《推荐》新课标2015-2016学年高二下学期第二次月考数学(理)Word版含答案

数学理
第I 卷（36分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．曲线2sin y x =在点(0,0)处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．12
D ．12
-
2．下列求导结果正确的是（ ）
A ．x x 21)1(2-='-
B ．(cos30)sin 30'=-
C ．x x 21])2[ln(=
' D ．x x 23)(3=' 3．函数33y x x =-的单调递减区间是()．
A ．(－∞，－1)
B ．(－1，1)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)和(1，＋∞)
4．32(x)32f x x =-+在区间[－1，1]上的最小值是( )．
A ．1
B ．－2
C ．2
D ．－1 5．已知函数x x x f 12)(3-=，若)(x f 在区间)1,2(+m m 上单调递减，则实数m 的取值范围是
A ．11≤≤-m
B ．11≤<-m
C ．11<<-m
D ．11<≤-m
6．已知函数2(x)f ax c =+，且f '(1)＝2，则a 的值为( ) ．
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．0 7． 已知P, Q 为抛物线22x y =上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切
线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )
A. 1
B. 3
C.
-4 D. -8 8． 已知3269,x x x abc a b c -+-<<且f(a)=f(b)=f(c)=0，现给出如下结论：
①f(0)f(1)>0； ②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
9. 若)(x f 的定义域为，2)(>'x f 恒成立，2)1(=-f ，则42)(+>x x f 解集为（ ）
A ．(1,1)-
B ．(1)-+∞，
C ．(,1)-∞-
D ．(,)-∞+∞
10．已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(1，3)，则b 的值为( )．
A ．3
B ．－3
C ． 5
D ．－5 11. 设函数()x f x xe =，则（ ）
A. 1x =为()f x 的极大值点
B.1x =为()f x 的极小值点
C. 1x =-为()f x 的极大值点
D. 1x =-为()f x 的极小值点[学
12. 已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )
A. -2或2
B. -9或3
C. -1或1
D. -3或1
二、填空题（每小题3分，共16分）
13．一质点按规律s ＝2t 3运动，则其在时间段[1，1.1]内的平均速度为 m/s ，
在t ＝1时的瞬时速度为 m/s ．
14．函数y ＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数，则a 的取值范围是 ．
15．如图，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程
是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f '(5)= ．
16．已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′(π3
)＋sin x ， 则f ′(π3
)＝________. 三、解答题
17．(8分) 已知曲线313
y x =, (1) 求曲线在点P(2,f(2))处的切线方程; (2) 求曲线过点P(2,
83)的切线方程。

18．(10分) 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32
，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12
x . (1) 求a 的值；
(2) 求函数f (x )的单调区间与极值．
19． (10分) 设函数2()ln f x ax x =+.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）设函数()(21)g x a x =+，若当(1,)x ∈+∞时，()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围.
20． (10分) 已知函数f (x )＝ln x ＋2a x
，a ∈R . (1) 若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；
(2) 若函数f (x )在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值．
21．32(x)x 1,,f ax x a R =+++∈已知函数
(1) 讨论函数(x)f 的单调区间；
（2）设函数(x)f 在区间2
1(,)33
--内是减函数，求a 的取值范围。

参考答案
三、解答题
17.解：设过点P(2,83)的直线与曲线相切，切点坐标为3001(x ,)3
x ， 所以切线的斜率为'200f (x )x = 所以切线方程为320001x (x x )3y x -
=-， 因为切线过点P(2,
83)， 所以3200081(2)33
x x x -=-， 解得0021x x ==-或
当02x =时，切线方程为12-3y-16=0x
当01x =-时，切线方程为3y-3x-2=0
所以，所求切线方程为12-3y-16=0 3y-3x-2=0x 或
18．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12
x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54
. (2) 由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32
， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2
.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)上为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故 f (x )在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.
19.解： ：（1）解：因为2
()ln f x ax x =+，其中0x >． 所以221()ax f x x +'=， 2分 当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数 4分
当0a <时，令()0f x '=
，得
x =所以()f x
在
上是增函数，在)+∞上是减函数. 6分 （2）解：令()()()h x f x g x =-，则2()(21)ln h x ax a x x =-++，
根据题意，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <恒成立. 8分 所以1(1)(21)'()2(21)x ax h x ax a x x
--=-++= （1）当102
a <<时，1(,)2x a ∈+∞时，'()0h x >恒成立. 所以()h x 在1(
,)2a +∞上是增函数，且1()((),)2h x h a ∈+∞，所以不符题意 10分 （2）当1
2a ≥
时，(1,)x ∈+∞时，'()0h x >恒成立.
所以()h x 在(1,)+∞上是增函数，且()((1),)h x h ∈+∞，所以不符题意 12分 （3）当0a ≤时，(1,)x ∈+∞时，恒有()0h x '
<，故()h x 在(1,)+∞上是减函数， 于是“()0h x <对任意(1,)x ∈+∞都成立”的充要条件是(1)0h ≤，
即(21)0a a -+≤，解得1a -≥，故10a -≤≤.
综上所述，a 的取值范围是[1,0]-. 15分
20.解 (1)∵f (x )＝ln x ＋2a x ，∴f ′(x )＝1x －2a x 2. ∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，
∴f ′(x )＝1x －2a x 2≥0在[2，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 2
在[2，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x 2
，则a ≤[g (x )]min ，x ∈[2，＋∞)， ∵g (x )＝x 2
在[2，＋∞)上是增函数，
∴[g (x )]min ＝g (2)＝1.
∴a ≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]．
(2)由(1)得f ′(x )＝x －2a x 2，x ∈ [1，e]． ①若2a <1，则x －2a >0，即f ′(x )>0在[1，e]上恒成立，
此时f (x )在[1，e]上是增函数．
所以[f (x )]min ＝f (1)＝2a ＝3，解得a ＝32
(舍去)． ②若1≤2a ≤e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2a .
当1<x <2a 时，f ′(x )<0，
所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2a ，e)上是增函数． 所以[f (x )]min ＝f (2a )＝ln(2a )＋1＝3，
解得a ＝e 22
(舍去)． ③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减函数．
所以[f (x )]min ＝f (e)＝1＋2a e
＝3，得a ＝e.适合题意． 综上a ＝e.。