高一下学期数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理2课件

sinC
sin60
当C 120时，B 15，b c sin B 6 sin15 3 1; sinC sin120
所以b 3 1，B 75，C 60或b 3 1，B 15，C 120.
练习：课本P48页练习题2、3
3、在△ABC中，A 2 ，a 3c，则b ____1____
3
c
解析：由 a c 得，sinC c sin A 1 3 1
sin A sinC
a
32 2
又0 c ，所以C ，B ( A C )
3
6
6
所以b c
sin B sinC
sin 6
sin
1
6
跟踪训练
1、在△ABC中，若 A 60 , B 45，BC 3 2 ，则AC=( B )
sin B sin45
2
综上，可知A 60，C 75，c 6 2 或A 120，C 15，c 6 2
2
2
小结
正弦定理： a b c 2R(R为外接圆半径) sin A sinB sinC
利用正弦定理可以解决的问题：
1、已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和另一角。 2、已知三角形的两边与其中一边的对角，求出三角形的其他的 边和角。 ✓如果出现两个解，根据“三角形中大边对大角”来决定取舍！
练习
1、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°， b= 6，c=3，则A=__7_5_°____
解析 ：由题 意得 ：b
c ，所以sin B b sinC
6 3 2
2
sinB sinC
c
3
2
因为b c，所以B 45.所以A 180 B C 75
2、在△ABC中，已知c= 6，A=45°,a=2，解这个三角形.
sin A sin45
2
∵a b， A B， A 45或120.
当A 60时，C 180 45 60 75，c b sinC 2 sin75 6 2
sin B sin45
2
当A 120时，C 180 45 120 15，c b sinC 2 si否也有这个关系？
(1)若三角形是锐角三角形，如图
过点A作AD⊥BC于D, 此时有
sin B AD ，sinC AD
c
b
c
B
所以AD=csinB=bsinC，即 b c ,
sin B sinC
同理可得 a c ,
sin A sinC
abc sin A sinB sinC
2、在△ABC中，已知c= 6，A=45°,a=2，解这个三角形.
解：因为 a c ，所以sinC c sin A 6 sin45 3
sin A sinC
a
2
2
因为0 C 180，所以C 60或C 120.
当C 60时，B 75，b c sin B 6 sin75 3 1;
由 a c 得a c sin A 10 sin45 10 2
sin A sinC
sinC
s in 30
因为sin75 sin(30 45) sin30 cos 45 cos 30 sin45 2 6 4
所以b c sin B 10 sin( A C ) 20 2 6 5 2 5 6
A.4 3
B.2 3
C. 3
D. 3 2
解析：由正弦定理得，BC AC ，即 3 2 AC ，所以AC 3 2 2 2 3
sin A sin B sin60 sin45
32
2
2、在△ABC中，c 6，C 60 , a 2，求A，B，b
解： a c ，所以sin A a sinC 2
变式： sinA:sinB:sinC=a:b:c
思考： 利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？ 正弦定理可用于两类： (1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角； (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边.
题型一、已知两角及一边解三角形
例1、在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=_4___6_
解析：由正弦定理，知AC BC ，则 AC 12 ，解得AC 4 6 sin B sin A sin45 sin60
练习、在△ABC中，已知AB= 6 ，A=75°，B=45°，则AC=_2___
解析：C 180 75 45 60，由正弦定理，得 AB AC ， sinC sin B
6.4.3 余弦定理、正弦定理
1、复习回顾
余弦定理
三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的两倍．
a 2 b2 c 2 2bc cos A
b2 a 2 c 2 2ac cos B
推论： cos A b 2 c 2 a 2
2bc
c 2 a 2 b2 2abcosC
cos B a 2 c 2 b2 2ac
cos C a 2 b2 c 2 2ab
2、正弦定理
在直角三角形ABC中的边角关系有：
sin A a ,sinB b ,sinC 1 c
B
c
c
c
c a ,c b ,c c sin A sin B sinC
c a
abc sin A sinB sinC
即 6 AC ，解得AC 2 sin60 sin45
题型一、已知两角及一边解三角形
例2、在△ABC中，已知 A 15 , B 45 , c 3 3,解这个三角形。 解：由三角形内角和定理，得
C 180 ( A B) 180 (15 45 ) 120
由正弦定理，得
c sin A (3 3)sin15 (3 3 )sin(45 30 )
A
b
DC
(2)若三角形是钝角三角形，且角C是钝角
过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D，
此时也有 sin B AD
c
且 sin( C) AD sinC
B
b
A c
b
图2 C D
可得：a b c sin A sinB sinC
正弦定理
正弦定理 在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等.
a b c ＝? sin A sinB sinC
B.90°
C.45°
D.30°
解析：由 a b 得，sin A a sin B
sin A sin B
b
所以A 45或A 135
又∵a b， A B， A 45
2 3 2
2
3
2
4、已知在△ABC中，a 3，b 2，B 45，解这个三角形
解析：由正弦定理及已知条件有 3 2 ，得sin A 3
sin A sinC
c
2
所以A 45或A 135
又∵c a，C A， A 45
B 75，b c sin B 6 sin75 3 1 sinC sin60
3、在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
a 2，b 3，B 60，那么A等于( C )
A.135°
(3)外接圆法
如图: C C'
B a
c c 2R sinC sinC'
c
C
·Ob
A
C'
同理： b 2R， a 2R
sin B
sin A
即： a b c 2R(R为外接圆半径) sin A sin B sinC
正弦定理 在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即
a b c 2R(R为外接圆半径) sin A sinB sinC
s in 30
2 sin(45 30 ) s in 30
2 3 21
2(sin45 cos 30 cos 45 sin30 )
s in 30
2( )
2
2 1
2 2
3 1
2
方法规律
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)由正弦定理求出另一边对角的正弦. (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角 对大边的法则，能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一 的锐角. (3)如果已知的角为小边所对的角时，那么不能判断另一边所对的角 为锐角，这时由正弦值可得到两个角，要分类讨论.
a
sinC
sin120
sin120
2 3 21
(3
3 )(sin
45
cos 30 sin120
cos
45
s in 30
)
(3
2
3 )( ) 2 2 2 2 3
2
b c sin B (3
3)sin45 (3
3) 2
6
2
2
sinC
sin120
3
2
方法规律
已知三角形任意两角和一边解三角形的思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边.
sinC
s in 30
4
题型二、已知两边及一边的对角
例3、在△ABC中，已知 B 30 , b 2, c 2 ，解这个三角形。
解：由正弦定理，得sinC c sinB 2sin30 2
b
2
2
因为c b, B 30 所以30 C 180
于是C 45 或C 135
(1)当C 45 时 A 105 此时a b sin A
sin B
2 sin105
s in 30
2 sin(60 45 ) s in 30
3 21 2
2(sin60 cos 45 cos 60 sin45 )
2( ) 2 2 2 2
3 1
s in 30
1
2
(2)当C 105 时 A 15
此时a b sin A sin B
2 sin15
易错提醒：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时 应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如 75°=45°+30°)，再根据上述思路求解.
练习、在△ABC中，已知c=10，A=45°，C=30°，解这个三角形.
解：因为A=45°，C=30°，所以B=180°-(A+C)=105°