江苏省兴化一中高三数学10月月考试题文

高三数学（文科）
一、填空题：（07145'=⨯'）
1．已知集合{}4,2,1,1-=A ，{}2,0,1-=B ，则=B A I ▲ . 2．命题“⎪⎭
⎫
⎝
⎛
∈∃2,
0πx ，x x sin tan >”的否定是 ▲ ． 3．若函数)()(b x x x f +=是偶函数，则实数=b ▲ ．
4．已知函数)0()(>-=a b ax x f ，34))((-=x x f f ，则=)2(f ▲ ．
5．已知A ∠是ABC ∆的内角，则“2
1cos -
=A ”是“23sin =A ”的 ▲ 条件
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分又不必要”之一)。

6．在ABC ∆中，2=AB ，7=
AC ，3
2π
=
∠ABC ，则=BC ▲ . 7．函数x x x f cos 2)(+=在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π上的最大值是 ▲ ． 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若639a a -=，则=8S ▲ .
9．
设曲线2
ax y =在点()a ,1处的切线与直线062=--y x 平行，则a 的值是 ▲ ． 10．设等比数列{}n a 满足11=a ， 653=+a a ，则=++975a a a ▲ ．
11．已知数列{}n a 满足)(log 1log *
212N n a a n n ∈+=+，且110321=++++a a a a Λ，则
=+++)(log 1101021012a a a Λ ▲
12．将函数)0)(2sin(2)(<+=ϕϕx x f 的图象向左平移3
π
个单位长度，得到偶函数)(x g 的图象，则ϕ的最大值是 ▲ ． 13．在数列{}n a 中，21=
a ，),2(2*
21
N n n a a n n ∈≥+=-，设2
4)
2(1
++=n a n b n n ，n S 是数列{}n b 的前n 项和，则=++++
2
2)
2(1
)1(116n n S n ▲ ．
14．如果函数)(x f y =在其定义域内总存在三个不同实数1x ，2x ，3x ，满足
)3,2,1(1)(2==⋅-i x f x i ，则称函数)(x f 具有性质Ω.已知函数x ae x f =)(具有性质 Ω，
则实数a 的取值范围为 ▲ .、 二、解答题：
15．（本小题41'）设集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤=4221x x
A ，{}
0)(2≤--+=ab x a b x x B . （1）若B A =且0<+b a ，求实数b a ,的值；
（2）若B 是A 的真子集，且2=+b a ，求实数b 的取值范围.
▲ ▲ ▲
16．（本小题41'）已知函数1)cos (sin cos 2)(-+=x x x x f ． （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）求)(x f 在[]π,0上的单调递增区间．
▲ ▲ ▲
17．（本小题51'）已知函数()R x f x x ∈⋅+=-λλ33)(
（1） 当1=λ时，试判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （2） 若不等式6)(≤x f 在[]2,0∈x 上恒成立，求实数λ的取值范围．
▲ ▲ ▲
18．（本小题51'）已知函数1)1(2
1ln )(2
++-+
=x m mx x x x f . （1）若)()(x f x g '=,讨论)(x g 的单调性;
（2）若)(x f 在1=x 处取得极小值，求实数m 的取值范围 .
▲ ▲ ▲
19．（本小题61'）某中学新校区内有一块以O 为圆心，R （单位：米）为半径的半圆形荒地（如图），学校计划对其开发利用，其中弓形BCD 区域（阴影部分）用于种植观赏植物，△OBD 区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售。

已知种植观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元。

（1）设BOD θ∠=（单位：弧度），用θ表示弓形BCD 的面积()S f
θ=弓
（2）如果该校邀请你规划这块土地。

如何设计BOD ∠的大小才能使总利润最大？并求出该最大值
▲ ▲ ▲
20．（本小题61'）已知数列{}n a 、{}n b 是正项数列，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，{}
n b
的前n 项和为)(*
N n S n ∈，且111==b a ，122+=b a ，233-=b a ．
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令1
1
++⋅=
n n n n S S b c ，求数列{}n c 的前n 项和n T ；
（3）设1
2+=n n
n b a d ，若m d n ≤恒成立，求实数m 的取值范围．
▲ ▲ ▲
兴化市第一中学2018-2019年度十月份月考试卷
高三数学（文科）答案
一、填空题：（07145'=⨯'）
1．已知集合{}4,2,1,1-=A ，{}2,0,1-=B ，则=B A I ▲ .【答案】{}2,1- 2．命题“⎪⎭
⎫
⎝
⎛
∈∃2,
0πx ，x x sin tan >”的否定是 ▲ ．【答案】⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈∀2,
0πx ，x x sin tan ≤
3．若函数)()(b x x x f +=是偶函数，则实数=b ▲ ．【答案】0
4．已知函数)0()(>-=a b ax x f ，34))((-=x x f f ，则=)2(f ▲ ．【答案】3
5．已知A ∠是ABC ∆的内角，则“2
1
cos -
=A ”是“23sin =A ”的 ▲ 条件
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分又不必要”之一)。

