电磁场课件 Part8--镜像法(1)

Topic # 8—镜像法(method of
images)­Part1
n镜像法
n点电荷~无限大的接地导板系统
n电轴~无限大接地导电平面系统的电场
n电轴法 (广义镜像法)
1
n镜像法
n定义
The method of images is an analytical technique that involves replacing constant­potential surfaces with equivalent sources called image sources that generate the same fields.
镜像法——用场域闭合边界外虚设的较简单的电荷分布
来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷
分布以简化原问题的分析和计算。

场域闭合边界—一般为导体组成等位面
2
n镜像法
n适用场合
The conducting boundaries that can be modeled in
this way include infinite planes, spheres, infinite
cylinders, and wedges.
3
4
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Background
对于大地上方输电线、雷电形成的电场，可以典型化为最 基本的问题：无限大接地导体上方点电荷激发的电场问题
+q
2
s D
P (x,y,z )
1
s h
e 导板
¥
r 2 0
j Ñ=
5
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析—直接求解是否可能
1. ? 不行，
2. 已知场源分布，求
3. 高斯定理？
0 4 P q
r
j e = p E v
d S
E S · ò v
v Ñ
0 E S × 或 非单一媒质
需要探索新的求解方法
不通
6
n 点电荷~无限大的接地导板系统
n 换一个角度考虑：考虑其边值问题
2
0 in D
j Ñ= 1
||0
S j j == 导板表面 |0
t E = 导板表面 2
11
22
1 10 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ
7
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？
一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 q
+ 2
s 1
s h
0 e ¥
e h
q
- 2 2 0
j Ñ= x
y o E
r
边值问题
2
2 0 ()
j Ñ= 在上半空间 1
2 |0
S j = 0 | y n n E E e
= = r r
8
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？
一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 边值问题
2
2 0 ()
j Ñ= 在上半空间 1 2 |0 S j = 0 | y n n
E E e = = r r y =0的平面为等位面，且其电位为零
9
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？
一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 2
21
22
2
10 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 在正点电荷处取同样“大小”的面元S 2
，可近似认为该 面元为等位面，于是：
q
+ 2
s 1
s h
0 e ¥
e h
q
- 2 2 0
j Ñ= x
y o E
r
10
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 比较边值问题
一对相距2h 位于e 0 单一媒质
的上半空间的电场
原问题
2
2 0 () j Ñ= 在上半空间 1 220 ||=0
S y j j = =0 |0
t y E = = 2
21
22 2
10 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®®
¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 2
0 in D
j Ñ= 1
||0
S j j == 导板表面 |0
t E = 导板表面 2
11
22
1
10 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 二者完全一样（y =0平面对应导板表面）
11
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 结论
由唯一性定理可知，两者的解答 j =j 2
注意适用区域：仅上半平面？为什么？
计算导板上方的电场时，可以把导板上的感应电荷的影响 用一置于对称位置上的集中电荷等效
由于引入的电荷位于原电荷对导板的镜像处—镜像法
n点电荷~无限大的接地导板系统 n计算模型—原问题
D
e
导体
j = x
1
r
y
o
(,,0)
P x y
q
+
h
12
13
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 计算模型—镜像法模型
场中电场分布,
等效于引入镜 像电荷q ，撤去 导板，整个空 间充满同一种 电介质的电场。

