经典模糊控制问题-倒摆
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第4步： 模糊推理、控制
图g表示了控制变量u的截尾模糊结果的并。具 有非模糊化了的控制值的最终形式如图h所示。
(u )
N Z 0.5 P
(u )
0.2
-16
-8
u
0 8 16
-16
-8
u
0 u(0)=-2 8 16
例图g 由规则所得模糊结果的并
例图h 模糊结果的并和非模糊量
4 6.4 0.5u (8 u ) 14.4 16 0.2u (16 u ) 0.5u (u 16) du 0.5udu du 0.2udu du 16 12 4 6.4 14.4 4 4 1.6 u (0) 12 0.5(u 16) 4 6.4 0.5(8 u ) 14.4 16 0.2(16 u ) du 0.5du du 0.2du du 16 4 12 4 6.4 14.4 4 1.6 12
第4步： 模糊推理、控制
第4步：我们可用表1中规则导出该控制问题的模 型。用图解法来推导模糊运算。下面的清晰性初 始条件作为模型的初值：x1(0)=1o和x2(0)=-4rad/s。 然后，我们在上例中取离散步长0≤k≤3，并用矩阵 差分方程式导出模型的四步循环式。模型的每步 循环式都会引出两个输入变量的隶属函数。FAM 表产生控制作用u(k)的隶属函数。我们将用重心法 对控制作用的隶属函数进行非模糊化，用递归差 分方程解得新的x1和x2值。k =0之后的每步模型循 环式都以前一步的x1和x2为开始，并作为下一步递 归差分方程式的输入条件。
第4步： 模糊推理、控制
从FAM表有： IF (x1=Z) and (x2=P) THEN (u=P) μP(u)=min(0.2,0.32)=0.2 IF (x1=Z) and (x2=Z) THEN (u=Z) μZ(u)=min(0.2,0.68)=0.2 IF (x1=P) and (x2=P) THEN (u=PB) μPB(u)=min(0.8,0.32)=0.32 IF (x1=P) and (x2=Z) THEN (u=P) μP(u)=min(0.8,0.68)= 0.68 图解说明如例图q所示，具有非模糊化了的控制值u=8.84。
x1(1)=-3，x2(1)=-1，u(1)=-9.6
x1(2)=-4，x2(2)=5.6，u(2)=0 质量m
例图r 模型的4步 循环结果示意图
x1(3)=1.6，x2(3)=1.6，u(3)=8.84
x1(4)=3.2，x2(4)=-5.64，u(4)=?
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若所测x1用度表示，x2用每秒弧度表示，当取 l=g和m=180/(π·2)时，线性离散时间状态方程可用 g 矩阵差分方程表示：
x1 (k 1) x1 (k ) x2 (k )
x2 (k 1) x1 (k ) x2 (k ) u(k )
此问题中，设上述两变量的论域为－2o≤x1≤2o和－ 5rad/s≤x2≤5rad/s。
从FAM表有： IF (x1=P) and (x2=Z) THEN (u=P) IF (x1=P) and (x2=N) THEN (u=Z) IF (x1=Z) and (x2=Z) THEN (u=Z) IF (x1=Z) and (x2=N) THEN (u=N)
μP(u)=min(0.5,0.2)=0.2 μZ(u)=min(0.5,0.8)=0.5 μZ(u)=min(0.5,0.2)=0.2 μN(u)=min(0.5,0.8)=0.5
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第1步：输入量的模糊化
第1步：首对x1在其论域上建立三个隶属函数，即 如例图b所示的正值(P)、零(Z)和负值(N)。然后， 对x2在其论域上亦建立3个隶属函数，即例图c所示 的正值(P)、零(Z)和负值(N)。
( x1 )
N Z P N
( x2 )
Z P
-2
-1
0
1
2
x1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 例图c 输入x2的隶属函数
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x2
例图b 输入x1的隶属函数
第2步：输出量的模糊化
第2步：为划分控制空间(输出)，对u(k)在 其论域上建立5个隶属函数，－24≤u(k)≤24，如 例图d所示(注意，图上划分为7段，但此问题中 只用了5段)。
(u )
NB N Z P PB-24-16来自-808
16
24
u
例图d 输出u的隶属函数
在初始条件和作用下，可继续进行第5步循环的计 算。…
x1 (4) 3.2 x2 (4) 5.64
在例图r中画出x1(k)、x2(k)和u(k)的四步循环结 果。箭头的长度和方向分别表示摆的运动速度和方 向。
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第4步： 模糊推理、控制
质量m 质量m 质量m
x1(0)=1，x2(0)=-4，u(0)=-2 质量m
其中m是摆尖杆的质量， l是 摆长，θ是从垂直向上方向的 顺时针偏转角。τ=u(t)为作用 于杆的逆时针扭矩［u(t)是控 制作用］。
例图a 倒摆控制
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状态方程
假设 x1 ，x2 d / dt 为状态变量，状态方程：
dx1 / dt x2 dx2 / dt ( g / l ) sin x1 (1 / ml2 )u(t )
( x1 )
N Z 0.8 P N
( x2 )
Z
0.68 0.32
x2 (3) 1.6
P
0.2
x1 (3) 1.6
1 2
-3
-2
-1
0
x1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 例图p 输入x2的第4步循环的初始条件
