相似三角形模型总结及例题分类
相似三角形经典模型总结及例题分类
相似三角形经典模型总结经典模型【精选例题】 “平行型”【例 1】 如图，EEJ / FFJ / MM 1，若 AE=EF=FM=MB ,贝V S.A E ® ： S 四边形EE 1F 1F : S 四边形FF 1M 1M : S 四边形MM QB 二翻折180°翻折180°V平行型斜交型斜交型平行型斜交型双垂直双垂直特殊平移翻折180°一般平移旋转180°一般一般特殊特殊C1［例2】如图，AD// EF M/N BC若AD =9 , BC =18 , AE :EM :MB = 2:3: 4,则EF = _____ , MN = ______长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H求证：PE PH PF 一PG【例3】已知, P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD , BC , CD的延【例4】已知：在ABC中，D为AB中点, 求目匸的值EF E为AC上一点，且Ah2，BE、CD相交于点F ,NCWORD整理版1 1【例引已知：在ABC中，AD AB，延长BC到F,使CF BC ,连接FD交AC于点E2 3AE =2CE求证: ① DE 二EF ②【例6】已知：D , E为三角形ABC中AB、BC边上的点，连接DE并延长交AC的延长线于点F , BD: DE 二AB:AC求证：:CEF为等腰三角形【例7】如图，已知AB//EF / /CD，若AB =a，CD = b，EF = c，求证：1 =——cab【例8】如图，找出S.ABD、S BED、S.BCD之间的关系，并证明你的结论【例9】如图，四边形ABCD中，B=/D =90，M是AC上一点，ME _ AD于点E , MF _ BC于占JF 求证: MF ME ,1AB CDC【例10】如图，在ABC中，D是AC边的中点，过D作直线EF交AB于E,交BC的延长线于F 求证：AE BF 二BE CF【例11】如图，在线段AB上，取一点C，以AC，CB为底在AB同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC和CEB，AE交CD于点P，BD交CE于点Q,求证：CP =CQ【例12】阅读并解答问题.在给定的锐角三角形ABC中，求作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F , G分别落在AC , AB边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在ABC两边上的正方形D'E'F'G'如图，第二步：连接BF'并延长交AC于点F第三步：过F点作FE _ BC ,垂足为点E 第四步：过F点作FG // BC交AB于点G 第五步：过G点作GD _ BC，垂足为点D 四边形DEFG即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG为正方形⑵在ABC中，如果BC =6「3 , ABC =45 , • BAC = 75 ,求上述正方形DEFG的边长B D' E' D E C“平行旋转型”图形梳理:C , E', F'共线【例13】已知梯形ABCD , AD // BC，对角线AC、BD互相垂直，则①证明：AD2 BC2二AB2 CD2色AEF旋转到公AE 一AEF旋转到一AE ' F' AAEF旋转到至AE ''二AEF旋转到二AE 'F' △AEF旋转至U色AE ' F'△AEF旋转至U色AE ' F' △AEF旋转至U色AE ' F'【例14】当 MOD ，以点O 为旋转中心，逆时针旋转 日度（0£日＜90），问上面的结论是否成立，请 说明理由D【例15】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形AG : DF : CE = ___________ .“斜交型”【例16】如图，.:ABC 中，D 在AB 上，且DE // BC 交AC 于E , F 在AD 上，且AD^AF AB , 求证：AEF L ACD【例17】如图，等边三角形 ABC 中，D , E 分别在BC , AB 上，且CE 二BE , AD , CE 相交于M , 求证：EAM L ECAABCD 和BEFG 均为正方形，求GFBEDCD【例18】如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O , . BAC — CDB ,求证：.DAC = . CBDAB BC CA【例佃】如图，设伴二CA ，则.仁.2吗?AD DE EA等于18和2，DE =2，求AC 边上的高BD 1【例21】如图，在等边 ABC 的边BC 上取点D ，使 ，作CH _AD ，H 为垂足，连结BH 。
相似三角形常见模型(总结材料)
第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）AADDEEBC BC（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型AABBJODCDC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型AADDBC C（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。
8字型拓展AAEFGD BEB CC共享性一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2OAOE．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,DEBABC．B 2；（2）DCEDAC．求证：（1）DBDEDADEAC例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2EFEG．相关练习：2．1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FDFBFC2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD;(2)ND 2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长A D到G，使DG=EF，M是AH的中点。
