高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第8节函数的模型及其综合应用高考AB卷理

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本
初等函数 第8节 函数的模型及其综合应用高考AB 卷 理
函数的综合应用
1.(2012·全国，12)设点P 在曲线y ＝12e x
上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为
( ) A.1－ln 2 B.2(1－ln 2) C.1＋ln 2
D.2(1＋ln 2)
解析 由题意知函数y ＝12e x
与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲
线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 最小距离的2倍，设y ＝12e x
上点(x 0，y 0)处的
切线与y ＝x 平行，有12e x 0＝1，x 0＝ln 2，y 0＝1，∴切点到直线y ＝x 的距离d ＝1－ln 2
2，
所以|PQ |的最小值为2
2
(1－ln 2)×2＝2(1－ln 2). 答案 B
2.(2013·全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b ，g (x )＝e x
(cx ＋d ).若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；
(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围. 解 (1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，
f ′(0)＝4，
g ′(0)＝4.
而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x
(cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，
b ＝2，
c ＝2，
d ＝2.
(2)由(1)知，f (x )＝x 2
＋4x ＋2，g (x )＝2e x
(x ＋1). 设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x
(x ＋1)－x 2
－4x －2，则
F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4
＝2(x ＋2)(k e x
－1).
由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.
令F ′(x )＝0，得x 1＝－ln k ，x 2＝－2. (ⅰ)若1≤k <e 2
，则－2<x 1≤0.
从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )<0；
当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )>0.即F (x )在(－2，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增.故F (x )在[－2，＋∞)上的最小值为F (x 1). 而F (x 1)＝2x 1＋2－x 2
1－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0， 即f (x )≤kg (x )恒成立.
(ⅱ)若k ＝e 2
，则F ′(x )＝2e 2
(x ＋2)(e x －e －2
). 从而当x >－2时，F ′(x )>0， 即F (x )在(－2，＋∞)上单调递增. 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0， 即f (x )≤kg (x )恒成立.
(ⅲ)若k >e 2
，则F (－2)＝－2k e －2
＋2＝－2e －2
(k －e 2
)<0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立.
综上，k 的取值范围是[1，e 2
].
函数的实际应用
1.(2016·四川，5)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2018年 B.2019年 C.2020年
D.2021年
解析 设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x
＝200，解得x ＝log 1.12200130＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈3.80，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年.
选B. 答案 B
2.(2015·北京，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析 汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A 显然不对；B 应是甲车耗油最少；C 甲车以80千米/小时的速度行驶10 km ，消耗1升汽油.故D 正确. 答案 D
3.(2014·湖南，8)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.
p ＋q
2
B.
（p ＋1）（q ＋1）－1
2
C.pq
D.（p ＋1）（q ＋1）－1
解析 设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2
，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1，故选D. 答案 D
4.(2013·陕西，9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2
的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )
A.[15，20]
B.[12，25]
C.[10，30]
D.[20，30]
解析 设矩形另一边长为y ，x 40＝40－y
40
，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40
－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C. 答案 C
5.(2015·四川，13)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e
kx ＋b
(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间
是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧e b
＝192，e
22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k
＝12，
∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b
＝(e 11k )3
·e b
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
·e b
＝18×192＝24.
答案 24
6.(2015·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，
l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M
到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝
a
x 2
＋b
(其中a ，b 为常数)模型.
(1)求a ，b 的值；
(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).
将其分别代入y ＝a
x 2
＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a
25＋b ＝40，a 400＋b
＝2.5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.
(2)①由(1)知，y ＝1 000
x
2(5≤x ≤20)，
则点P 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫t ，1 000t
2，
设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000
x
3，
则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000
t
3(x －t )，
由此得A ⎝
⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，3 000t 2.
故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3 000t 22
＝3
2
t 2
＋4×10
6
t
4，t ∈[5，20].
②设g (t )＝t 2
＋4×10
6
t
4，
则g ′(t )＝2t －16×10
6
t
5
. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.
当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数.
从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.
答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米.
函数的综合应用
7.(2016·山东，10)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝ln x C.y ＝e x
D.y ＝x 3
解析 对函数y ＝sin x 求导，得y ′＝cos x ，当x ＝0时，该点处切线l 1的斜率k 1＝1，当x ＝π时，该点处切线l 2的斜率k 2＝－1，∴k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2；对函数y ＝ln x 求导，得y ′＝1x
恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝e x 求导，得y ′＝e x
恒大于
0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝x 3，得y ′＝2x 2
恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A. 答案 A
8.(2014·辽宁，12)已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；
②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<1
2
|x －y |.
若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12
B.14
C.12π
D.18
解析 不妨令0≤y <x ≤1，当0<x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；当1
2<x －y ≤1时，
|f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<1
2|x －
1|＋12|y －0|＝12(1－x )＋12y ＝12＋12(y －x )<14.综上，|f (x )－f (y )|<14，所以k ≥14.
答案 B
9.(2013·天津，8)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |).设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为
A .若⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1
2
⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－52，0
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－32，0
C.⎝
⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝
⎛⎭⎪⎫
0，1＋32
D.⎝
⎛
⎭⎪⎫－∞，1－52
解析 a ＝0时，A ＝∅，不满足条件.a >0时，易知f (0)＝0，x >0时，f (x )＝x (1＋a |x |)>0，
于是f (0＋a )>0＝f (0)，而由已知⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12⊆A 可得0∈A ，即f (0＋a )<f (0)，所以a >0也
不满足条件，故a <0.
易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧ax ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1a （x ≥0），－ax ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1a （x <0），
在坐标系中画出y ＝f (x )与y ＝f (x ＋a )的图象如图所示，
由图可知满足不等式f (x ＋a )<f (x )的解集A ＝(x A ，x B ).
由x (1－ax )＝(x ＋a )[1－a (x ＋a )]可得x A ＝1－a
2
2a ；
由x (1＋ax )＝(x ＋a )[1＋a (x ＋a )]，可得x B ＝－1＋a
2
2a
.
∴A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 22a
，－1＋a 2
2a (a <0). 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2
2a <－1
2
，－1＋a 2
2a >12，
a <0，
解得1－5
2<a <0.故选A.
答案 A
10.(2014·湖北，14)设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b ).例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b
2
，
即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数.
(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数. (2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2ab
a ＋b
. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 解析 过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线的方程为
y －f (a )＝f （a ）＋f （b ）
a －b
(x －a )，
令y ＝0得c ＝
af （b ）＋bf （a ）
f （a ）＋f （b ）
.
(1)令几何平均数ab ＝
af （b ）＋bf （a ）
f （a ）＋f （b ）
⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b )，可取
f (x )＝x (x >0)；
(2)令调和平均数
2ab a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒ab ＋ba a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）
f （a ）＋f （b ）
， 可取f (x )＝x (x >0). 答案 (1)x (2)x。