第1课时 等腰三角形(1)
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第一章 三角形的证明
ห้องสมุดไป่ตู้
第1课时 等腰三角形（1）
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关键视点 1.等腰三角形的两底角 相等 . 2.等腰三角形的 顶角平分线 、 底边上的中线 及 底边上的高 互相重合.
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知识点1 等腰三角形的性质 【例1】(1)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°， 点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是 30 °． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠C=（180°﹣40°）=70°， ∵BD=BC， ∴∠CBD=180°﹣70°×2=40°， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD =70°﹣40° =30°． 故答案为：30．
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7．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点， ∠BAD=35°，则∠C的度数为（ C ） A．35° B．45° C．55° D．60° 8．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另 6，4或5，5 两边为 ． 9.如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF， ∠F=20°，则∠B的度数为 40°．
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10．如图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶 A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、 ∠C、∠BAD、∠CAD的度数． 解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C= = =40°. ∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=100°， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=50°．
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基础过关
3．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等 腰三角形的顶角为（C） A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 4．等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内 角的度数分别为（ ） D A．40°，40° B．80°，20° C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°
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11．如图，已知AB=AC，AD=AE．求证： BD=CE． 证明：作AF⊥BC于F， ∵AB=AC（已知）， ∴BF=CF（三线合一）， 又∵AD=AE（已知）， ∴DF=EF（三线合一）， ∴BF﹣DF=CF﹣EF， 即BD=CE（等式的性质）．
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∴∠BED=∠CFD=90°. 在△BED和△CFD中, ∵
∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）．
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【类比精练】 2．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的 中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD． 【解答】证明：∵AB=AC， AD是BC边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°， ∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD．
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5．等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它 的周长为（ C） A．16 cm B．17 cm C．20 cm D．16 cm或20 cm 6．下列说法中，正确的有（D） ①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角 相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相 等；④等腰三角形是轴对称图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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知识点2 等腰三角形的性质推论 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边 上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F． 求证：DE=DF．
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【解答】证明：证法一：连接AD． ∵AB=AC，点D是BC边上的中点 ∴AD平分∠BAC（三线合一性质）， ∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F． ∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 证法二：在△ABC中， ∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角） ∵点D是BC边上的中点 ∴BD=DC ∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F,
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12．已知AB=AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC 吗？为什么？ 解：AE∥BC． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 由三角形的外角性质得， ∠DAC=∠B+∠C=2∠B， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAC=2∠DAE， ∴∠B=∠DAE， ∴AE∥BC．
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【例2】(2)如图，△ABC中，D是BC上一点， AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 52 度．
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【类比精练】 1．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC， ∠ABC=105°，求∠A，∠C度数． 【解答】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A， ∵BD=DC，∴∠C=∠CBD， 设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x， ∴∠ABD=180°﹣4x， ∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°， 解得：x=25°，所以2x=50°， 即∠A=50°，∠C=25°．
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知识小测 3.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为 （D ） A.40° B.50° C.60° D.70° 4.（2016湘西州）一个等腰三角形一边长为4 cm， 另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是 （C ） A.13 cm B.14 cm C.13 cm或14 cm D.以上都不对
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5.若等腰三角形的一个内角为40°，则另外两个内 角分别是（C ） A.40°，100° B.70°，70° C.40°，100°或70°，70° D.以上答案都不对
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D， 若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是 20 .
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知识点1 等腰三角形的性质 【例1】(1)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°， 点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是 30 °． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠C=（180°﹣40°）=70°， ∵BD=BC， ∴∠CBD=180°﹣70°×2=40°， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD =70°﹣40° =30°． 故答案为：30．
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7．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点， ∠BAD=35°，则∠C的度数为（ C ） A．35° B．45° C．55° D．60° 8．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另 6，4或5，5 两边为 ． 9.如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF， ∠F=20°，则∠B的度数为 40°．
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10．如图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶 A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、 ∠C、∠BAD、∠CAD的度数． 解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C= = =40°. ∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=100°， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=50°．
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3．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等 腰三角形的顶角为（C） A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 4．等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内 角的度数分别为（ ） D A．40°，40° B．80°，20° C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°
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11．如图，已知AB=AC，AD=AE．求证： BD=CE． 证明：作AF⊥BC于F， ∵AB=AC（已知）， ∴BF=CF（三线合一）， 又∵AD=AE（已知）， ∴DF=EF（三线合一）， ∴BF﹣DF=CF﹣EF， 即BD=CE（等式的性质）．
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∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）．
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【类比精练】 2．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的 中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD． 【解答】证明：∵AB=AC， AD是BC边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°， ∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD．
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5．等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它 的周长为（ C） A．16 cm B．17 cm C．20 cm D．16 cm或20 cm 6．下列说法中，正确的有（D） ①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角 相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相 等；④等腰三角形是轴对称图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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知识点2 等腰三角形的性质推论 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边 上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F． 求证：DE=DF．
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【解答】证明：证法一：连接AD． ∵AB=AC，点D是BC边上的中点 ∴AD平分∠BAC（三线合一性质）， ∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F． ∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 证法二：在△ABC中， ∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角） ∵点D是BC边上的中点 ∴BD=DC ∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F,
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12．已知AB=AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC 吗？为什么？ 解：AE∥BC． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 由三角形的外角性质得， ∠DAC=∠B+∠C=2∠B， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAC=2∠DAE， ∴∠B=∠DAE， ∴AE∥BC．
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【例2】(2)如图，△ABC中，D是BC上一点， AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 52 度．
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【类比精练】 1．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC， ∠ABC=105°，求∠A，∠C度数． 【解答】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A， ∵BD=DC，∴∠C=∠CBD， 设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x， ∴∠ABD=180°﹣4x， ∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°， 解得：x=25°，所以2x=50°， 即∠A=50°，∠C=25°．
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知识小测 3.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为 （D ） A.40° B.50° C.60° D.70° 4.（2016湘西州）一个等腰三角形一边长为4 cm， 另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是 （C ） A.13 cm B.14 cm C.13 cm或14 cm D.以上都不对
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5.若等腰三角形的一个内角为40°，则另外两个内 角分别是（C ） A.40°，100° B.70°，70° C.40°，100°或70°，70° D.以上答案都不对
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D， 若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是 20 .