求证：GBM90AMEHBDCF5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）G 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边A B上的一个动点，PD⊥AB，交边A C于点D（点D与点A、C都不重合），E是射B 线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．P （1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；A CDE（第25题图）（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高A求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2EDED 2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。
中考中相似三角形的常见模型及典型例题
B
C
（2）对应边比： AD AE DE AC AB BC
例 1 如图，梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC、BD交于点O，BE//CD
交CA延长线于E．求证：OC2 OA OE
E
AD//BC BE//CD
A
D
．O
B
AO OD OC OB OC OD OE OB
C
AO OC OC OE
（1）内角平分线定理： AB BD AC CD
（2）证明：作平行线构造A字型相似
E A
△BAD∽△BEC
B
DC
【模型3】角平分线型
【三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比】
（1）外角平分线定理： AB BD AC CD
F A E
（2）证明：作平行线构造A字型相似
B
C
D
例 6 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题：
【二级形态】三垂直模型→K型相似
E
F
△BED∽△CDF
E
F
BD C
BD
C
【模型5】一线三等角相似
【二级形态】三垂直模型→K型相似
△BED∽△CDF
E E
PE
R
BD
F
F
F
M
C
C
BD
C
Q BD
T
☆基本结论1： △BED∽△CDF，将图中相似三角形进行平移仍相似 ☆基本结论2： 矩形内两垂直线段之比等于矩形边长之比：DE PQ ☆基本结论3： 特别地，当矩形PQTR为正方形时，DE=MFM. F QT
（3）求线段的比；
（4）证明线段的等积式。
【模型1】“A”字型＆“8”字型
相似三角形模型分析大全(非常全面-经典)
相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．ACDEB相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 90GMF EHDCBA5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DCABPD E（第25题图）上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。
相似三角形常见模型(总结)1
相似三角形第一部分 相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）BDE（平行）BDE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型BDD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC⋅=2．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABCDEB∠=∠．求证：（1）DADEDB⋅=2；（2）DACDCE∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EGEFBE⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD⋅=2．A CDEBGMF EHDCBA2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
相似模型【相似模型一: A 字型】 特征 模型 结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB C BDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD【相似模型二: X 型】 特征 模型 结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D ③ 顺着比, 交叉乘 ④ △BOC∽△DOA【相似模型三: 旋转相似】 特征 模型结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE ② △ABD∽△ACE【相似模型四: 三平行模型】 特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=【相似模型五: 半角模型】 特征模型 结论ECD BAA BDC EEDCBA90度, 45度； 120度, 60度 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六: 三角形内接矩形模型】 特征模型 结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H GFED C BA【相似模型七: 十字模型】 特征 模型结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE, 则AF=BE,②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中, CE ⊥BD, 则△CDE ∽△BCD,平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中, AB ＝AC,AB ⊥AC, ①D 为中点, ②AE ⊥BD, ③BE ：EC ＝2：1, ④∠ADB ＝∠CDE, ⑤∠AEB ＝∠CED,⑥∠BMC ＝135°, ⑦ , 这七个结论中, “知二得五”【A 型, X 型, 三平行模型】1.如图, 在△ABC 中, EF ∥DC, ∠AFE=∠B, AE=6, ED=3, AF=8, 则AC=_________, _________．F E DCBABCDE FA2. 如图, AB ∥CD, 线段BC, AD 相交于点F, 点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF=∠C, 其中AF=6, DF=3, CF=2, 则AE=_________.3.