江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第一层次)专题6_三角恒等变换与解三角形

专题6：三角恒等变换与解三角形（两课时）
班级 姓名
一、前测训练
1．（1）已知cos(α＋π6)＝13，α∈(0，π2)，则cos α＝ ；sin(α＋π3)＝ ；，cos(2α＋π6
)＝ ． 答案：16（3＋22）；13；16
（22－3）； （2）已知cos(π4＋x )＝35， 17π12＜x ＜7π4，则sin2x ＋2sin 2x 1－tan x
＝ ． 答案：2875
（3）计算 2sin50°＋sin80°(1＋3tan10°)1＋cos10°＝ ． 答案：2
（4）已知tan(π4＋α)＝12．则sin2α－cos 2α1＋cos2α
＝ ． 答案：－56
2．（1）在△ABC 中，b ＝3，B ＝60°，c ＝1，则C ＝ ；a ＝ ．
答案：30°；2；
（2）在△ABC 中，A ＝1200，a ＝7，b ＋c ＝8，则b ＝ ；c ＝ ．
答案：3或5；5或3
（3） 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ， AD ＝10， AB ＝14，
∠BDA ＝60︒， ∠BCD ＝135︒ ，则BC ＝ .
答案：8 2
3．（1）在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为 ．
答案：等腰或直角三角形
（2） 在△ABC 中，sin A ＝2cos B sin C ，则△ABC 的形状为 ．
答案：等腰三角形 二、方法联想
1．三角变换基本想法
（1）角：观察角的联系，实现角的统一．
（2）名：弦切互化，异名化同名．
形：公式变形与逆用．
幂：平方降幂，根式升幂．
解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择．
常见的角的变形有：（1）可化为特殊角；（2）可以化为同角；（3）可分析角与角之间的关系，如和，差，倍等等；（4）可实现条件、结论中角的转化．
注意点：判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值．若在已知范围内不能确定时，利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围．
变式1：已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010
，α，β均为锐角，则角β＝________. （答案：π4
，考查用已知角表示所求的角） 2．解三角形
（1）三角形的几个关系
①角角关系：A ＋B ＋C ＝π；
②边角关系：正弦定理和余弦定理，大边对大角；
③边边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
（2）解三角形方法
①三角形的六个量中只要知道其中三个量（至少已知一条边）便可以求出其他三个量；
②正弦定理运用的条件是：两角一边，两边和其中一边说对的角；
余弦定理运用的有条件是：两边一夹角，三边；
其中两边和其中一边说对的角的条件，既可以用正弦定理也可以用余弦定理，但都必须注意“一解”和“两解”的问题．
3．与三角形有关的三角函数问题
具体做法：
（1）A ＋B ＋C ＝π可消元；
（2）遇到正弦要当心！优先考虑可能出现的一解和两解问题；
（3）边角转化，利用（1）a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 或（2）cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
等进行边角互化，即边化角或角化边．
说明：在解答题中，由于考三角函数的变形较为常见，所以，常常“边化角”，而在填空题中，随意．
变式1：在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13
BC ，则cos A ＝ ． （答案：－1010
，考查平面几何图形中选用正弦定理与余弦定理求解相关的几何量） 变式2：若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是 . （答案：6－24
，考查三角形中的边角转化)
三、例题分析
例1. 已知a ＝(1，－sin α)，b ＝(sin(α+2β)，2)，a ·b ＝0．
（1）若sin β＝35
，β是钝角，求tan α的值；（2）求证：tan(α+β)＝3tan β． 解答：a ＝(1，－sin α)，b ＝(sin(α+2β)，2)，a ·b ＝0，
所以sin(α+2β)－2 sin α＝0．
（1）－2443
； （2）因为sin(α+2β)＝2 sin α，即sin[(α+β)+β]＝2sin[(α+β)－β] 得sin(α+β)cos β+ cos (α+β)sin β＝2[sin(α+β)cos β－cos(α+β)sin β]
移项得sin(α+β)cos β＝3 cos(α+β)sin β，
等式两边同时除以cos(α+β)cos β
得 tan(α+β)＝3tan β
〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
1．三角恒等变形主要是变角，变式，这个顺序也就决定解题的大的思路；
2．变角是三角恒等变形中重要的第一步，根据问题的特征，主要是角的形式的统一．
（2）方法选择与优化建议：
1．三角函数的求值问题与代数问题的求知一致，根据问题的特点可以直接计算，也可以间接计算（解方程）．
2．三角恒等变形，首先应该变角，本题解题的关键，就是实现已知角中的形式，向未知角中的形式转
化．
例2：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b
. （1）求sin C sin A 的值；（2）若cos B ＝14
，△ABC 的周长为5，求b 的大小． 答案：（1）sin C sin A
＝2；（2） b ＝2. 〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
1．边角互化问题，方法有：
①利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 将边化为角；
②利用cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
等将余弦化为边； ③c cos B ＋b cos C ＝a 等化角为边．
2．求边长问题，方法有：①利用正弦定理求边；② 利用余弦定理求边．
（2）方法选择与优化建议：
1．对于等式cos A －2cos C cos B ＝2c －a b
的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出sin C ＝2sin A ； 如果利用cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 等将等式cos A －2cos C cos B ＝2c －a b
的左边余弦化为边来做，运算量较大， 所以不选择方法②．
由于等式cos A －2cos C cos B ＝2c －a b
可以化为b cos A ＋a cos B ＝2(b cos C ＋c cos B )，即c ＝2a ，所以也可以选择方法③．
2．因为从第一问已经可以得到c ＝2a ，又a ＋b ＋c ＝5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b ，利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便．
例3：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若满足3tan A tan B －tan A －tan B ＝3.
