北京大学学第精编学期 高等数学A期末考试试卷

北京大学高等数学A 期末考试试卷
2016~2017学年第2学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号姓名年级专业
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。

2.设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ=。

3．经过
(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。

4．设yz u x =，则du =。

5．级数11
(1)n
p n n
∞
=-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（）
A ．2x y Ce =
B ．22x y Ce =
C ．22y y e Cx =
D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)lim
x y →=（）
A ．
14B ．12-C ．1
4
-D ．12
3．直线:
327
x y z
L ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面πB ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面πD ．直线L 与平面π斜交
4．D 是闭区域2222
{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则
D
σ=（）
A ．
33()2
b a π
-B ．
332()3b a π-C ．334()3b a π-D ．3
33()2
b a π-
5．下列级数收敛的是（）
A ．11(1)(4)n n n ∞
=++∑B ．2111n n n ∞=++∑C ．1121n n ∞=-∑D
．n ∞
=
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

1.
2.计算二重积分22
D
x y dxdy x y
++⎰⎰
，其中22
{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求
z z x y
∂∂+∂∂。

4.求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-⎰，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针方向。

5.
计算D
y ⎰⎰，其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的区域。

6
．判断级数1(1)1
n n n n ∞
=-+∑ 7．将函数1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。

四、
解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原
点到这椭圆的最长与最短距离。

2.求幂级数1
(1)(1)!n n
n nx n ∞
=-+∑的和函数。

3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=⎰
⎰⎰，
求()f x 和()g x 。

参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．2{(,)|210}x y y x -+>2．3
3．920y z --=4．1ln ln yz yz yz yzx dx zx xdy yx xdz -++5．01p <≤
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C2．C3．C4．B5．A
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

解：先求'0y y +=的通解，得1x y C e -=………………2分
采用常数变易法，设()x y h x e -=，得''()()x x y h x e h x e --=-………3分 代入原方程得'()()()x x x x h x e h x e h x e e ----+=………………4分
得21
()2
x h x e C =+………………5分
故通解为1
2
x x y e Ce -=+………………6分
将初始条件0x =，2y =带入得32C =，故特解为13
22x x y e e -=+…………7分
2.计算二重积分22
D
x y
dxdy x y
++⎰⎰
，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

解：设cos ,sin x r y r θθ==………………1分
则1
0,
12
sin cos r π
θθθ
≤≤
≤≤+………………3分
所以12
12220sin cos cos sin D
x y r r dxdy d rdr x y r π
θθθθθ+++=+⎰⎰⎰⎰………………5分 20
(sin cos 1)d π
θθθ=+-⎰………………6分
42
π
-=
………………7分 3.设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y
∂∂+∂∂。

解：设(,,)432sin(23)F x y z x y z x y z =-+-+-………………1分
12cos(23),44cos(23),36cos(23)x y z F x y z F x y z F x y z =-+-=--+-=++-…
……………4分
2cos(23)14cos(23)4
,3[12cos(23)]3[12cos(23)]y x z z F F z x y z z x y z x F x y z y F x y z ∂+--∂+-+=-==-=
∂++-∂++-……6分 所以
1z z x y
∂∂+=∂∂………………7分 1.5CM
4.求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-⎰，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针方向。

解：圆的参数方程为：cos ,
sin (0)2
x a t y a t t π
==≤≤
……………1分
2
20
()()(cos sin (cos sin )cos )sin L
x y dx x y dy a t a t da a t a t da t t π
π
++-=+-+⎰⎰
⎰……3分
2
20
(cos 2sin 2)a
t t dt π
=-⎰
………………4分
2
2
0[sin 2cos2]2
a t t π
=+………………6分 2a =-………………7分
（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）
5.
计算D
y ⎰⎰，其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的区域。