如图, 在Rt △ABD 中, 过点D 作CD ⊥BD, 垂足为D, 连接BC 交AD 于点E, 过点E 作EF ⊥BD 于点F, 若AB=15, CD=10, 则BF:FD=_____________.FEBCD AN MEDCBA4.如图, 在□ABCD中, E为BC的中点, 连接AE, AC, 分别交BD于M, N, 则BM:DN=_____________.5.如图所示, AB∥CD, AD, BC相交于点E, 过E作EF∥AB交BD于点F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；②；③；④．其中正确的有___________．F EDCBA图26.在△ABC中, AB=9, AC=6, 点M在边AB上, 且AM=3, 点N在AC边上.当AN= 时, △AMN与原三角形相似.7.如图, 在△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, D是边AB的中点, 现有一点P位于边AC上, 使得△ADP与△ABC相似, 则线段AP的长为.8.如图, 已知O是坐标原点, 点A.B分别在轴上, OA=1, OB=2, 若点D在轴下方, 且使得△AOB与△OAD相似, 则这样的点D有个.9.如图, 在Rt△ACB中, ∠C=90°, AC=16cm, BC=8cm, 动点P从点C出发, 沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发, 沿BC方向运动,如果点P的运动速度均为4cm/s, Q点的运动速度均为2cm/s, 那么运动几秒时, △ABC与△PCQ相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠, 使点B落地边AC上, 记为点B＇, 折叠痕为EF, 已知AB=AC=8, BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似, 那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图, 四边形中, 平分, , , 为的中点.（1）求证: ；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若, , 求的值.13.如图, 在中, 为上一点, , , , 于, 连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形, 并证明．14.如图, 在中, , 分别是, 上的点, , 的平分线交于点, 交于点.（1）试写出图中所有的相似三角形, 并说明理由（2）若, 求的值．15.如图, 在平行四边形ABCD中, 对角线AC.BD交于点O. M为AD中点, 连接CM交BD于点N, 且ON=1.（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2, 求四边形ABNM的面积.16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB = _________.19.如图所示, AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则=__________.20.如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, OE⊥BC于点E, 连接DE交OC于点F, 作FG⊥BC于点G, 则线段BG与GC的数量关系是___.21.如图, 已知点C为线段AB的中点, CD⊥AB且CD=AB=4, 连接AD, BE⊥AB, AE是∠DAB的平分线, 与DC相交于点F, EH⊥DC于点G, 交AD 于点H, 则HG的长为 .22.如图1, 在△ABC 中, 点D.E 、Q 分别在边AB.AC.BC 上, 且DE ∥BC, AQ 交DE 于点P. （1）求证: ；（2）如图, 在△ABC 中, ∠BAC=90°, 正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上, 连接AG 、AF, 分别交DE 于M 、N 两点. 如图2, 若AB=AC=1, 直接写出MN 的长；如图3, 求证MN2=DM【母子型】1.已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB=90°, CD ⊥AB 于D, S △ABC=20, AB=10。
相似三角形常见模型[总结]
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（2）当BD=1，FC=3时，求BE
例2：（1）在 中， ， ，点 、 分别在射线 、 上（点 不与点 、点 重合），且保持 .
①若点 在线段 上（如图），且 ，求线段 的长；
②若 ， ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2） 正方形 的边长为 （如下图），点 、 分别在直线 、 上（点 不与点 、点 重合），且保持 .当 时，求出线段 的长.
(1)、当点D是边AB的中点时，求证：
(2)、当 ，求 的值
（3）、当 ，设 ,求y关于x的函数关系式，并写出定义域
【练习4】]如图，在 中， ， ， ， 是 边的中点， 为 边上的一个动点，作 ， 交射线 于点 ．设 ， 的面积为 ．
（1）求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）如果以 、 、 为顶点的三角形与 相似，求 的面积.
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP= ，DF= ，求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当 时，求BP的长．
4、如图，已知边长为 的等边 ，点 在边 上， ，点 是射线 上一动点，以线段 为边向右侧作等边 ，直线 交直线 于点 ，
（1）写出图中与 相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
【练习1】
在直角 中， ，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点， 交射线AC于点F
（1）、求AC和BC的长
（2）、当 时，求BE的长。
（3）、连结EF,当 和 相似时，求BE的长。
【练习2】
在直角三角形ABC中， 是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合）， 与射线BC相交于点F.