x2
例图o 输入x1的第4步循环的初始条件
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倒摆控制问题
经典的倒摆系统， 多年来一直是控制理论 中的一个令人感兴趣的 问题。 例 倒摆系统简图 如例图a所示，设计和分 析其模糊控制器。
质量m
例图a 倒摆控制
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系统的微分方程
描述系统的微分方程：
ml 2d 2 / dt 2 (ml g)sin u(t )
质量m
(u )
NB N Z 0.8 P PB
0.2
-24
-16
-8 u(1)=-9. 6
0
8
16
24
u
例图k 第二步循环的已截尾结果和非模糊输出
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第4步： 模糊推理、控制
现用u=-9.6找出第三步循环式的初值：
x1 (2) x1 (1) x2 (1) 4 x2 (2) x1 (1) x2 (1) u(1) 5.6
-16
-8
0 u(2)=0
8
16
24
u
例图n 模型的第3步循环的非模糊化输出
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第4步： 模糊推理、控制
对下一步迭代来说：
x1 (3) x1 (2) x2 (2) 1.6 x2 (3) x1 (2) x2 (2) u(2) 1.6
有初始条件 x1 (3) 1.6 和 x2 (3) 1.6 ，图解说明如 例图o和例图p所示。
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第4步： 模糊推理、控制
例图e和例图f分别为x1和x2的初始条件。
( x1 )
Z N
x1 (0) 1 P
x2 (0) 4
N
( x2 )
Z
0.8
P
0.5
0.2
-2
-1
0
1
2
x1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 例图f 输入x2的初始条件
x2
例图e 输入x1的初始条件
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第3步：建立模糊控制规则表
第3步：用表1所示的3×3FAM（模糊联想 记忆）表的格式建立9条规则(即使我们可能不需 要这么多)，在本系统中为使倒摆系统稳定，将 用到θ和 。表中输出即控制作用u(k)。
表1 x2 x1 P FAM表 Z N
P Z N
PB P Z
P Z N
Z N NB
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(u )
NB N Z
0.68
P
PB
-24
-16
8 u(3)=8.84 例图q 模型的第4步循环的非模糊化输出
-8
0
16
24
u
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第4步： 模糊推理、控制
如上所述，我们用u=8.84找出下一步迭代的初 始条件：
x1 (4) x1 (3) x2 (3) 3.2 x2 (4) x1 (3) x2 (3) u(3) 5.64
x2
例图l 输入x1的第3步循环的初始条件
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第4步： 模糊推理、控制
从FAM表中得： IF (x1=N) and (x2=P) THEN (u=Z) μZ(u)=min(1,1)=1 所得模糊输出结果的并和非模糊输出如例图n所 示。非模糊化值u=0。
(u )
NB N Z P PB
-24
我们得到第三步循环的初始条件 x2 (2) 5.6 和 x1 (2) 4，图解说明如例图l和例图m所示。
( x1 )
N Z P N
( x2 )
Z P
x1 (2) 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2
x2 (2) 5.6
x1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 例图m 输入x2的第3步循环的初始条件
步循环的初始条件，图解说明如例图i和例图j所示。
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第4步： 模糊推理、控制
从FAM表得： IF (x1=N) and (x2=N) THEN (u=NB) μNB(u)=min(1,0.2)=0.2 IF (x1=N) and (x2=Z) THEN (u=N) μN(u)=min(1,0.8)=0.8 模糊结果的并和所得非模糊输出如例图k所示。非模 糊化值u=-9.6。
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第4步： 模糊推理、控制
我们已经完成了模型的第一步循环式，现在我 们取已非模糊化了的控制变量值（即u=-2），再利 用系统方程式找出下步迭代的初始条件。
x1 (1) x1 (0) x2 (0) 3 x2 (1) x1 (0) x2 (0) u(0) 1 依次类推，我们利用 x1 (1) 3 和 x2 (1) 1作为第二
当偏转角θ很小时，有 sin
dx1 / dt x2
，线性化后得：
dx2 / dt ( g / l ) x1 (1 / ml2 )u(t )
ml 2d 2 / dt 2 (ml g)sin( ) u(t )
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离散化模型
线性化模型：
dx1 / dt x2 dx2 / dt ( g / l ) x1 (1 / ml2 )u(t )
第4步： 模糊推理、控制
图g表示了控制变量u的截尾模糊结果的并。具 有非模糊化了的控制值的最终形式如图h所示。