0 e 0
e x
1 r 2
r y
o
(,,0)
P x y q
+h
h q
- (0,,0)
h (0,,0)
h - 轴对称场（对称轴） 电位的参考值点（值）
不再任意确定
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n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析、计算
e 0
e x
1 r 2
r y o
(,,0)
P x y q
+h
h
q - (0,,0) h (0,,0)
h - (A) 场中电位分布： ( ) 12 11 ,,0 4 P q x y r r j e æö
=- ç÷ p èø 在任意一个子午面上 （电偶极子产生的场）
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n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析、计算
(B) 导板上感应电荷的分布： x
y
o
C
S
16
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析、计算
(B) 导板上感应电荷的分布：
c
S q ds
s = ò n y
e e = r r
y y y
D D e e y
j ¶ ==- ¶ v r r
() n y y e D e e y y
j j s ¶¶ ==-=-
¶¶ r r r
r g g
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n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析、计算
(B) 导板上感应电荷的分布：
( )
3
2
n 0n
00 0 222 2 y y D E E y qh
x h z s e j e e = == æö ¶ ==- ç÷
¶ èø =- p ++
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n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析、计算
(C) 电荷分布和场图：
y
-
- -
- -
x
s 分布
( )
3 2
2
2
2 qh
x h s =-
p +
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n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析、计算
(D) 导板上感应电荷总量
y
x
z
d f
r
d r
d d d S r f r
= ( )
3
2
2
2
2
2 qh
x h z s =-
p ++ 2
2
x z
r =+ 3 2
2 22 00 d d d d d 2 ()
S qh S q q h r f r
s sr f r r ¥p
¢ ¢ ==-=-= p + òòòò
20
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析、计算
(D) 导板上感应电荷总量 –方法II
y
-
- -
- -
x
s 分布
c
c
c
s S S S q ds D e ds D jds
s === òòò r r r
r g g 如何计算？
21 n 点电荷~无限大的接地导板系统
n 分析、计算
(D) 导板上感应电荷总量 –方法II
取图示的高斯面（S c
为从上方无限接近y =0平面），然后应用高斯 定理有
1 11 () 0 c S S Sc Sc S Sc D ds D ds D ds D ds D j ds
D jds q
×=×+× =+×=×- =-×= òòò òò ò r r r r r r r r r r r r
22
n 点电荷~无限大的接地导板系统
n 分析、计算
(D) 导板上感应电荷总量 –方法II
Sc D jds q ×=- ò
r r 取图示的高斯面（ S c 从上方无限接近y=0平面），然后应用高斯 定理有
由此可得
23
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析、计算
(E) 点电荷所受的作用力
( ) 2
2 2 0 0 16 42 q y y q q f qE q e e h h e e - ==×=- p p v v v v 电荷受力计算时，电场强度不包括电荷本身产生的电场
Attention
24
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Observations
ⅰ 系导板上感应电荷所激发，即等效于镜像电荷(­q ) 激发的 ⅱ 此 也即是导板所受到的作用力 E v E v f v 为什么？
作用力和反作用力
n点电荷~无限大的接地导板系统
n Attentions
镜像法应用的关键：
a. 镜像电荷的确定（位置、个数、电量大小）；
b. 等效求解的“有效区域”
简单记法
那个区域没有引入电荷Û适用于那个区域
25
26
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Others
I. M.
¥ a b
q + 0 e ¥
a q + 0
e 0 e q - a
27
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Others
a b
q
+ 0
e 0 e q - a b
q
- 0 e 0
28
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Others
a b
e 0 e q - a a b
q