求证： ．
例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ．
相似三角形的五种基本模型-【常考压轴题】
相似三角形中的五种基本模型◆模型一“A”字型1．如图，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积比为________．第1题图第2题图2．如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，请添加一个条件：____________，使△ABC ∽△AED .3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝23，M 为BC 上一点，AM 交DE 于N .(1)若AE ＝4，求EC 的长；(2)若M 为BC 的中点，S △ABC ＝36，求S △ADN 的值．◆模型二“X”字型4．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是()A.AD AB ＝AE ACB.DF FC ＝AE ECC.AD DB ＝DE BCD.DF BF ＝EF FC第4题图第5题图第6题图5．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE .下列结论：①∠ACD ＝30°；②S ▱ABCD ＝AC ·BC ；③OE ∶AC ＝3∶6；④S △OCF ＝2S △OEF ，其中成立的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，已知AD 、BC 相交于点O ，AB ∥CD ∥EF ，如果CE ＝2，EB ＝4，FD ＝1.5，那么AD ＝________．7．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是边AD 的中点，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，交AC 于点G .(1)若FD ＝2，ED BC ＝13，求线段DC 的长；(2)求证：EF ·GB ＝BF ·GE .◆模型三旋转型8．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是()A ．∠C ＝∠EB ．∠B ＝∠ADE C.AB AD ＝AC AE D.AB AD ＝BC DE第8题图第9题图第10题图9．★如图，△ABC ≌△DEF (点A 、B 分别与点D 、E 对应)，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，△ABC 固定不动，△DEF 运动，并满足点E 在BC 边从B 向C 移动(点E 不与B 、C 重合)，DE 始终经过点A ，EF 与AC 边交于点M ，当△AEM 是等腰三角形时，BE ＝__________．◆模型四“子母”型(大三角形中包含小三角形)10．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，已知BC ＝22，AB ＝3，则BD ＝________．11．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B ，如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为()A ．15B ．10 C.152D ．5第11题图第12题图◆模型五垂直型12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有()A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对13．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 为AB 上一点，分别以ED 、EC 为折痕将两个角(∠A 、∠B )向内折起，点A 、B 恰好落在CD 边上的点F 处．若AD ＝3，BC＝5，则EF的长是()A.15B．215 C.17D．217第13题图第14题图14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝3x－3与x轴、y轴分4别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当AD＝BD，AC＝3时，求BF的长．参考答案与解析1．1∶42．∠ADE ＝∠C (答案不唯一)3．解：(1)∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝AD AB ＝23.∵AE ＝4，∴AC ＝6，∴EC ＝6－4＝2.(2)∵M 为BC 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABC ＝18.∵DE ∥BC ，∴△ADN ∽△ABM ，∴S △ADN S △ABM＝＝49，∴S △ADN ＝8.4．A5．D 解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝60°，∴∠BCD ＝120°.∵CE 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝∠BCE ＝60°，∴△CBE 是等边三角形，∴BE ＝BC ＝CE ，∠CEB ＝60°.∵AB ＝2BC ，∴AE ＝BE ＝BC ＝CE ，∴∠CAE ＝30°，∴∠ACB ＝180°－∠CAE －∠ABC ＝90°.∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＝∠CAB ＝30°，故①正确；∵AC ⊥BC ，∴S ▱ABCD ＝AC ·BC ，故②正确；在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，∴AC ＝3BC .∵AO ＝OC ，AE ＝BE ，∴OE ∥BC ，∴OE ＝12BC ，∴OE ∶AC ＝12BC ∶3BC ＝3∶6，故③正确；∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△BCF ，∴CF EF ＝BC OE ＝2，∴S △OCF ∶S △OEF ＝CF EF＝2，∴S △OCF ＝2S △OEF ，故④正确．故选D.6．4.5解析：∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FO EO ＝AF EB .又∵EF ∥CD ，∴FO FD ＝EO EC ，则FO EO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 4＝1.52，解得AF ＝3，∴AD ＝AF ＋FD ＝3＋1.5＝4.5.7．(1)解：∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴FD FC ＝ED BC ＝13，∴FC ＝3FD ＝6，∴DC ＝FC －FD ＝4.(2)证明：∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，△AEG ∽△CBG ，∴EF BF ＝DE BC ，AE BC ＝GE GB.∵点E 是边AD 的中点，∴AE ＝DE ，∴EF BF ＝GE GB，∴EF ·GB ＝BF ·GE .8．D9．1或116解析：∵△ABC ≌△DEF ，AB ＝AC ，∴∠AEF ＝∠B ＝∠C .∵∠AEC ＝∠AEF ＋∠MEC ＝∠B ＋∠BAE ，∴∠MEC ＝∠EAB .∵∠AEF ＝∠B ＝∠C ，且∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF ，∴AE ≠AM .当AE ＝EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE ＝AB ＝5，∴BE ＝BC －EC ＝6－5＝1.