人民教育出版社九级数学上册 第二十四章 数学活动 探究四点共圆的条件(共19张PPT)
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人教版九年级数学上册
数学活动
探究四点共圆的条件
创设情境，发现问题
四个学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字 型排开,这样的队形对每个人公平吗?
创设情境，发现问题
你认为他们应当排成什么样的队形？
∴过A、B、C、D四点可以作一个圆 ∵四边形ABCD内接于⊙O （圆的内接四边形的对角互补） ∵BF与BE 的和小于一个圆周 ∠CAD=16°，则∠ABD的度数为________ 那么过A、Ｂ、C三点作圆，则点D在圆外 ③ 任意三点都不在同一条直线上的四点 （圆的内接四边形的对角互补） 求证：过点A、Ｂ、C、Ｄ可作一个圆。 ∵BF与BE 的和小于一个圆周 你能利用圆周角与其所对弧的大小关系证明吗？ 如果四名学生站在固定的四个位置，目标物应放在哪，游戏才公平？ ∵BF与BE 的和小于一个圆周 如果∠A与∠C所对的弧组成了一个圆周，则∠A+ ∠C=180 ° ③ 任意三点都不在同一条直线上的四点
(能画一个圆）
创设情境，发现问题 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
创设情境，发现问题
经过四点画圆
① 都在同一条直线上的四点
分类讨论
(不能画圆）
② 只有三点在同一条直线上的四点 (不能画圆）
③ 任意三点都不在同一条直线上的四点
？
合作探究，获得猜想
过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？试着画 一画
本节课的学习，你有什么收获？
① 都在同一条直线上的四点
在同圆或等圆中，圆周角与其所对弧的大小关系
∵BF与BE 的和小于一个圆周
（圆的内接四边形的对角互补）
一个定理 ② 只有三点在同一条直线上的四点
对角互补的四边形四个顶点共圆。
3、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°
已知：如图在四边形ABCD中， ∠A+ ∠C=180 °
创设情境，发现问题
如果四名学生站在固定的四个位置，目标 物应放在哪，游戏才公平？
B
A
D
C
四点共圆的条件是什么？
创设情境，发现问题
经过一点画圆
经过两点画圆
r
O
A
B
A
经过平面内的一点或两点可以作无数个圆
创设情境，发现问题
经过三点画圆
①若三点在同一条直线上
分类讨论
(不能画圆）
②若三点不在同一条直线上
证明：假设过A、B、C、D四点不能 作一个
圆，则过点A、B、Ｃ作圆，点Ｄ在圆内
A
F
D
C
延长ＣＤ和AD分别交圆于点E、F
︵
︵
BF是∠A所对的圆弧，BE是∠C所对的圆弧
B
︵︵
∵BF与BE 的和小于一个圆周
∴ ∠A+ ∠C ＜180 °
这与∠A+ ∠C=180 °相矛盾
∴过A、B、Ｃ、D四点可作一个圆
证明猜想，获得结论
A D
C
B
证明猜想，获得结论
在同圆或等圆中，圆周角与其所
A
对弧的大小关系
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴ ∠A+ ∠C=180 °
D
B
C
如果∠A与∠C所对的弧组成了一个圆周，
则∠A+ ∠C=180 °
证明猜想，获得结论
你能利用圆周角与其所对弧 的大小关系证明吗？
E
已知：如图在四边形ABCD中， ∠A+∠C=180 ° 求证：过点A、Ｂ、C、Ｄ四点可作一个圆。
平行四边形 （1）
四边形
矩形
菱形
（2）
（3）
四边形
（4）
（5）
合作探究，获得猜想
？ 什么样的四边形四个顶点共圆
矩形
四边形
四边形
边： 不具备共同特征
发现
对角线： 对角线不一定相等
角： 对角互补
得出猜想
对角互补的四边形四个顶点共圆。
证明猜想，获得结论
对角互补的四边形四个顶点共圆。
已知：如图在四边形ABCD中， ∠B+ ∠D=180°
已知：如图在四边形ABCD中， ∠A+ ∠C=180 °
求证：过点A，Ｂ，C，Ｄ可作一个圆。 证明：假设过A、B、C、D四点不能 作一个
圆，则过点A、B、Ｃ作圆，点Ｄ在圆外
Ｂ
Ｃ
E
A
F
D
目标检测