(u )
N Z 0.5 P
(u )
0.2
-16
-8
u
0 8 16
-16
-8
u
0 u(0)=-2 8 16
例图g 由规则所得模糊结果的并
例图h 模糊结果的并和非模糊量
4 6.4 0.5u (8 u ) 14.4 16 0.2u (16 u ) 0.5u (u 16) du 0.5udu du 0.2udu du 16 12 4 6.4 14.4 4 4 1.6 u (0) 12 0.5(u 16) 4 6.4 0.5(8 u ) 14.4 16 0.2(16 u ) du 0.5du du 0.2du du 16 4 12 4 6.4 14.4 4 1.6 12
第4步： 模糊推理、控制
第4步：我们可用表1中规则导出该控制问题的模 型。用图解法来推导模糊运算。下面的清晰性初 始条件作为模型的初值：x1(0)=1o和x2(0)=-4rad/s。 然后，我们在上例中取离散步长0≤k≤3，并用矩阵 差分方程式导出模型的四步循环式。模型的每步 循环式都会引出两个输入变量的隶属函数。FAM 表产生控制作用u(k)的隶属函数。我们将用重心法 对控制作用的隶属函数进行非模糊化，用递归差 分方程解得新的x1和x2值。k =0之后的每步模型循 环式都以前一步的x1和x2为开始，并作为下一步递 归差分方程式的输入条件。
第4步： 模糊推理、控制
从FAM表有： IF (x1=Z) and (x2=P) THEN (u=P) μP(u)=min(0.2,0.32)=0.2 IF (x1=Z) and (x2=Z) THEN (u=Z) μZ(u)=min(0.2,0.68)=0.2 IF (x1=P) and (x2=P) THEN (u=PB) μPB(u)=min(0.8,0.32)=0.32 IF (x1=P) and (x2=Z) THEN (u=P) μP(u)=min(0.8,0.68)= 0.68 图解说明如例图q所示，具有非模糊化了的控制值u=8.84。
x1(1)=-3，x2(1)=-1，u(1)=-9.6
x1(2)=-4，x2(2)=5.6，u(2)=0 质量m
例图r 模型的4步 循环结果示意图
x1(3)=1.6，x2(3)=1.6，u(3)=8.84
x1(4)=3.2，x2(4)=-5.64，u(4)=?
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若所测x1用度表示，x2用每秒弧度表示，当取 l=g和m=180/(π·2)时，线性离散时间状态方程可用 g 矩阵差分方程表示：
x1 (k 1) x1 (k ) x2 (k )
x2 (k 1) x1 (k ) x2 (k ) u(k )
此问题中，设上述两变量的论域为－2o≤x1≤2o和－ 5rad/s≤x2≤5rad/s。
从FAM表有： IF (x1=P) and (x2=Z) THEN (u=P) IF (x1=P) and (x2=N) THEN (u=Z) IF (x1=Z) and (x2=Z) THEN (u=Z) IF (x1=Z) and (x2=N) THEN (u=N)
μP(u)=min(0.5,0.2)=0.2 μZ(u)=min(0.5,0.8)=0.5 μZ(u)=min(0.5,0.2)=0.2 μN(u)=min(0.5,0.8)=0.5
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第1步：输入量的模糊化
第1步：首对x1在其论域上建立三个隶属函数，即 如例图b所示的正值(P)、零(Z)和负值(N)。然后， 对x2在其论域上亦建立3个隶属函数，即例图c所示 的正值(P)、零(Z)和负值(N)。
( x1 )
N Z P N
( x2 )
Z P
-2
-1
0
1
2
x1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 例图c 输入x2的隶属函数
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x2
例图b 输入x1的隶属函数
第2步：输出量的模糊化
第2步：为划分控制空间(输出)，对u(k)在 其论域上建立5个隶属函数，－24≤u(k)≤24，如 例图d所示(注意，图上划分为7段，但此问题中 只用了5段)。
(u )
NB N Z P PB-24-16来自-808
16
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u
例图d 输出u的隶属函数
在初始条件和作用下，可继续进行第5步循环的计 算。…
x1 (4) 3.2 x2 (4) 5.64
在例图r中画出x1(k)、x2(k)和u(k)的四步循环结 果。箭头的长度和方向分别表示摆的运动速度和方 向。
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第4步： 模糊推理、控制
质量m 质量m 质量m
x1(0)=1，x2(0)=-4，u(0)=-2 质量m
其中m是摆尖杆的质量， l是 摆长，θ是从垂直向上方向的 顺时针偏转角。τ=u(t)为作用 于杆的逆时针扭矩［u(t)是控 制作用］。
例图a 倒摆控制
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状态方程
假设 x1 ，x2 d / dt 为状态变量，状态方程：
dx1 / dt x2 dx2 / dt ( g / l ) sin x1 (1 / ml2 )u(t )
( x1 )
N Z 0.8 P N
( x2 )
Z
0.68 0.32
x2 (3) 1.6
P
0.2
x1 (3) 1.6
1 2
-3
-2
-1
0
x1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 例图p 输入x2的第4步循环的初始条件
x2
例图o 输入x1的第4步循环的初始条件