当AM ＝EM 时，则∠MAE ＝∠MEA ，∴∠MAE ＋∠BAE ＝∠MEA ＋∠CEM ，即∠CAB ＝∠CEA .又∵∠C ＝∠C ，∴△CAE ∽△CBA ，∴CE AC ＝AC CB ，∴CE ＝AC 2CB＝256，∴BE ＝6－256＝116，∴BE ＝1或116.10.8311．D 解析：∵∠DAC ＝∠B ，∠C ＝∠C ，∴△ACD ∽△BCA .∵AB ＝4，AD ＝2，∴S △ACD ∶S △ABC ＝(AD ∶AB )2＝1∶4，∴S △ACD ∶S △ABD ＝1∶3.∵S △ABD ＝15，∴S △ACD ＝5.故选D.12．C 13.A14.285解析：根据“垂线段最短”，得PM 的最小值就是当PM ⊥AB 时PM 的长．∵直线y ＝34－3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴令x ＝0，得y ＝－3，∴点B 的坐标为(0，－3)，即OB ＝3.令y ＝0，得x ＝4，∴点A 的坐标为(4，0),即OA ＝4，∴PB ＝OP ＋OB ＝4＋3＝7.在Rt △AOB 中，根据勾股定理得AB ＝OA 2＋OB 2＝42＋32＝5.在Rt △PMB 与Rt △AOB 中，∵∠PBM ＝∠ABO ，∠PMB ＝∠AOB ，∴Rt △PMB ∽Rt △AOB ，∴PM OA ＝PB AB，即PM 4＝75，解得PM ＝285.15．(1)证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠C ＋∠DBF ＝90°，∠C ＋∠DAC ＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC ，∴△ACD ∽△BFD .(2)解：∵AD ＝BD ，△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝AD BD ＝1，∴BF ＝AC ＝3.。
(完整版)相似三角形模型分析大全(非常全面-经典)
相似三角形模型分析大全1、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6）双垂型：2、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展B一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：．OE OA OC ⋅=2例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ．ABC DEB ∠=∠求证：（1）； （2）．DA DE DB ⋅=2DAC DCE ∠=∠ACDEB例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：．EG EF BE ⋅=2相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：．FC FB FD ⋅=22、已知：AD 是Rt△ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND =NC·NB23、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BCGBM90求证：∠=︒5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高A（第25题图）求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=6，求：点B 到直线AC 的距离。
相似三角形的九大模型
相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。
这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。
本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。
相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。
平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。
这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。
共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。
这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。
这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。
这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。
位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。
这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。
旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。
镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。
相似模型总结、例题解析
相似模型总结、例题解析
相似模型汇总
关于相似的问题，相信初三的小伙伴们都明白它在中考里的比重。
不管是选择填空，还是大题应用，“相似”总是是变着花样的来为难大家。
上期小编给同学们总结了相似三角形的基本知识，收到的反馈还不错。
今天就来具体看看相似模型，在中考大战里能有什么招数～本期重难点
1. 相似基本模型：①A字、8字；②反A、反8；③角分线；④旋转型；⑤一线三等角；⑥线束模型；⑦内接矩形；⑧相似比与面积比。
2. 基本辅助线：①作平行线构造A字、8字；②作垂线构造直角三角形相似；
3. 基本问题类型：①证明相似；②求线段长；③求线段比：AB/CD；④证明线段乘积式：ab=cd；a2=bc
相似模型解读。
相似三角形典型模型及其例题
.\1：相像三角形模型一：相像三角形判断的基本模型（一） A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）AADD E EB C B C（平行）（不平行）（二） 8 字型、反 8 字型AA BBO JC DC D（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型AADDB C C（四）一线三等角型：三等角型相像三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或许等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的极点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边订交以下图：.\（五）一线三直角型：三直角相像能够看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相像往常是以矩形或许正方形形为背景，或许在一条直线上有一个极点在该直线上挪动或许旋转的直角，几种常有的基本图形以下：当题目的条件中只有一个或许两个直角时，就要考虑经过增添协助线结构完好的三直角型相像，这常常是好多压轴题的打破口，从而将三角型的条件进行转变。