1、如图，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=∠A， 那么同时过A、B、C、D_________（填“能”能或“不能”）
①若三点在同一条直线上
延长ＣＤ和AD分别交圆于点E、F
③ 任意三点都不在同一条直线上的四点 本节课的学习，你有什么收获？
分类讨论
对角互补的四边形四个顶点共圆。
两种思想 设AD与圆交于点E，连接CE
如果∠A与∠C所对的弧组成了一个圆周，则∠A+ ∠C=180 °
∠CAD=16°，则∠ABD的度数为________
分类讨论
求证：过点A、Ｂ、C、Ｄ可作一个圆。
E
D
证明：假设过A、B、C、D四点不能作一个圆，
A
那提么过出A反、证Ｂ、C三点作推圆出，矛则盾点D在圆外 肯定结论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｃ
设AD与圆交于点E，连接CE
则∠B+∠AEC=180° （圆的内接四边形的对角互补） 又∠B+ ∠D=180 °
∴ ∠AEC=∠D．
Ｂ
反证法
又∵ ∠AEC是△ ABC的一个外角
∴ ∠AEC ＞ ∠D
这与∠AEC= ∠D出现矛盾，故假设不成立
∴过A、B、C、D四点可以作一个圆
证明猜想，获得结论
对角互补的四边形四个顶点共圆。
已知：如图在四边形ABCD中， ∠B+ ∠ADC=180 °
求证：过点A、Ｂ、C、Ｄ可作一个圆。
证明：假设过A、B、C、D四点不能 作一个 圆， 那么过A、Ｂ、C三点作圆，点D在圆内
作一个圆。
A D
B
2、下列四边形中 ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形⑤梯形
CE
其中四个顶点一定共圆的四边形________②__④__
目标检测
3、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°
∠CAD=16°，则∠ABD的度数为______74_°_
A
16 °
D
16 °
B
C
归纳反思，总结提升
由特殊到一般
课后作业
如图，已知△ABC的两条内角平分线AD，BE交于点 F，且 ∠C=60°．求证：点C、D、E、F四点共圆。
A
E F
B
D
C
数学活动
探究四点共圆的条件
创设情境，发现问题
四个学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字 型排开,这样的队形对每个人公平吗?
创设情境，发现问题
你认为他们应当排成什么样的队形？
∴过A、B、C、D四点可以作一个圆 ∵四边形ABCD内接于⊙O （圆的内接四边形的对角互补） ∵BF与BE 的和小于一个圆周 ∠CAD=16°，则∠ABD的度数为________ 那么过A、Ｂ、C三点作圆，则点D在圆外 ③ 任意三点都不在同一条直线上的四点 （圆的内接四边形的对角互补） 求证：过点A、Ｂ、C、Ｄ可作一个圆。 ∵BF与BE 的和小于一个圆周 你能利用圆周角与其所对弧的大小关系证明吗？ 如果四名学生站在固定的四个位置，目标物应放在哪，游戏才公平？ ∵BF与BE 的和小于一个圆周 如果∠A与∠C所对的弧组成了一个圆周，则∠A+ ∠C=180 ° ③ 任意三点都不在同一条直线上的四点
(能画一个圆）
创设情境，发现问题 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
创设情境，发现问题
经过四点画圆
① 都在同一条直线上的四点
分类讨论
(不能画圆）
② 只有三点在同一条直线上的四点 (不能画圆）
③ 任意三点都不在同一条直线上的四点
？
合作探究，获得猜想
过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？试着画 一画
本节课的学习，你有什么收获？
① 都在同一条直线上的四点
在同圆或等圆中，圆周角与其所对弧的大小关系
∵BF与BE 的和小于一个圆周
（圆的内接四边形的对角互补）
一个定理 ② 只有三点在同一条直线上的四点
对角互补的四边形四个顶点共圆。
3、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°
已知：如图在四边形ABCD中， ∠A+ ∠C=180 °
