四川省泸县一中2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题 word版含答案

2019年春四川省泸县一中高二年级期中考试
数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.） 1. 设1-2i
z i i
=
+，则z =
D. 1
2.不等式213-≥--+x x 的解集为
A ．()+∞-,2
B ．()+∞,0
C ．[)+∞-,2
D ．[)+∞,0 3．“2m ≥”是“2
20x x m ++≥对任意x ∈R 恒成立”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合
5．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是 A ．5，10，15，20，25，30 B ．3，13，23，33，43，53 C ．1，2，3，4，5，6 D ．2，4，8，16，32，48
6．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于m 2的概率是
A.15
B.13
C.1
4
D ．不确定 7．已知偶函数b x x f a -=log )(在)0,(-∞上单调递增， 则)1(+a f 与)2(+b f 的大小关系是
A ．f (a ＋1)≥f (b ＋2)
B ．f (a ＋1)＜f (b ＋2)
C ．f (a ＋1)≤f (b ＋2)
D ．f (a ＋1)＞f (b ＋2) 8．若曲线C 的参数方程为23cos ,
13sin x y θθ
=+⎧⎨
=-+⎩(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则
曲线C 上到直线l 距离为710
10
的点的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9.抛物线x y 42=的焦点为F,点),(y x P 为该抛物线上的动点,又已知点A(-1,0),则PF
PA 的
最大值是
A ．１
B ．
2
C ．
2
2
D ．3 10.若1-=x 是函数x e ax x f --=)3()(2的极值点，则)(x f 的极大值为（ ） A.36-e B.32--e C.35-e D.1
2--e
11.函数223ln 2
++≤ax x x x 对),1[e e
x ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A.),2321[+∞---
e e B.),12321[+∞--e e C.),25
[+∞- D.),1
2321(+∞--
e
e 12.已知函数()sin
f x x x =+，若[2,1]x ∃∈-，使得2()()0f x x f x k ++-=成立，则实数k 的取值范围是
A ．[1,3]-
B ．[0,3]
C ．(,3]-∞
D ．[0,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.的最小值为，则满足约束条件，若y x z y y x y x y x 230010
22+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-≤--
14若函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且()02f =，则()15f ______.
15.若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为 ．
16.已知函数2)(ax x e x f x -=，),0(+∞∈x ，当12x x >时，不等式0)()(1
221<-x x f x x f 恒成
立，则实数a 的取值范围为______________
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=-=t y t
x 2
2422
3（t 为参
数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为θρsin 6=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点()3,4P ，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求11
PA PB
+
的值．
18. （本小题满分12分）
“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有
400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20
人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：
A 、02000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），
B 、20005000步，
C 、5000
8000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，
且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1∶4∶3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000
8000的人数；
（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000
10000的微信好友中，按男女比例分层抽取6
人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．
19.（本小题满分12分）
如图，平面CD AB ⊥平面D F A E ，其中CD AB 为矩形，D F A E 为直角梯形，F//D A E ，
F F A ⊥E ，F 22D 2EF A ==E =．
（Ⅰ）求证：平面D BF ⊥平面BCD A ； （Ⅱ）若三棱锥B ADF -体积为1
3
，求BD 与面BAF 所成角的正弦值．
20.（本小题满分12分）
已知函数()()2
ln f x x ax x a R =-+-∈．
（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（Ⅱ）函数()f x 既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若直线OA ，OB 的斜率之积为－1
2，求证：直线AB 过定点．
22.（本小题满分12分） 已知函数()ln 2
k x f x x x =+
+． （Ⅰ）当2k =时，求函数()f x 图象在点()1,(1)f 处的切线方程；
（Ⅱ）设函数()ln 1()g x x x f x =+-，若1,2x e ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦
使()0g x >成立，求实数k 的取值范
围.