（六）双垂型：ADC二：相像三角形判断的变化模型旋转型：由 A 字型旋转获得AD EB C8 字型拓展AE FGB C 共享性一线三等角的变形.\一线三直角的变形2：相像三角形典型例题（ 1）母子型相像三角形例 1：如图，梯形ABCD 中， AD ∥ BC，对角线 AC、 BD 交于点 O， BE∥ CD 交 CA 延伸线于E．求证： OC2OA OE ．例 2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,D EB ABC ．求证：（ 1）DB2DE DA ；（2）DCE DAC ．BDEA C例 3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥ BC于D，CG∥ AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证： BE2EF EG ．1、如图，已知AD 为△ABC 的角均分线， EF 为 AD 的垂直均分线．求证：FD 2FB FC ．2、已知： AD 是 Rt△ABC 中∠ A 的均分线，∠ C=90°，EF 是 AD 的垂直均分线交AD 于 M ，EF、BC 的延.\长线交于一点N。
【大全】相似三角形模型分析与典型例题讲解大全
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 【关键字】大全第一部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型笔直不笔直（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。
8字型拓展共享性一线三等角的变形一线三直角的变形文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ．求证：（1）； （2）．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的笔直平分线．求证：．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的笔直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND=NC·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB·DF=AE·DB 4.在中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：5．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD=∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE=2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型 1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高，求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=6，求：点B 到直线AC 的距离。
相似三角形常见模型与经典型例题讲解
第一部分类似三角形模子剖析一、类似三角形剖断的根本模子熟悉（一）A字型.反A字型（斜A字型）（二）8字型.反8字型（平行）（不服行）（三）母子型（四）一线三等角型：三等角型类似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为布景Array（五）一线三直角型：（六）双垂型：扭转型：由A 字型扭转得到.8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分类似三角形典范例题讲授母子型类似三角形例1：如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC .BD 交于点O ,BE ∥CD 交CA 延伸线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图,△ABC 中,点E 在中线AD 上,ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2; （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图,等腰△ABC 中,AB ＝AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ,BG 分离交AD .AC 于E .F ． 求证：EG EF BE ⋅=2．相干演习：1.如图,已知AD 为△ABC 的角等分线,EF 为AD 的垂直等分线．求证：FC FB FD ⋅=2．2.已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的等分线,∠C=90°,EF 是AD 的垂直等分线交AD 于M,EF.BC 的延伸线交于一点N.求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3.已知：如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,E 是AC 上一点,CF ⊥BE 于F. 求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中,AB=AC,高AD 与BE 交于H,EF BC ⊥,垂足为F,延伸AD 到G,使DG=EF,M 是AH 的中点. 求证：∠=︒GBM 905．（本题满分14分,第（1）小题满分4分,第（2）.（3）小题满分各5分）已知：如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =2,AC =4,P 是斜边AB 上的一个动点,PD ⊥AB ,交边AC 于点D （点D 与点A .C 都不重合）,E 是射线DC 上一点,且∠EPD =∠A ．设A .P 两点的距离为x ,△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ;（2）求y 关于x 的函数解析式,并写出它的界说域;ACDE BACBP D E（第25题图） GM F EHDCB A（3）当△BEP与△ABC类似时,求△BEP的面积．双垂型1.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD.CE分离是AC.AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE;（2）△ADE∽△ABC;(3)BC=2ED2.如图,已知锐角△ABC,AD.CE分离是BC.AB边上的高,△ABC和△BDE求：点B到直线AC的距离.共享型类似三角形1.△ABC是等边三角形,D.B.C.E在一条直线上,∠已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边长.2.已知：如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△ACD;（2一线三等角型类似三角形例1：如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60°（1）求证：△BDE∽△CFD（2）当BD=1,FC=3时,求BE例2：（1）合）,,;,并写出函数的界说域;CACDB（2）正方形ABCD 的边长为5（如下图）,点P .Q 分离在直线CB .DC 上（点P 不与点C .点B 重合）,且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时,求出线段BP 的长.已知在梯形ABCD 中,AD ∥例3：BC ,AD＜BC ,且AD ＝5,AB ＝DC ＝2．（1）如图8,P 为AD 上的一点,知足∠BPC＝∠A ．求证;△ABP ∽△DPC①②求AP 的长．（2）假如点P 在AD 边上移动（点P 与点A .D 不重合）,且知足∠BPE ＝∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么①当点Q 在线段DC 的延伸线上时,设AP ＝x ,CQ ＝y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的界说域; ②当CE ＝1时,写出AP 的长．