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倒摆控制问题
经典的倒摆系统， 多年来一直是控制理论 中的一个令人感兴趣的 问题。 例 倒摆系统简图 如例图a所示，设计和分 析其模糊控制器。
质量m
例图a 倒摆控制
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系统的微分方程
描述系统的微分方程：
ml 2d 2 / dt 2 (ml g)sin u(t )
质量m
(u )
NB N Z 0.8 P PB
0.2
-24
-16
-8 u(1)=-9. 6
0
8
16
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u
例图k 第二步循环的已截尾结果和非模糊输出
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第4步： 模糊推理、控制
现用u=-9.6找出第三步循环式的初值：
x1 (2) x1 (1) x2 (1) 4 x2 (2) x1 (1) x2 (1) u(1) 5.6
-16
-8
0 u(2)=0
8
16
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u
例图n 模型的第3步循环的非模糊化输出
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第4步： 模糊推理、控制
对下一步迭代来说：
x1 (3) x1 (2) x2 (2) 1.6 x2 (3) x1 (2) x2 (2) u(2) 1.6
有初始条件 x1 (3) 1.6 和 x2 (3) 1.6 ，图解说明如 例图o和例图p所示。
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第4步： 模糊推理、控制
例图e和例图f分别为x1和x2的初始条件。
( x1 )
Z N
x1 (0) 1 P
x2 (0) 4
N
( x2 )
Z
0.8
P
0.5
0.2
-2
-1
0
1
2
x1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 例图f 输入x2的初始条件
x2
例图e 输入x1的初始条件
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第3步：建立模糊控制规则表
第3步：用表1所示的3×3FAM（模糊联想 记忆）表的格式建立9条规则(即使我们可能不需 要这么多)，在本系统中为使倒摆系统稳定，将 用到θ和 。表中输出即控制作用u(k)。
表1 x2 x1 P FAM表 Z N
P Z N
PB P Z
P Z N
Z N NB
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(u )
NB N Z
0.68
P
PB
-24
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8 u(3)=8.84 例图q 模型的第4步循环的非模糊化输出
-8
0
16
24
u
16/18
第4步： 模糊推理、控制
如上所述，我们用u=8.84找出下一步迭代的初 始条件：
x1 (4) x1 (3) x2 (3) 3.2 x2 (4) x1 (3) x2 (3) u(3) 5.64
x2
例图l 输入x1的第3步循环的初始条件
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第4步： 模糊推理、控制
从FAM表中得： IF (x1=N) and (x2=P) THEN (u=Z) μZ(u)=min(1,1)=1 所得模糊输出结果的并和非模糊输出如例图n所 示。非模糊化值u=0。
(u )
NB N Z P PB
-24
我们得到第三步循环的初始条件 x2 (2) 5.6 和 x1 (2) 4，图解说明如例图l和例图m所示。
( x1 )
N Z P N
( x2 )
Z P
x1 (2) 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2
x2 (2) 5.6
x1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 例图m 输入x2的第3步循环的初始条件
步循环的初始条件，图解说明如例图i和例图j所示。
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第4步： 模糊推理、控制
从FAM表得： IF (x1=N) and (x2=N) THEN (u=NB) μNB(u)=min(1,0.2)=0.2 IF (x1=N) and (x2=Z) THEN (u=N) μN(u)=min(1,0.8)=0.8 模糊结果的并和所得非模糊输出如例图k所示。非模 糊化值u=-9.6。
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第4步： 模糊推理、控制
我们已经完成了模型的第一步循环式，现在我 们取已非模糊化了的控制变量值（即u=-2），再利 用系统方程式找出下步迭代的初始条件。
x1 (1) x1 (0) x2 (0) 3 x2 (1) x1 (0) x2 (0) u(0) 1 依次类推，我们利用 x1 (1) 3 和 x2 (1) 1作为第二
当偏转角θ很小时，有 sin
dx1 / dt x2
，线性化后得：
dx2 / dt ( g / l ) x1 (1 / ml2 )u(t )
ml 2d 2 / dt 2 (ml g)sin( ) u(t )
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离散化模型
线性化模型：
dx1 / dt x2 dx2 / dt ( g / l ) x1 (1 / ml2 )u(t )