解：{(,)|1,11}D x y y x =≤≤-≤≤………………1分
1
1
1
D
y dx y -=⎰⎰⎰………………2分
312621
12[(1)63x y -=-⨯+-⎰………………4分
13
11(||1)9x dx -=-
-⎰………………5分 1
302(1)9x dx =--⎰………………6分
1
6=………………7分 6.
判断级数1(1)1
n n n n ∞
=-+∑
解：(1)11n n n n n -=++1分 ()n n
→∞………………3分 所以级数发散。

………………4分
又
(1)1(1)(1)11n n n n n -=--++5分
1
n n +=………………6分
显然，交错级数1n n ∞
=
，n
n ∞
=都收敛，所以原级数收敛。

因此是条件收
敛。

………………7分 7. 将函数
1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。

解：
111
(1)(2)12x x x x
=-----………………2分
而
1
,||11n n x x x ∞
==<-∑………………3分 211[1()](||2)2222x x
x x =+++<-………………4分
所以
221
11[1()](1)(2)
222
x x
x x x x =+++
-+++--………………5分
10
1
(1)2
n n n x ∞
+==-
∑………………6分 成立范围||1x <………………7分
四、 解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
1.抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上任一点P 的坐标为(,,)P x y z ，P 点满足抛物面和平面方程。

原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222x y z ++，………………1分 构造拉格朗日函数
22222()(1)F x y z x y z x y z λμ=++++-+++-………………2分
2222022020
010
x y
z
F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ=++=⎧⎪=+
+=⎪⎪=-+=⎨⎪=+-=⎪=++-=⎪⎩………………4分 解得1
(12
x =-±………………5分
1.5CM
得两个驻点为
12
1111
(2(2
2222
P P
=-+-+=---+…………………6分
7分
2.求幂级数
1
(1)
(1)!
n n
n
nx
n
∞
=
-
+
∑的和函数。

解：因为
!
n
x
n
x
e
n
∞
=
=∑，所以
(1)
!
n n
x
n
x
e
n
∞
-
=
-
=∑，………………1分
00
(1)(1)(11)
()
(1)!(1)!
n n n n
n n
nx n x
S x
n n
∞∞
==
--+-
==
++
∑∑………………2分
00
(1)(1)
!(1)!
n n n n
n n
x x
n n
∞∞
==
--
=-
+
∑∑………………3分
(1)
!
n n
x
n
x
e
n
∞
-
=
-
=
∑………………4分
11
1
00
10
(1)
(1)!
1
1(1)1(1
1(1)1
)
(1)!(1)!
1(1)1(1)
1
!
1
!
!
n n n n
n n
n n n n
n n
n n
n
n n
x
n
x x
x n x n
x x
x
x
n
x
e
x x n x x
n x n
∞+++
∞∞
==
∞∞
=
∞
-
=
==
--
=-
++
⎡⎤
--
=-=--
⎢⎥
⎣⎦
=
-
=
+
-
-=-
∑∑∑
∑∑
∑
(0)
x≠…………5分
所以
故
1
()(1)(0)
x x
S x e e x
x
--
=--≠……6分
当0
x=时，()0
S x=。

………7分
另解：
当0
x≠时，
1
111
(1)1(1)1(1)
(1)!(1)!(1)!
n n n
n
x n
n n
n n
n
x
x n
x
n x n x n
d
x+
∞∞∞
===
⎡⎤
---
==⎢⎥
++-
⎣⎦
⎰
∑∑∑
当0
x=时，()0
S x=。

3.设函数()
f x和()
g x有连续导数，且(0)1
f=，(0)0
g=，L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D，已知
[()()]()
L
D
xydx yf x g x dy yg x dσ
++=
⎰⎰⎰，
求()
f x和()
g x。

解：由格林公式得
['()'()]()D
D
yf x g x x dxdy yg x dxdy +-=⎰⎰⎰⎰………………2分
即['()'()()]0D
yf x g x x yg x dxdy +--=⎰⎰………………3分
由于区域的任意性，'()'()()0yf x g x x yg x +--=………………4分 又由于y 的任意性，有'()()f x g x =，'()g x x =……………5分
又由(0)1f =，(0)0g =得，2
()2x g x =………………6分
所以3
()16
x f x =+………………7分。