CBADCBA D例4：如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,6AB CD BC ===,3AD =．点M 为边BC 的中点,认为M 极点作EMF B ∠=∠,射线ME 交腰AB 于点E ,射线MF 交腰CD 于点F ,联络EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ;（2）若△BEM 是认为BM 腰的等腰三角形,求EF 的长; （3）若EF CD ⊥,求BE 的长．相干演习：ABC备用图ABCDABCDABCPQABC备用图ABCD1.如图,在△ABC 中,8==AC AB ,10=BC ,D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC 边上,且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ;(2) 假如x BD =,y AE =,求y 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的界说域; (3) 当点D 是BC 的中点时,试解释△ADE 是什么三角形,并解释来由．2.如图,已知在△ABC 中, AB =AC =6,BC =5,D 是AB 上一点,BD =2,E 是BC 上一动点,联络DE ,并作DEF B ∠=∠,射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ; （2）当F 是线段AC 中点时,求线段BE 的长; （3）联络DF ,假如△DEF 与△DBE 类似,求FC 的长．3.已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＜BC ,且BC =6,AB =DC =4,点E 是AB 的中点．（1）如图,P 为BC 上的一点,且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ;（2）假如点P 在BC 边上移动（点P 与点B .C 不重合）,且知足∠EPF =∠C ,PF 交直线CD 于点F ,同时交直线AD 于点M ,那么 ①当点F 在线段CD 的延伸线上时,设BP =x ,DF =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的界说域;②当BEP DMF S S ∆∆=49时,求BP 的长．4.如图,已知边长为3的等边ABC ∆,点F 在边BC 上,1CF =,点E 是射线BA 上一动点,以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆,直线,EG FG 交直线AC 于点,M N , （1）写出图中与BEF ∆类似的三角形; （2）证实个中一对三角形类似;（3）设,BE x MN y ==,求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值规模; （4）若1AE =,试求GMN ∆的面积．一线三直角型类似三角形例1.已知矩形ABCD 中,CD=2,AD=3,点P 是AD 上的一个动点,且和点A,D 不重合,过点P 作CP PE ⊥,交边AB 于点E,设y AE x PD ==,,求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值规模.FBACD EED C BAP （第25题E DCBA（备用图）AB C D E备用图例 2.AB上的一点,且P是ACBC于点Q,（不与点B,C重合）,x的函数关系,并写出界说域.【演习1】D是BC的中点,点E是AB AC于点F（1）.求AC和BC的长（2）.,求BE的长.（3）.贯穿连接EF,,求BE的长.【演习2】在直角三角形ABC中AB边上的一点,E是在AC边上的一个动点,（与A,C不重BC订交于点F.(1).当点D是边AB的中点时,(2).（3）.求y关于x的函数关系式,并写出界说域在【AABFC BAEFC BAQPDC B AQPDCBA中,90C ∠=︒,6AC =,3tan 4B =,D 是BC 边的中点,E 为AB 边上的一个动点,作90DEF ∠=︒,EF 交射线BC 于点F ．设BE x =,BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值规模;（2）假如以B .E .F 为极点的三角形与BED ∆类似,求BED ∆的面积. 【 演习5】.（2009年黄浦一模25）如图,在梯形ABCD 中,CD AB , 34tan ,4,2===C AD AB ,P DAB ADC ,900=∠=∠是腰BC 上一个动点(不含点B .C ),作AP PQ ⊥交CD 于点Q .(图1) (1)求BC 的长与梯形ABCD 的面积; (2)当DQ PQ =时,求BP 的长;(图2)(3)设y CQ x BP ==,,试求y 关于x 的函数解析式,并写出界说域. （图1） （图2）。
相似三角形模型大全
相似三角形模型大全第一部分相似三角形模型分析大全相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：双垂型：D相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；共享型相似三角形1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120 ，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.D例：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE练习：1、如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．CAD B EFABCDE例、已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。
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相似三角形经典模型总结
经典模型
【精选例题】 “平行型”
【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，
则111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形
【例2】 如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则
_____EF =，_____MN =
【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD
的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证：
PE PH
PF PG
=
【例4】 已知：在ABC ∆中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且
2AE
EC
=,BE 、CD 相交于点F ， 求
BF
EF
的值 【例5】 已知：在ABC ∆中，1
2
AD AB =
，延长BC 到F ,使1
3
CF BC =,连接FD 交AC 于点E
求证：①DE EF =②2AE CE =
【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长
线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ∆为等腰三角形
【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：
111c a b
=+. F
E D
C B
A
【例8】 如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.