- 0 e 0 a q
+ q +
29
n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Others
a b
e 0 e q - b a a b
q
- 0
e 0 a q
+ q + b
30 n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Others
a b q + 0 e 0 e q - b a a a b b q + q
- 0 e 0 e 这是一个闭合问题
Review: Steps in applying
method of Images
n整个空间用单一媒质填充
n确定镜像电荷（数量、位置、电荷量） n应用镜像法模型分析、计算原问题
31
电轴~无限大接地导电平面系统的电场 n电轴
截面大小可以忽略不计的长直带电圆柱导体
n Case study :位于无限大导电平面附近的电轴产生的 电场
b
32
33
电轴~无限大接地导电平面系统的 电场
n 分析：能否用镜像法、如何应用？
0 0
b
b
dl
t + dl
t - dq dl t = 线电荷可以看成是无限个点电荷
的集合
dq dl t = 对每个点电荷
,应用前面的结论 得到其镜像电荷为 dq dl
t -=-
n分析：能否用镜像法、如何应用？
n再应用叠加原理
b
等价为一对线电荷密度分别
为+t和­t电轴产生的电场
34
n分析：能否用镜像法、如何应用？
n场的对称性
平行平面场
b
垂直于电轴的任意平面内的
场分布规律完全相同
35
36
n 计算
n 电场强度
P (x,y )
o
(­b,0)
y
x
D
2
e r 1
r 2
r t
+ 1
e
r e 0 e 0
t
- P
E ¢ P
E ¢¢ 0 0
x j = = (b,0)
一根电轴产生的电场
0 2 P E e r t e r
=
p r v
例2­3
1 01
2 P E e r t e r ¢ = p v v 2
02
2 P E e r t e r - ¢¢ = p v v 一对电轴
P P P
E E E ¢¢¢ =+ r v v
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n 计算
n 电位分布—应用叠加原理
任取Q 点为电位参考点，则+ t 电轴产生的P 点电位为
1Q
11Q 1Q
1
1 1
1
1Q 1
' P ''
0 2
Q P P P E dl E d E dl
d r r r r r
r r r j r t r
e r ¢ = =
+ = p ò òò ò r v g
r v v r g g 0
o
b
y
x
P (x,y )
1
r Q
1Q
r 1
Q P
E
38
n 计算
n 电位分布—应用叠加原理
任取Q 点为电位参考点，则+ t 电轴产生的P 点电位为
1Q 1
1
1
P
1Q
0 1
1Q
0 1 2 ln 2 ln 2 d r r
t j r
e r r t e r r t e r
¢ = p = p = p ò o
b
y x
P (x,y ) 1 r Q
1Q
r 1
Q P
E
39
n 计算
n 电位分布—应用叠加原理
任取Q 点为电位参考点，则­ t 电轴产生的P 点电位为
P (x,y )
o
(­b,0)
y
x
D
2
r t
+ e 0 e 0
t
- 0
j = (b,0)
Q
1
r 1Q
r 2Q
r 2 2
2 2
00 d ln 22 Q
Q P r r
r r t t
j r e r e -- ¢¢ =
= p p ò
40
n 计算
n 电位分布—应用叠加原理
2个异号电轴在P 点产生的电位为
P (x,y )
o
(­b,0)
y
x
D
2
r t
+ e 0 e 0
t
- 0
j = (b,0)
Q
1
r 1Q
r 2Q
r 2 01 ln 2 P P P C
r t
j j j e r
¢¢¢ =+=+ p
41
n 计算
n 电位分布—应用叠加原理
2个异号电轴在P 点产生的电位为 设r 1Q =r 2Q 处（中垂面）j = 0 为电位参考点，则C = 0
2 01 ln
2 P r t
j e r
= p 与实际一致
1Q
r 2Q
r
42
n 计算
n 等位线
由等位线方程j = const.
( ) ( ) 2
2 2 2 2 21
2 2 K y b x y b x = + - + + = r r 2
2 2
2
2 2
1 2 1 1 ÷ ø ö ç è æ - = + ú û ù ê ë é ÷
÷ ø ö ç ç è
æ - + - K bK y b K K x 2 01 ln
2 P r t
j e r
= p r 2 /r 1 =K
43
n 计算
n 等位线
在xoy 平面内，等位线轨迹是一族偏心圆
(1) 圆心： (2) 半径：
ú û
ù ê ë é - + = 0 , 1 1 2 2 b K K h 1
2 2
- = K bK a 2
1
h h K a a æö =±- ç÷ èø
n计算
n等位线
在xoy平面内，等位线轨迹是一族偏心圆
就每个等位圆轨迹而言，半径a，圆心至原点的距离h，线 电荷至原点的距离b，三者间有关系：
h 2 = a 2 + b 2
∴ a 2 = h 2 - b 2 =( h + b )( h - b)
即 (±t) 电轴位置对每个等位圆的圆心来说，互为反演点。

44
45
n 计算
n 等位线­图示
1
K o
y
x
t
+ t
- b
1 h 2
h 3
h b
2 K 3
K 3
1 K
2 1 K 1
1 K
n计算
n启示
n如果一静电场的等位线为一族偏心圆，其电场
的计算问题，可考虑等效为一对正负电轴产生
的电场
n电轴的位置则由上面的a,b,h关系式确定
n由于共有a,b,h三个参数，因此至少给出2个等
位圆，才能确定电轴的位置。

n按已知2个等位圆的不同，可得不同的等效计
算模型。

46。