与平面BEC '所成的二面角的平面角为锐角.
∴平面AFC '与平面BEC '所成的二面角大小为45°.
【点睛】
本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.
19、 (Ⅰ) {|23}x x -≤≤.(Ⅱ)(] ,0-∞.
【解析】
(Ⅰ)1a =时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式()5f x ≤的解集即可；
(Ⅱ)不等式()f x b ≥的解集为R ，等价于()min f x b ≥，求出()f x 在[]
1,0a ∈-的最小值即可．
【详解】 (Ⅰ)当1a =时，()21,1123,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩
1x ≤-时，不等式()5f x ≤化为215x -+≤，解得2x ≥-，即21x -≤≤
12x -<<时,不等式()5f x ≤化为35≤，不等式恒成立，即12x -<<
2x ≥时,不等式()5f x ≤化为215x -≤，解得3x ≤，即23x ≤≤
综上所述，不等式()5f x ≤的解集为{}|23x x -≤≤
(Ⅱ)不等式()f x b ≥的解集为R ()min f x b ∴≥
()()()
2222f x x a x a a x a x a a a a =++--≥+---=+
()2min 2f x a a b ∴=+≥对任意[]1,0a ∈-恒成立 ()22211a a a +=+- ∴当0a =时，22a a +取得最小值为0
∴实数b 的取值范围是(],0-∞
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型．
20、（1）答案见解析．（2）答案见解析
【解析】
（1）利用复合函数求导求出()f x '，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.
（2）首先证1x x e --<，令()(1)x g x e x -=--，求导可得()g x 单调递增，由(0)0g =即可证出；再令
()ln(1)1x g x x x =-+
-，再利用导数可得()h x 单调递增，由()0h x >即可证出. 【详解】
（1）1
121()1(1)x f x e x --⎛⎫'=⋅- ⎪-⎝⎭
显然()0,1x ∈时，()0f x '<，故f 在(0,1)单调递减．
（2）首先证1x x e --<，令()(1)x g x e
x -=--， 则()10,(0,1)x g x e x -'=-+>∈
()g x 单调递增，且(0)0g =，所以()0,(0,1)g x x >∈ 再令()ln(1)1x g x x x
=-+-， 2
(0)0,()0,(0,1)(1)x h h x x x '==>∈- 所以()h x 单调递增((0,1)x ∈，即()0h x >，(0,1)x ∈ ∴ln(1),(0,1)1x x x x ->-
∈- 11,(0,1)x
x x e
x --⇒->∈ 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，解题的关键掌握复合函数求导，属于难题.
21、（1）{|02}x x <<；（2）(,2]-∞
【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；
（2）原不等式可转化为22()m x x f x ++在R 上恒成立，分别求函数2()2g x x x =+与()f x 的最小值，根据能同时
成立，可得22()x x f x ++的最小值，即可求解.
【详解】
（1）①当2x <-时,不等式()3f x x <+可化为123x x x ---<+,得43
x >-，无解； ②当-2≤x ≤1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+得x >0,故0<x ≤1;
③当x >1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+,得x <2,故1<x < 2.
综上，不等式()3f x x <+的解集为{|02}x x <<
（2）由题意知22()m x x f x ++在R 上恒成立，
所以()2min 2()x m x x f x ++
令2()2g x x x =+，则当1x =-时，min ()1g x =-
又当21x -时，()f x 取得最小值，且min ()3f x =
又1[2,1]-∈-
所以当1x =-时，()f x 与()g x 同时取得最小值.
所以()2min 2()
132x x f x ++=-+=
所以2m ≤，
即实数m 的取值范围为(,2]-∞
【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题. 22、()122143x y +=；()2
【解析】
()1根据题意列出方程组求解即可；
()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443
x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；
②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460k x x mk x x m +++++=，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()
2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+
，根据d ===. 【详解】
解：()1设焦距为2c
，由题意知：22212
b b a
c c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为：22
143
x y +=； ()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443
x y =-，
2227·403BM ON x y y =-+=-=
，解得：y =
7-， B ，M
不重合，故y =213249x =
，故2MN x == ②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，
O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，
当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；
设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++
()()22
2222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，1212346x x y y +=- ()()1212346x x kx m kx m +++=-
()
()221212434460k x x mk x x m +++++= 223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()
2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m ∆=+->，
x =
则：122843mk x x k -+=+，212241243
m x x k -=+，代入式子得： 22
2
23286043m k m k --=+，22443m k =+ 设O 到直线MN 的距离为d
，则d ===
k=时，
d=
min
.
综上，原点O到直线MN距离的最小值为
2
【点睛】
本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.。