【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，
MF BC ⊥于点F 求证：
1MF ME
AB CD
+= 【例10】 如图，在ABC ∆中，D 是AC 边的中点，过D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长
线于F
求证：AE BF BE CF ⋅=⋅
【例11】 如图，在线段AB 上，取一点C ，以AC ，CB 为底在AB 同侧作两个顶角相等的等
腰三角形ADC ∆和CEB ∆，AE 交CD 于点P ，BD 交CE 于点Q , 求证：CP CQ =
【例12】 阅读并解答问题.
在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D ，E 落在BC 边上，F ，G 分别落在AC ,AB 边上，作法如下：
第一步：画一个有三个顶点落在ABC ∆两边上的正方形''''D E F G 如图， 第二步：连接'BF 并延长交AC 于点F 第三步：过F 点作FE BC ⊥,垂足为点E 第四步：过F 点作FG BC ∥交AB 于点G 第五步：过G 点作GD BC ⊥，垂足为点D 四边形DEFG 即为所求作的正方形
问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形
⑵在ABC ∆中，如果6BC =，45ABC ∠=︒,75BAC ∠=︒,求上述正方形DEFG 的边长
“平行旋转型”
图形梳理：
特殊情况：B 、'E 、'F 共线
C ，'E ，'F 共线
【例13】 已知梯形ABCD ，AD BC ∥，对角线AC 、BD 互相垂直，则
①证明：2222AD BC AB CD +=+
【例14】 当AOD ∆，以点O 为旋转中心，逆时针旋转θ度（090θ<<），问上面的结论是
否成立，请说明理由
【例15】 （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，
求::AG DF CE =_________.
“斜交型”
【例16】 如图，ABC ∆中，D 在AB 上，且DE BC ∥交AC 于E ，F 在AD 上，且
2AD AF AB =⋅，求证：AEF ACD ∆∆:
【例17】 如图，等边三角形ABC 中，D ，E 分别在BC ，AB 上，
且CE BE =，AD ，CE 相交于M ，
求证:EAM ECA ∆∆: 【例18】 如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，
BAC CDB ∠=∠,求证：DAC CBD ∠=∠
【例19】 如图，设AB BC CA AD DE EA
==
，则12∠=∠吗？ 【例20】 在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，ABC ∆和BDE ∆的面
积分别等于18和2，2DE =，求AC 边上的高
【例21】 如图，在等边ABC ∆的边BC 上取点D ，使
2
1
=CD BD ，作CH AD ⊥，H 为垂足，连结BH 。
求证：DBH DAB ∠=∠
M E
D
C
B
A
【例22】 已知：在正三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD CE =,
直线CD 与AE 相交于点F
求证：①DC AE =,②2AD DC DF =⋅
“斜交特殊型”（隐含三垂直）
【例23】 已知，如图，ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，DE AC ⊥于点E ，DF AB ⊥于点F ，
求证：AEF B ∠=∠
【例24】 已知：如图，CE 是直角三角形斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连
结AP ，BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ⋅=2。
【例25】 如图，E 、G 、F 、H 分别是矩形ABCD 四条边上的点，EF GH ⊥,若2AB =，
3BC =，则:EF GH 等于（）
A.2:3
B.3:2
C.4:9
D.无法确定
【例26】 如图，已知：正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、BC 上，且BM BN =，BP MC
⊥于点P
求证：DP NP ⊥
【例27】 如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==,点D 在BC 上运动（不经过B ,C ），
过点D 作45ADE ∠=︒,DE 交AC 于E
①图中有无与ABD ∆一定相似的三角形，若有，请指出来并加以证明 ②设BD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系，并写出其定义域； ③若ADE ∆恰为等腰三角形，求AE 的长。