常微分方程第4章答案【精选】

习 题 4—1
1．求解下列微分方程
1） 22242x px p y ++=(dx
dy p =
解 利用微分法得 0)1)(
2(=++dx dp
p x 当
时，得10dp
dx
+=p x c =-+从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解
22242y p px x p x c ⎧=++⎨
=-+⎩
或消参数P ，得通解
)2(2
122
x cx c y -+=
当 时，则消去P ，得特解 20x p +=2
x y -=2）； 2()y pxlnx xp =+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
=dx dy p 解 利用微分法得
(2)0dp
lnx xp x p dx
⎛⎫++
= ⎪⎝⎭
当时，得 0=+p dx
dp
x
c px =从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解：
或消p 得通解 2
()y pxln xp px c ⎧=+⎨
=⎩
2y Clnx C =+当时，消去p 得特解 20lnx xp +=2
1
()4
y lnx =-3） (
)
21p p x y ++=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
=cx dy p 解 利用微分法，得
两边积分得x
dx
p p p -
=+++2
2
11()
c
x P P P
=+++22
11
由此得原方程以P 为参数形式的通解： ，21(p p x y ++=(
)
.
11222c x p p p =+++或消去P 得通解
2
22)(C C X y =-+1．
用参数法求解下列微分方程
1）4
522
2=⎪⎭
⎫
⎝⎛+dx dy y 解 将方程化为
令
2215
4
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx dy y
y t
=
dy t dx =由此可推出
从而得
)dx t
=
=
=c
t x +=
2
5
因此方程的通解为
，
x c =
+y t =消去参数t ，得通解
)y x C =-对于方程除了上述通解，还有，
，显然2±=y 0=dx
dy
和是方程的两个解。

2=y 2-=y 2）22
3(
)1dy x dx
-=解：令，
u x csc =u dx dy cot 3
1-=又令 则tan 2u
t =t
t u x 21sin 12+=
=活。

总作理本版面 作兄生活合部好宣好
du u u
u dy 3
22
sin cos 3
1cot 31
==dt
t t t t t 222
22
12
3
12113
1+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=dt t
t t 12(3
41
3+-
=
积分得，2211
2ln 2
2y t t c
t =
--
+221
4ln )t t C t
=
--
+由此得微分方程的通解为
，t t x 212+
=221
4ln )y t t c
t =--+3）dx dy
dx dy x 4)(
33=+解：令 则xt dx
dy
=t x t x x 23334=+解得 又3
14t t
x +=
3
33223332
)1()21(16)1()21(414t t t t t t t dt dx dx dy dt dy +-=+-∙+=∙=du u u t u dt t t 333333)
1(21316)1()621(316+-=+-=23
31(332)1(16
u du
u du +-
+=22
8321
(1)31y C u u
∴=-
++++ 生，欺骗等，办生新生活间的关别就时食面沟和寝长，生活时开展室之到家，积极与我及时息上生全，保院一作为活部在会工作会大局，结合部的所负责安全勤方面之，”的作理 块创新联合生
323
8321(1)31C t t
∴=-
++++由此得微分方程的通解为
， 。

3
14t t
x +=
3238321(1)31y C t t =-++++习题4—2
1．得用P—判别式求下列方程的奇解：
2）2
(
dx
dy x y dx dy +=解：方程的P—判别式为
2,20
y xp p x p =++=消去p ，得4
2
x y -=经验证可知是方程的解。

42
x y -=令则有，2
),,(p xp y p y x F --=2'(,,)142y
x x F x --=2"
(,,)2
42
pp x x F x --=-和2'(,,)0
42
p
x x
F x --=因此，由定理4.2可知， 是方程的奇解。

24
1
x y -=2）2
(2dx
dy
dx dy x y +=解：方程的P—判别式为
，22p xp y +=0
=+p x 消去P ，得 ，而不是方程的解，故不是方程的奇解。

2x y -=2x y -=2x y -=3）y q
dx dy y 4
)(
)1(22=-解：方程的P—判别式为
，9
4
)1(22=
-p y 0)1(22=-p y 消去P ，得，显然是方程的解，
0=y 0=y
令则有y p y p y x F 9
4
)1(),,(22-
-= '4(,0,0)9
y F x =-"
(,0,0)2
pp F x =和'(,0,0)0
p F x =因此，由定理4.2知，是方程的奇解。

0=y 2．举例说明，在定理4.2的条件''(,(),())0
y F x x x x x ≠中的两个不等式是缺一不可的，
"'(,(),())0pp F x x x x x ≠解：考虑方程0(
22
=-y dx
dy 方程（1）的P—判别式为
消去P ，得022=-y p 02=p 0
)(==x x y 令，于是有 22),,(y p p y x F -='(,,)2p F x y p y =-'(,,)2p F x y p p
=-因此虽然有 和"(,,)2pp F x y p ="(,,)20pp F x y p =≠'(,0,0)0
p F x =但是'(,0,0)0
y F x =又虽然是方程的解，且容易求出方程（1）的通解为0=y x
y xe ±=因此容易验证却不是奇解。