【答案】充分不必要
6．在ABC ∆中，2=AB ，7=
AC ，3
2π
=
∠ABC ，则=BC ▲ .【答案】1
7．函数x x x f cos 2)(+=在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π上的最大值是 ▲ ．【答案】π6+8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若639a a -=，则=8S ▲ .【答案】36
9．设曲线2
ax y =在点()a ,1处的切线与直线062=--y x 平行，则a 的值是
▲ ．【答案】1
10．设等比数列{}n a 满足11=a ， 653=+a a ，则=++975a a a ▲ ．【答案】28
11．已知数列{}n a 满足)(log 1log *
212N n a a n n ∈+=+，且110321=++++a a a a Λ，则
=+++)(log 1101021012a a a Λ ▲ 【答案】100
12．将函数)0)(2sin(2)(<+=ϕϕx x f 的图象向左平移
3
π
个单位长度，得到偶函数)(x g 的
图象，则ϕ的最大值是 ▲ ．【答案】6
π
- 13．在数列{}n a 中，21=
a ，),2(2*
21N n n a a n n ∈≥+=-，设2
4
)2(1
++=
n a n b n n ，n S 是数列{}n b 的前n 项和，则=++++
2
2)2(1)1(116n n S n ▲ ．【答案】5
4
14．如果函数)(x f y =在其定义域内总存在三个不同实数1x ，2x ，3x ，满足
)3,2,1(1)(2==⋅-i x f x i ，则称函数)(x f 具有性质Ω.已知函数x ae x f =)(具有性质 Ω，
则实数a 的取值范围为 ▲ .【答案】⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1
e 【解析】由题意知：若 具有性质，则在定义域内
有3个不同的实数根，
，
，即方程
在R 上有三个不同的实数根.
设
，
当时，，即在
上单调递增 当时，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
又 ，
方程
在R 上有三个不同的实数根即函数与的图象有三个交点.
，
.故答案为：⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1e
二、解答题：
15．（本小题41'）设集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤=4221x x
A ，{}
0)(2≤--+=ab x a b x x B . （1）若B A =且0<+b a ，求实数b a ,的值；
（2）若B 是A 的真子集，且2=+b a ，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）{}124|122x A x x ⎧⎫
=≤≤=-≤≤⎨
⎬⎩⎭
，
∵0a b +<，∴ a b <-， ∴()(){}
{}|0|B x x a x b x a x b =-+≤=≤≤-， ∵A B =， ∴1,2a b =-=-. 7分 （2）∵2a b +=， ∴{}|2B x b x b =-≤≤-， ∵B 是A 的真子集， ∴1
{
22
b b -≥--≤ ，解得01b ≤≤。

