吉林省长春外国语学校2018-2019高三上学期期末考试数学理含答案

长春外国语学校2019届第一学期期末高三
数学理
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合{}
(){}2
2,,,,A y y x x R B x y y x x R ==∈==∈，以下正确的是（ ）
A. A B =
B. A
B R = C. A B =∅ D. 2B ∈
2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11i z =+，则12z z =（ ） A ．2- B ．2 C ．1i - D ．1i +
3.已知命题()3
1,,168p x x x ∀∈+∞+>：，则命题p 的否定（ ）
A ．()3
1,,168p x x x ⌝∀∈+∞+≤： B ．()3
1,,168p x x x ⌝∀∈+∞+<：
C ．()3
0001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤： D ．()3
0001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+<：
4.在等比数列{}n a 中，已知571241
1,8a a a a a +==+，则5a 的值为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
18
D ．
116
5.已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）
A ．22
a b > B ．
1a b > C ．lg()0a b -> D ．11()()22
a b < 6.已知向量()2,1=a ,(),1x =b ，若+a b 与-a b 共线,则实数x 的值是（ ） A. -2 B. 2 C.-4 D. 4
7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ） A. 1 B. 32 C. 1
2
- D. 0
9.()()5
212x x -+展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．30 B ．70 C ．90 D ．150-
10.等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[0,9]，则使数列{}n a 的前项和n S 最大的正整数的值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
11.记不等式组2
22 20x y x y y ⎧⎪⎨⎪≤≥+⎩
++≥表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(),x y .有下面四个命题：1p ：
P ∀∈Ω，x y -的最小值为6；2p ：P ∀∈Ω，
224
205
x y ≤+≤； 3p ：P ∀∈Ω，x y -的最大值为6；4p ：P ∀∈Ω
22
x y ≤+≤ 其中的真命题是（ ）
A. 1p ，4p
B. 1p ，2p
C. 2p ，3p
D. 3p ，4p 12.
()()F x f x ax =-有4个零点，则实数a 的取值
范围是（ ）
A. ()0,e
B. 10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C. [
),e +∞ D. 1[,e
+∞）
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.已知=a 2=b ，若()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是_________．
14.已知随机变量()
2
1,N ξσ~，若(3)0.2P ξ>=，则()1P ξ≥-=__________．
15.用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是__________．
16.在四面体ABCD 中，若AB CD =2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为__________．
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知向量()sin ,1a x =-，13cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎭
，函数()()
2f x a b a =+⋅-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，其中A 为锐角，1a c ==，且()1f A =，求ABC ∆的面积S .
18. (12分)如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3， P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． （1）证明MN ∥平面P AB ；
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 19. (12
分) 已知数列}{n a 的前
n 项和n S 满足
)2(11N n n S S n n ∈≥+=-，，且11=a .
（1）求数列的通项公式n a ；
（2）记11+⋅=n n n a a b ，n T 为}{n b 的前n 项和，求使n
T n 2
≥成立的n 的最小值.
20. (12分)某学校在学校内招募了12名男志愿者和18名女志愿者.将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位: cm ),若身高在175cm 以上(包括175cm )定义为“高个子”,身高在175cm 以下(不包括175cm )定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者,用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出X 的分布列,并求X 的数学期望
.
21. (12分)已知函数()()2
2ln 1f x ax x x =+-+（a 为常数）.
（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）当[
)0,x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.
22.(10分)在直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t
y t =⎧⎨
=+⎩
(t 为参数),曲线2C 的直角坐标
方程为22(2)4x y +-=.以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立直角坐标系,射线l 的极坐标方程为(0)θααπ=<<． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；
（2）设点,A B 分别为射线l 与曲线上1C ，2C 除原点之外的交点，求AB 的最大值.
一、选择题
二、填空题 13.51506
π
或
，二者选一 14. 0.8 15. 6 16. 6π 三、解答题
()()
2
2117.122sin 1cos 2
2
1cos 21122cos 2sin 2222226f x a b a a a b x x x x x x x x π=+-=+-=+++--⎛⎫=+-=-=- ⎪
⎝
⎭（）
函数f(x)的单调递增区间是,()6
3k k k z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢
⎥⎣
⎦
（2）()sin 216f A A π⎛⎫
=-= ⎪⎝
⎭，因为50,,2,2666
A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以2,6
2
3
A A π
π
π
-
=
=
，又2222cos a b c bc A =+-，则2b =，
从而1sin 2S bc A =
=
18. (1)证明 由已知得AM ＝2
3
AD ＝2.