因此由此例可看出。

定理4.2中的条件
0=y 是不可缺少的。

''((),())0y F x x x x ≠又考虑方程 y dx
dy
y
=)sin(方程（2）的P—判别式为 y yp =)sin(()0
ycos yp =消去P ，得。

令于是有，
0=y y yp p y x F -=)sin(),,('(,,)()1y F x y p pcos yp =- 因此，虽然有
'(,,)()p F x y p ycos yp ="
2(,,)sin()pp F x y p y yp =和但，而经检验知是方程
'(,0,0)10y F x =-≠'(,0,0)0p F x ="(,0,0)0pp F x =0=y （2）的解，但不是奇解。

因此由此例可看出定理4.2中的条件
是不可缺少的。

"'(,(),())0pp F x x x x x ≠3．研究下面的例子，说明定理4.2的条件是不可缺少
''(,(),())0F x x x x x =
的
''3
1
2()3
y x y y =+-解：方程的P—判别式为
3
3
12p p x y -
+=012=-p 消去P ，得 32
2±
=x y 检验知 不是解，故不是奇解，而虽然是解，但不
322+=x y 3
2
2-=x y 是奇解。

令3
3
12),,(p p x y p y x F +
--=， '(,,)1y F x y p ='2
(,,)1p F x y p p =-+， 所以虽有
"(,,)2pp F x y p p ='2
(,2,2)10
3y F x x ±=≠"
2(,2,2)40
3
pp F x x ±=≠但是'2
(,2,2)30
3
p F x x ±=≠因此此例说明定理4.2的条件是不可缺少的。

''(,(),()0p F x x x x x =习题4——3
1．试求克莱罗方程的通解及其包络
解：克莱罗方程 （1）)(p f xp y +=)(dx
dy
p =
其中。

"()0f p ≠对方程（1）求导值0))
('(=+dx
dp
p f x 由
即时 代入（1）得（1）的通解0=dx
dp
c p = （2）
)(c f cx y +=它的C—判别式为 ⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧=++=0)(')(c f x c f cx y 由此得 ， :'())()x f c c ϕΛ=-='()()()
y cf c f c c ψ=-+=
令 故
(,,)()V x y c cx f c y =+- '((),(),)x V c c c c ϕψ='((),(),)1
y v c c c ϕψ=-所以 又
''(,)(0,0)x y V V ≠ （由于）
('(),'())("(),"())(0,0)c c f c cf c ϕψ=--≠0)("≠c f 因此满足定理4.5相应的非蜕化性条件。

故是积分曲线族（2）的一支包络。

ΛΛ课外补充
1．求下列给定曲线族的包络。

1）4
)()(22=-+-c y c x 解：由相应的C—判别式22(,,)()()40
V x y c x c y c =-+--=(,,)2()2()0
c V x y c x c y c =----=消去C 得C—判别曲线 8
)(2=-y x 它的两支曲线的参数表示式为
： ，1Λc x +-=2c
y +=2： ，2Λc x +=2c
y +-=2对，我们有1Λ('(),'())(1,1)(0,0)
c c ϕψ=
≠'((),(),)2()x V c c c c c ϕψ=+-=
-'((),(),))y V c c c c c ϕψ=+-=∴''(((),(),),((),(),))(0,0)
x y V c c c v V c c c ϕψϕψ≠因此满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，也满足定理4.5的相
1Λ2Λ应的非蜕化条件，故，是曲线族的两支包络线。

1Λ2Λ2．c
y c x 4)(22=+-解：由相应的C—判别式
22(,,)()40
V x y c x c y c =-+-=(,,)2()40
c V x y c x c =---=消去C 得C—判别曲线 它的两支曲线的参数表示式为
)1(42+=x y ，1:2x c Λ=-+1
2-=c y ，2:2x c Λ=-+1
2--=c y 对，我们有 1
Λ('(),'())(0,0)c c ϕψ=≠
''(((),(),),((),(),))(4,(0.0)
x y V c c c v V c c c ϕψϕψ=-≠因此满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，也满足定理4.5的相
1Λ2Λ应的非蜕化条件，故，是曲线族的两支包络线。

1Λ2Λ3. 证：就克莱罗方程来说，P—判别曲线和方程通解的C—判别曲线同样是方
程通解的包络，从而为方程的奇解。

证：已知克莱罗方程的形式为
（1）)(p f xp y +=)0)(",(≠=
p f dx
dy
p （1）的通解为 （2）
)(c f cx y +=（2）的包络由 确定，
)(c f cx y +=0)('=+c f x 即为 （3）
)('c f y -=)()('c f c cf y +=又知方程（1）还有解 0)('=+p f x )
(p f xp y +=由此得 ， （4）
)('p f x =)()('p f c pf y +-=而（4）是方程（1）的P—判别曲线，它和（3）有相同的形式，因而同样是通
解（2）的包络，消去P 得方程（1）的奇解。