∴实数b 的取值范围解得01b ≤≤. 14分 16．（本小题41'）已知函数1)cos (sin cos 2)(-+=x x x x f ．
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在[]π,0上的单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）()2
2sin cos 2cos 1f x x x x =+- sin2cos2x x =+ π24x ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭．
所以()f x 的最小正周期为2π
π2
T =
=． 7分 （Ⅱ）由πππ2π22π242k x k -+≤+≤+ ()k Z ∈， 得3ππ
ππ88
k x k -+≤≤+ ()k Z ∈．
当[]
0,πx ∈时，单调递增区间为π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π,π8⎡⎤
⎢⎥⎣⎦． 14分
17．（本小题51'）已知函数()R x f x
x
∈⋅+=-λλ3
3)(
（1） 当1=λ时，试判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （2） 若不等式6)(≤x f 在[]2,0∈x 上恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】（1） 函数()R x f x
x
∈⋅+=-λλ3
3)(为偶函数
证明：函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R 1λ=时，()33x x
f x -=+，()()f x f x -= 所以函数()33x x
f x λ-=+⋅为偶函数； 7分
（2） 由于()6f x ≤得336x x
λ-+⋅≤，即
363x x λ+
≤，
令[]()31,9x
t t =∈， 原不等式等价于6t t λ
+≤在
[]1,9t ∈上恒成立， 亦即26t t λ-+≤在[]1,9t ∈上恒成立
令
()26g t t t
=-+，
[]
1,9t ∈ 当9t =时，
()()min 927
g t g ==-，
所以27λ-≤ 15分 18．（本小题51'）已知函数1)1(2
1ln )(2
++-+
=x m mx x x x f . （1）若)()(x f x g '=,讨论)(x g 的单调性;
（2）若)(x f 在1=x 处取得极小值，求实数m 的取值范围 . 【答案】（1） ()()()()()11'1ln 10,'mx
g x f x x mx m x g x m x x
+==++-+>=
+=
. ①0m =时，当0x >时，()'0g x >，所以()g x 在()0,+∞上为增函数； 2分
②0m >时，当0x >时，()'0g x >，所以()g x 在()0,+∞上为增函数； 4分
③0m <时，令 ()'0g x =，得1x m =-
，所以当10,x m ⎛
⎫∈- ⎪⎝
⎭时，()'0g x >；当
1,x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在10,m ⎛⎫- ⎪⎝
⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭上单调递
减； 6分
综上，0m ≥时，()g x 在()0,+∞上为增；0m <时，()g x 在10,m ⎛
⎫- ⎪⎝⎭上单增，在1,m ⎛⎫
-+∞ ⎪
⎝⎭
上单减. 7分
（2）()()'ln 1f x x m x =+-.当0m ≥时，()'f x 单增，恒满足()'10f =，且函数()f x 在
1x =处极小10分
当0m <时，()'f x 在10,m ⎛
⎫-
⎪⎝⎭单调递增，且()'10f =，故11m
->即10m -<<时，函数()f x 在1x =处取得极小值. 综上所述，m 取值范围为
()1,-+∞. 14分
19．（本小题61'）某中学新校区内有一块以O 为圆心，R （单位：米）为半径的半圆形荒地（如图），学校计划对其开发利用，其中弓形BCD 区域（阴影部分）用于种植观赏植物，△OBD 区
域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售。

已知种植观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元。

（1）设BOD θ∠=（单位：弧度），用θ表示弓形BCD 的面积()S f
θ=弓
（2）如果该校邀请你规划这块土地。

如何设计BOD ∠的大小才能使总利润最大？并求出该最大值 【答案】
（1）扇形BOD 的面积2211
=
,sin 22BOD S R S R θθ=V 扇 ()()21
sin 2
BOD
S f S S R θθθ==-=-V 弓扇 5分 （2）设总利润为y 元，种植草皮利润为1y 元，种植花卉利润为2y 元，种植学校观赏植物成本为3y 元。

()2
2221231111
30,80sin ,20sin 2
222y R R y R y R πθθθθ⎛⎫=-=⨯=⨯- ⎪⎝⎭
则
123
y y y y =+-()()2222211113080sin 20sin 53510sin 2222R R R R R πθθθθπθθ⎛⎫
⎡⎤=-+⨯-⨯-=-- ⎪⎣⎦⎝⎭
7分
设()()510sin ,0,,g θθθθπ=-∈则()510cos g θθ='-，令()0g θ'=，得3
π
θ=
，当
0,
3πθ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时， ()0g θ'<， ()g θ单调递减；当,3πθπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时， ()0g θ'>， ()g θ单调递增。

10分 所以当3
π
θ=时， ()g θ取得极小值，也是最小值为55333g ππ
⎛⎫=
-
⎪⎝⎭
12分
此时总利润最大，则最大总利润为2254535355333y R R πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=--=+
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
- 11 - 15分 所以当扇形的圆心角为3π时，总利润取得最大值为245533R π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
元 16分 20．（本小题61'）已知数列{}n a 、{}n b 是正项数列，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，{}
n b 的前n 项和为)(*N n S n ∈，且111==b a ，122+=b a ，233-=b a ．（1）求数列{}n a 、{}
n b 的通项公式；（2）令11++⋅=n n n n S S b c ，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）设1
2+=n n n b a d ，若m d n ≤恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）设公差为d ，公比为q ，由已知得111==b a ，q d =，322
-=q d ，
解之得：3==q d ，23-=n a n ．又因0>n b ，故13-=n n b ． 5分 （2）2131)1(1-=--=n n n q q b S ， 所以)1
31131(2)13)(13(3411---=--⋅=++n n n n n n c ， 7分
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++131212131131261818121211n n n n T Λ． 10分
（3）n n n n n b a d 3
)23(2
12-==+，12212131142183)23(3)13(+++-+-=--+=-n n n n n n n n n d d 当2,1=n 时，1+<n n d d ， 当*,3N n n ∈≥时，1+>n n d d ， 13分 又因为311=d ，9162=d ，27493=d ，81
1004=d ，所以m 的取值范围为⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,2749． 16分。