取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，
TN ＝1
2BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .
因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .
(2)解 取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ， 从而AE ⊥AD ，AE ＝
AB 2－BE 2＝
AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22
＝ 5.
以A 为坐标原点，AE →
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz . 由题意知，P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0,2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭
⎫52，1，－2，AN →
＝⎝⎛⎭
⎫52，1，2.
设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则
⎩⎪⎨⎪⎧
n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0,2,1)．
于是|cos 〈n ，AN →
〉|＝|n ·AN →
||n ||A N →|
＝8525.
设AN 与平面PMN 所成的角为θ，则sin θ＝85
25，
∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为85
25
.
19.（1）由已知有11=--n n S S ，∴数列}{n S 为等差数列， 且111==a S ，∴
n S n =，即2n S n =，
当2≥n 时，12)1(2
2
1-=--=-=-n n n S S a n n n ， 又11=a 也满足上式，∴12-=n a n ； （2）由（1）知，)1
21121(21)12)(12(1+--=+-=
n n n n b n
∴1
2)1211(21)1211215131311(21+=+-=+--+⋅⋅⋅+-+-=n n n n n T n ，
由n
T n 2
≥
有242+≥n n ，有6)2(2≥-n ，所以5≥n ，∴n 的最小值为5. 20.（1）根据茎叶图，有高个子12人，非高个子18人，所以利用分层抽样的方法抽取的高个子的认识为
125=230⨯人，抽取的非高个子人数为185=330
⨯人，设至少有一人是高个子为事件A ，则
2112232
57()10
C C C p A C +==,即至少有一人是高个子的概率为7
10. （2）依题意知,“女高个子”的人数为人,随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.
()3831214
055C P X C ===,()1
2483
1228155C C P X C ⋅===, ()214831212255C C P X C ⋅===,()343
121
355
C P X C ===. 随机变量X 的分布列是:
数学期望0123155555555
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 21.（1）函数定义域()1-+∞，，当1a =-时，()()2
-2ln 1f x x x x =+-+，求导得()2
121
x f x x -'=
+
，令()0f x '>得
，令()0f x '<
得 函数的单调增区间为22⎛- ⎝⎭，，单调减区间为12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，和2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
． （2）当[
)0x ∈+∞，时， ()f x x ≤恒成立，令()()()2
ln 1g x f x x ax x x =-=+-+，
问题转换为[
)0x ∈+∞，时， ()max 0g x ≤．
()()22112111
x ax a g x ax x x ⎡⎤++⎣⎦=+-
=+'+，
①当0a =时， ()01
x
g x x +'=
≥，()g x ∴在[)0x ∈+∞，上单调递增， 此时()g x 无最大值，故0a =不合题意．
②0a >当时，()0g x '≥，此时()g x 在[
)0x ∈+∞，
上单调递增，此时无最大值.
此时()g x 无最大值，故0a >当时，不合题意．
③当0a <时，令()0g x '=解得， ()122102a x x a
-+==，
，
当1
02a -
<<时， ()22102a x a
-+=>， 而()g x 在[
)20x ，上单调递增，在[
)2x +∞，
上单调递减， ()()()2max 0=0g x g x g ∴=>，故1
02
a -
<<不合题意． 当1
2a ≤-
时， ()22102a x a
-+=
≤， 而此时()g x 在[
)0x ∈+∞，上单调递减， ()()max 00g x g ∴==，符合题意．
综上可知，实数a 的取值范围是12
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
，．
22.（1）曲线1C 的参数方程为c o s 1s i n
x t
y t =⎧⎨
=+⎩ (t 为参数),消去参数t,22(1)1x y +-=,即2220x y y +-=，∴曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，由曲线2C 的方程22(2)4x y +-=.得2240x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
（2）联立得，2sin θα
ρθ
=⎧⎨
=⎩，得(2sin ,)A αα，2sin OA α∴=
联立得，4sin θα
ρθ=⎧⎨
=⎩
，得(4sin ,)B αα，4sin OB α∴=
2sin AB OB OA α=-=，0,2
π
απα<<∴=
时，AB 由最大值，最大值为2.。