相似三角形模型总结及例题分类

相似三角形经典模型总结

经典模型

【精选例题】 “平行型”

【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，

则111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形

【例2】 如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则

_____EF =，_____MN =

【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD

的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证：

PE PH

PF PG

=

【例4】 已知：在ABC ∆中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且

2AE

EC

=,BE 、CD 相交于点F ， 求

BF

EF

的值 【例5】 已知：在ABC ∆中，1

2

AD AB =

，延长BC 到F ,使1

3

CF BC =,连接FD 交AC 于点E

求证：①DE EF =②2AE CE =

【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长

线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ∆为等腰三角形

【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：

111c a b

=+. F

E D

C B

A

【例8】 如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.

【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，

MF BC ⊥于点F 求证：

1MF ME

AB CD

+= 【例10】 如图，在ABC ∆中，D 是AC 边的中点，过D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长

线于F

求证：AE BF BE CF ⋅=⋅

【例11】 如图，在线段AB 上，取一点C ，以AC ，CB 为底在AB 同侧作两个顶角相等的等

腰三角形ADC ∆和CEB ∆，AE 交CD 于点P ，BD 交CE 于点Q , 求证：CP CQ =

【例12】 阅读并解答问题.

在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D ，E 落在BC 边上，F ，G 分别落在AC ,AB 边上，作法如下：

第一步：画一个有三个顶点落在ABC ∆两边上的正方形''''D E F G 如图， 第二步：连接'BF 并延长交AC 于点F 第三步：过F 点作FE BC ⊥,垂足为点E 第四步：过F 点作FG BC ∥交AB 于点G 第五步：过G 点作GD BC ⊥，垂足为点D 四边形DEFG 即为所求作的正方形

问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形

⑵在ABC ∆中，如果6BC =，45ABC ∠=︒,75BAC ∠=︒,求上述正方形DEFG 的边长

“平行旋转型”

图形梳理：

特殊情况：B 、'E 、'F 共线

C ，'E ，'F 共线

【例13】 已知梯形ABCD ，AD BC ∥，对角线AC 、BD 互相垂直，则

①证明：2222AD BC AB CD +=+

【例14】 当AOD ∆，以点O 为旋转中心，逆时针旋转θ度（090θ<<），问上面的结论是

否成立，请说明理由

【例15】 （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，

求::AG DF CE =_________.

“斜交型”

【例16】 如图，ABC ∆中，D 在AB 上，且DE BC ∥交AC 于E ，F 在AD 上，且

2AD AF AB =⋅，求证：AEF ACD ∆∆:

【例17】 如图，等边三角形ABC 中，D ，E 分别在BC ，AB 上，

且CE BE =，AD ，CE 相交于M ，

求证:EAM ECA ∆∆: 【例18】 如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，

BAC CDB ∠=∠,求证：DAC CBD ∠=∠

【例19】 如图，设AB BC CA AD DE EA

==

，则12∠=∠吗？ 【例20】 在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，ABC ∆和BDE ∆的面

积分别等于18和2，2DE =，求AC 边上的高

【例21】 如图，在等边ABC ∆的边BC 上取点D ，使

2

1

=CD BD ，作CH AD ⊥，H 为垂足，连结BH 。

求证：DBH DAB ∠=∠

M E

D

C

B

A

【例22】 已知：在正三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD CE =,

直线CD 与AE 相交于点F

求证：①DC AE =,②2AD DC DF =⋅

“斜交特殊型”（隐含三垂直）

【例23】 已知，如图，ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，DE AC ⊥于点E ，DF AB ⊥于点F ，

求证：AEF B ∠=∠

【例24】 已知：如图，CE 是直角三角形斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连

结AP ，BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ⋅=2。

【例25】 如图，E 、G 、F 、H 分别是矩形ABCD 四条边上的点，EF GH ⊥,若2AB =，

3BC =，则:EF GH 等于（）

A.2:3

B.3:2

C.4:9

D.无法确定

【例26】 如图，已知：正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、BC 上，且BM BN =，BP MC

⊥于点P

求证：DP NP ⊥

【例27】 如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==,点D 在BC 上运动（不经过B ,C ），

过点D 作45ADE ∠=︒,DE 交AC 于E

①图中有无与ABD ∆一定相似的三角形，若有，请指出来并加以证明 ②设BD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系，并写出其定义域； ③若ADE ∆恰为等腰三角形，求AE 的长