2019年春四川省泸县一中高二年级期中考试
数学（文）试题答案
一．选择题
1.C
2.C
3.A
4.C
5.B
6.A
7.D
8.B
9.B 10.A 11.C 12.A 二．填空题
13.18- 13. -2 16.12
2
e a ≤
三．解答题
17.（Ⅰ）7:=+y x l ；9)3(:2
2=-+y x C ………………5分 （Ⅱ）22………………
10分
18．解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000步的人数：男12人，
女14人……2分，
400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000
8000步的人数
约为：26
40026040
⨯
=人……4分； （Ⅱ）该天抽取的步数在8000
10000的人数：男6人，女3人，共9人，
再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人. ……6分
列出6选2的所有情况15种……8分，至少1个女性有9种……10分 ， 设“其中至少有一位女性微信好友被采访”为事件A ，
则所求概率93
()155
P A =
= ……12分 19.解：（Ⅰ）证明：作,DH AF H ⊥于
F F A ⊥E ，F 22D 2EF A ==E =．
145HF DH HDF ∴==∴∠=︒， 2145AF AH ADH =∴=∴∠=︒．
90,ADF DF AD ∴∠=︒⊥即：
F BCD ADE A ⊥面面，AD 为两个面的交线 FD ABCD ∴⊥面．
BFD ABCD ∴⊥面面……………………6分
（Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，A B ⊥AD ， 所以AB ⊥平面ADEF ，
111||1||333
B ADF ADF V S AB AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=
所以
|AB|=1, BD ∴= 连接BH ，易知DBH ∠为线BD 与面BAF 所成的角，……………………10分 在直角△BDH
中，1BD DH ==
sin DBH ∴∠=
=所以BD 与面BAF
所成角的正弦值为
3
．……………………12分
20.（12分）（1）3a =时，()()()2211123123x x x x f x x x x x
---+'=-+-=-
=-，………2分
函数()f x 在区间1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
仅有极大值点1x =，故这个极大值点也是最大值点， 故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
最大值是()12f =， ………………4分
又()()15322ln 2ln 22ln 20244f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-< ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，故()122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭
． 故函数在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值为()22ln 2f =-． ………………6分
（2）()2121
2x ax f x x a x x
-+-'=-+-=
若()f x 既有极大值又有极小值，则首先必须()0f x '=有两个不同正根12,x x ，即
2210x ax -+=有两个不同正根，故a
应满足
20
80002
a a a
a ∆>⎧⎧->⎪
⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎪⎩ ………………12分 21.(1)因为抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以p
2＝1，即p ＝2.
所以抛物线C 的方程为y 2
＝4x .………………4分
(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 2
4，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12
，化简得t 2
＝32.………………6分
所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.………………7分
②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，
联立方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x ，
y ＝kx ＋b ，消去x 得ky 2
－4y ＋4b ＝0.由根与系数的关系得y A y B ＝
4b
k
，………………9分
因为直线OA ，OB 的斜率之积为－1
2
，
所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B
4
＋2y A y B ＝0，
解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4b
k
＝－32，即b ＝－8k ，………………11分
所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综合①②可知，直线AB 过定点(8,0)．………………12分
22()ln 2
155
(1)2)
222121
()-2
11
(1)2251
(1)260
22
x
f x x x f f x x x k f x x y ∴=+
∴=+∴'='∴∴=-+-=切线22解：(1)k=2+ (x>0) =,切点坐标为(1,又+
=1-2+=- 切线方程为y--即
22
22
(2)1ln 2
1,0
211ln ,221ln ,221ln ,221k x x x x x x x e x k x x x x e x x x x x x x e x x x x x x x e x x x +--
-⎡⎤
∃∈>⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
∴+---⎢⎥⎣⎦⎡⎤
∴+--⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
+--∈⎢⎥
⎣⎦'++由（1）知g()=ln 又使g()ln >0在上有解
ln >k 在上有解
设h(x)=ln h (x)=2ln (]2max 2
ln 1=21)ln 1
,1,211,,121()max (),()()222
x x x x
x e x e e h x h e h h e e k ----''⇒<≤⇒
≤<⎡⎫
∴⎪⎢⎣⎭⎧
⎫∴===
⎨⎬⎩⎭∴<
（ 令h (x)>01令h (x)<0h(x)在上为增函数,在减函数。