创设情境，发现问题
如果四名学生站在固定的四个位置，目标 物应放在哪，游戏才公平？
B
A
D
C
四点共圆的条件是什么？
创设情境，发现问题
经过一点画圆
经过两点画圆
r
O
A
B
A
经过平面内的一点或两点可以作无数个圆
创设情境，发现问题
经过三点画圆
①若三点在同一条直线上
分类讨论
(不能画圆）
②若三点不在同一条直线上
证明：假设过A、B、C、D四点不能 作一个
圆，则过点A、B、Ｃ作圆，点Ｄ在圆内
A
F
D
C
延长ＣＤ和AD分别交圆于点E、F
︵
︵
BF是∠A所对的圆弧，BE是∠C所对的圆弧
B
︵︵
∵BF与BE 的和小于一个圆周
∴ ∠A+ ∠C ＜180 °
这与∠A+ ∠C=180 °相矛盾
∴过A、B、Ｃ、D四点可作一个圆
证明猜想，获得结论
A D
C
B
证明猜想，获得结论
在同圆或等圆中，圆周角与其所
A
对弧的大小关系
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴ ∠A+ ∠C=180 °
D
B
C
如果∠A与∠C所对的弧组成了一个圆周，
则∠A+ ∠C=180 °
证明猜想，获得结论
你能利用圆周角与其所对弧 的大小关系证明吗？
E
已知：如图在四边形ABCD中， ∠A+∠C=180 ° 求证：过点A、Ｂ、C、Ｄ四点可作一个圆。
平行四边形 （1）
四边形
矩形
菱形
（2）
（3）
四边形
（4）
（5）
合作探究，获得猜想
？ 什么样的四边形四个顶点共圆
矩形
四边形
四边形
边： 不具备共同特征
发现
对角线： 对角线不一定相等
角： 对角互补
得出猜想
对角互补的四边形四个顶点共圆。
证明猜想，获得结论
对角互补的四边形四个顶点共圆。
已知：如图在四边形ABCD中， ∠B+ ∠D=180°
已知：如图在四边形ABCD中， ∠A+ ∠C=180 °
求证：过点A，Ｂ，C，Ｄ可作一个圆。 证明：假设过A、B、C、D四点不能 作一个
圆，则过点A、B、Ｃ作圆，点Ｄ在圆外
Ｂ
Ｃ
E
A
F
D
目标检测
1、如图，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=∠A， 那么同时过A、B、C、D_________（填“能”能或“不能”）
①若三点在同一条直线上
延长ＣＤ和AD分别交圆于点E、F
③ 任意三点都不在同一条直线上的四点 本节课的学习，你有什么收获？
分类讨论
对角互补的四边形四个顶点共圆。
两种思想 设AD与圆交于点E，连接CE
如果∠A与∠C所对的弧组成了一个圆周，则∠A+ ∠C=180 °
∠CAD=16°，则∠ABD的度数为________
分类讨论
求证：过点A、Ｂ、C、Ｄ可作一个圆。
E
D
证明：假设过A、B、C、D四点不能作一个圆，
A
那提么过出A反、证Ｂ、C三点作推圆出，矛则盾点D在圆外 肯定结论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｃ
设AD与圆交于点E，连接CE
则∠B+∠AEC=180° （圆的内接四边形的对角互补） 又∠B+ ∠D=180 °
∴ ∠AEC=∠D．
Ｂ
反证法
又∵ ∠AEC是△ ABC的一个外角
∴ ∠AEC ＞ ∠D
这与∠AEC= ∠D出现矛盾，故假设不成立
∴过A、B、C、D四点可以作一个圆
证明猜想，获得结论
对角互补的四边形四个顶点共圆。
已知：如图在四边形ABCD中， ∠B+ ∠ADC=180 °
求证：过点A、Ｂ、C、Ｄ可作一个圆。
证明：假设过A、B、C、D四点不能 作一个 圆， 那么过A、Ｂ、C三点作圆，点D在圆内
作一个圆。
A D
B
2、下列四边形中 ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形⑤梯形
CE
其中四个顶点一定共圆的四边形________②__④__
目标检测
3、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°
∠CAD=16°，则∠ABD的度数为______74_°_
A
16 °
D
16 °
B
C
归纳反思，总结提升
由特殊到一般
课后作业
如图，已知△ABC的两条内角平分线AD，BE交于点 F，且 ∠C=60°．求证：点C、D、E、F四点共圆。
A
E F
B
D
C