优质课《平方根》精品教案 (省一等奖)2

本资源为2021年制作，是一线教师经过认真研究，综合教学中遇到的各种问题，总结而来。

是一个非常实用的资源。

资源以课本为依托，以教学经验为蓝本，经过二次备课和实践研究，将教学环节进一步细化，综合同课异构的课堂结构，统一编写而成。

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平方根
教学目标：
1、了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根，并了解被开方数的非负性；
2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，进行简单的开平方
运算。

教学重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根 教学难点：了解被开方数的非负性； 教学过程： 一、学习准备
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。

加法与减法互逆；乘法与除法互逆。

2、什么叫乘方？什么叫幂？乘方有没有逆运算？完成下面填空。

32
= ( ) ( )2
= 9 (－3)2
= ( ) ( )2
=
4
1 ( )2
= ( ) ( )2
= 0 ( )2
=( ) 02 =( ) ( )2
= －4
3、左边算式底数、指数 求幂 ，右边算式幂、指数 求底数
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根。

即如果X 2
=a,那么 叫做 的平方根。

请按照第3页的举例你再举两个例子说明： 叫做开平方，平方与 互为逆运算 4、观察上面两组算式，归纳一个数的平方根的性质是： 一个正数 有两个平方根，它们互为相反数； 零 有一个平方根，它是零本身； 负数 没有平方根。

交流：〔1〕
25
16
的平方根是什么？ 21
1
2
〔2〕0.16的平方根是什么？ 〔3〕0的平方根是什么？ 〔4〕-9的平方根是什么？ 5、平方根的表示方法
一个正数a 有两个平方根,它们互为相反数. 正数a 的正的平方根,记作“a 〞 正数a 的负的平方根,记作“a -〞 这两个平方根合在一起记作“a ± 〞
如果X 2
=a ，那么X=a ±
，其中符号“
〞读作根号，a 叫做被开方数
这里的a 表示什么样的数？ a 是非负数 二、合作探究
1、判断下面的说法是否正确：
1〕．-5是25的平方根； 〔 〕 2〕．25的平方根是-5； 〔 〕 3〕．0的平方根是0 〔 〕 4〕．1的平方根是1 〔 〕 5〕.〔-3〕2
的平方根是-3 〔 〕 6〕. -32
的平方根是-3 〔 〕
2、阅读课本第4页例题1，按例题格式判断以下各数有没有平方根，假设有，求其平方根。

假设没有，说明为什么。

〔1〕 0.81 〔2〕 36
25 〔3〕 －100 〔4〕 〔－4〕2
〔5 〔6〕 4
1
2 〔7〕 10 〔8〕 5 三、学习体会：
本节课你学到哪些知识？哪些地方是我们要注意的？你还有哪些疑惑？ 四、自我测试
1、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。

〔1〕±12 , 144 〔 〕 〔2〕± 〔 〕
〔3〕102 ，104 〔 〕 〔4〕14 ，256 〔 〕
2、选择题〔1〕的平方根是 〔 〕
A 、0.1
B 、±0.1
C 、0.0001
D 、± 〔2〕因为〔〕2
= 0.09 所以〔 〕 A 、0.09 是的平方根. B 、是的3倍.
C 、0.3 是0.09 的平方根.
D 、不是的平方根. 3、判断以下说法是否正确：
〔1〕－9的平方根是－3; ( ) 〔2〕49的平方根是7 ； ( ) 〔3〕〔－2〕2
的平方根是±2 ； 〔 〕 〔4〕－1 是 1的平方根; 〔 〕 〔5〕假设X 2 = 16 那么X = 4 〔 〕 〔6〕7的平方根是±49. ( ) 4、求以下各数的平方根 1〕81 2〕 3〕
4
49 4〕(－6)2
5、求以下各式中的x:
(1) x ²=16 (2) x ²=121
49
(3) x ²=15 (4) 4x ²=81
[教学反思]
学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。

在本节课的教学中，我始终坚持以引导为起点，以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原那么；通过师生双边活动，通过对单元的
复习，使学生对本单元的知识系统化，重点知识突出化，能力培养阶梯化；在选择题目时注意了以基此题为主，少量思考性较强的题目为辅，兼顾了不同层次学生的不同要求。

本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。

教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。

由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。

学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。

通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。

接着，我利用可操作材料，体会展开图与长方体、正方体的联系；通过立体与平面的有机结合，开展学生的空间观念。

这样由浅入深、由表及里地使学生逐步达教学目标的要求：闭上眼睛想象展开或折叠的过程，促进学生建立表象，帮助学生理解概念，开展空间观念。

24.1 圆 (第3课时)
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．
推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．
教学目标
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．
4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．
设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
3．关键：探究圆周角的定理的存在．
教学过程
一、复习引入
〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们
O B
A
C
所对的其余各组量都分别相等．
刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知
问题：如下列图的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如下列图的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言． 老师点评：
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且
它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞 〔1〕设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如下列图 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=
1
2
∠AOC 〔2〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=
12
∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．
〔3〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=
1
2
∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=
12∠AOD-12∠COD=1
2
∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，
因此，同弧上的圆周角是相等的． 从〔1〕、〔2〕、〔3〕，我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？
O
B
A
C
D
分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD
理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径
∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD
三、稳固练习
1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展
例2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为
R ，求证：
sin a A =sin b B =sin c C
=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin c
C
=2R ，
即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2c
R
，因此，十清楚显要在直角三
角形中进行．
证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D
在Rt △DBC 中，sinD=
BC DC ，即2R=sin a
A
同理可证：sin b B =2R ，sin c
C =2R
∴sin a A =sin b B =sin c
C
=2R
五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业
1．教材P95 综合运用9、10、 [教学反思]
学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。

本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。

教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪
一剪，并展示所剪图形的形状。

由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。

学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。

通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。