（1）求∠C 的大小；
（2）若c ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求a 2＋b 2的取值范围.
答案：（1）π3；（2）(203
，8)] . 〖教学建议〗
（1)主要问题归类与方法：
1．求三角形中的某个角的大小：利用三角公式求这个角的某一三角函数．
2．求代数式的范围问题.利用函数的知识，转化为求函数值域．
（2)方法选择与优化建议：
1．由于本题中涉及到的三角函数为正切，所以考虑求角的正切值，从而求角的大小；
三角恒等变形中应注意公式的变形使用，解三角形问题时要注意利用隐含条件A ＋B ＋C ＝π.
2．利用正弦定理将a 2＋b 2表示为角A 或角B 的三角函数关系式，并将之变形整理为f (x )＝A sin(ωx
＋ϕ)＋B 的形式求范围.
本题中需注意的是“△ABC 为锐角三角形”必须保证所有的角都是锐角，这是求范围的关键所在.
例4：如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m /min .在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行
到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35
. (1)求索道AB 的长；
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，
乙步行的速度应控制在什么范围内？
答案：(1) AB 的长为1 040 m.；
(2)当t ＝3537
min 时，甲、乙两游客距离最短． (3)乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．
〖教学建议〗
（1)主要问题归类与方法：
1．求角及边长问题，方法为先利用两角和差关系求sin B ，再利用正弦定理求边长AB .
2．余弦定理应用问题，其中涉及二次函数最值问题.
方法为利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数．
3．解三角形的实际应用问题，方法为利用正弦定理求BC ，将两位游客互相等待的时间不超过3分钟用不等式表示，利用两者的时间差所在范围求解速度范围.
（2)方法选择与优化建议：
1．已知两角一边或两边和一边对角利用正弦定理解三角形．
注意点有：利用两边和一边对角求另一边的对角时容易忽视解的情况的判断.
2．已知两边和夹角，常用余弦定理求出第三边.
3．求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．
四、反馈练习
1.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10
2，则tan 2α＝________. 答案：－34
；(考查三角变换，二倍角公式). 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A
＝ . 答案：72
；(考查正弦定理). 3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若a 2－c 2＝3b ，且sin B ＝8cos A sin C ，则边b ＝ . 答案：4；(考查两角和差的三角函数关系，正余弦定理).
4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，，则△ABC 的面积为 . 答案：32；(考查正弦定理).
5.△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则△ABC 的形状是 ． 答案：等边三角形；(考查正余弦定理，等差数列与等比数列).
6. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，
cos A ＝－14
，则a 的值为________. 答案：8；(考查余弦定理，三角形面积).
7.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为____________．
答案：3；(考查正、余弦定理).
8.钝角△ABC 的面积是12
，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝ . 答案：5；(考查正、余弦定理)
9.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ， 3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为 .
答案：6∶5∶4；(考查正、余弦定理).
10.在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13
BC ，则cos A ＝________. 答案： －1010
(考查解三角形，三角变换). 11.已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－
7210． （1）求cos2α的值；
（2）求2α－β 的值．
答案：（1）cos2α＝－ 35； （2） 2α－β＝－π4
． （考查两角和差的三角函数关系）.
12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B ．
(1)证明：A ＝2B ；
(2)若△ABC 的面积S ＝a 24
，求角A 的大小. 答案：(1)略；(2) A ＝π2或A ＝π4
. （考查正、余弦定理，三角形面积与三角变换）.
13.已知△ABC 的面积为S ，且─→AB ·─→AC ＝S .
（1）求tan2A 的值；（2）若B ＝π4
，|─→CB －─→CA |＝3，求△ABC 的面积S . 答案：（1）－43
；（2）3. （考查正、余弦定理，平面向量，三角变换）.
14.如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．
答案：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． （考查正、余弦定理的应用，三角变换，求函数最值，解析几何，矩阵变换等）.
A
P
M N B C。