数学物理方程中的通解问题

第 25 卷第 6 期 2006 年 6 月
大 学 物 理
COLL E G E P H Y SICS
Vol . 25 No . 6 J une. 2006
数学物理方程中的通解问题
陈五立1 , 石 俊2 , 黄亦斌3
( 11 湖南信息职业技术学院 基础部 , 湖南 长沙 410200 ; 21 江西九江学院 电子工程系 , 江西 九江 31 江西师范大学 物理与通信电子学院 , 江西 南昌 330022)
332005 ;
摘要 :通过例证说明 , 通解法对于偏微分方程而言 , 其适用范围要比通常认为的大 . 并表明 , 只要适当变通 , 行波法就可用 于有界情况 .
关键词 :偏微分方程 ; 通解 ; 特解 ; 行波法
中图分类号 :O 41111
文章编号 :1000 20712 ( 2006) 06 20031 202
文献标识码 :A
在一些数学物理方程教科书中指明[ 1 , 2 ] : 求微 分方程的通解并由条件定特解的思路 ( 笔者称之为
“通解法”
) 对于偏微分方程是不太适用的. 原因是偏 微分方程的通解难求 , 即使求出通解 , 用定解条件确 定其中的待定函数 ( 而非待定系数) 也往往很困难. 对于少数情况例外 , 这个例外一般是指解一维齐次 波动方程的行波法. 而就行波法而言 , 一般也只将其 用于无界或半无界情况 , 鲜有用于有界情况的 ( 文献
[ 3 ]例外) . 而实际上 , 许多人其实认为行波法不适用
于有界情况[ 4 ]
.
笔者以为 , 通解法不太适用于偏微分方程固然 不错 , 但一般的观点似乎过于否定通解法了 . 甚至对 于一维齐次波动问题的通解也罔顾其为通解的事 实 , 视其不能用于有界情况 , 则更是不妥了 . 其实 , 常 系数线性常微分方程的求解可归结为一个代数方程
( 即特征方程) 的求解 , 而对于满足一定条件的常系
数 线 性 偏 微 分 方 程 而 言 也 是 如 此 , 通 解 并 不 难
求[ 5 ] . 对于简单的定解条件 , 偏微分方程通解中的 待定函数也容易求出. 因此 , 通解法并不像一般人所 认为的那样不济 , 当然有时需要对自变量的取值范 围做适当的延拓. 因此 , 对于一维齐次波动方程 , 把 有界问题变通后也可用通解法求解.
事实上 , 通常所认为的跟通解法相对立的整体 思路 ( 即将泛定方程和定解条件作为一个整体来求 解) 中也有通解法的影子. 以下面的一维齐次波动问 题为例. 用分离变量法结合齐次边界条件得到由本 征模叠加成的级数解固然属于整体思路 , 但用初始 条件确定其系数则是明显的通解法思路了. 也就是 说 , 那个级数解仍是满足一定条件的通解 . 因此通解
法的意义并不能随意抹杀 .
下面 , 笔者对通常的一维齐次波动方程和二维 拉普拉斯方程各举一例 , 说明通解法的可行性.
通解法用于有界情况下的波动方程
1 设有界情况下一维齐次波动问题为 :
u t t - a 2
u x x = 0
u | x = 0 = u | x = l = 0
( 1) ( 2)
( 3)
u | t = 0 = φ( x ) , u t | t = 0 = ψ( x ) 方程 ( 1) 的通解为
( 0 < x < l ) u ( x , t ) = f 1 ( x - at ) + f 2 ( x + a t ) ( 4)
现在修改一下原问题 : 保持等式不变 , 但认为 x 在 整个实数域内取值. 把这样得到的解限制在题目要 求的区域上 , 就可得到原题的解.
下面来求函数 f 1 (ξ) 和 f 2 (ξ) 的确定特解. 将通 解式 ( 4) 代入式 ( 2) , 得
f 1 ( - at ) + f 2 ( at ) = 0 , f 1 ( l - at ) + f 2 ( l + at ) = 0
即
f 2 (ξ
) = - f 1 ( - ξ) , f 1 ( 2 l - ξ) + f 2 (ξ) = 0 ( 5) 将前者代入后者 , 得
f 1 ( 2 l +ξ) = f 1 (ξ) ( 6)
即 f 1 (ξ
) 是周期为 2 l 的周期函数. 由式 ( 5 ) 可知 , f 2 (ξ
) 同样是周期函数. 既是周期函数 , 必可做傅里 叶展开. 利用式 ( 5) , 有
∞
a 0n πξ n πξ 6
f 1 (ξ
) = + a n co s + b n sin 2 l
l
n πξ n = 1
∞
a
0n πξ 6
f 2 (ξ
) = - + - a n co s
+ b n sin
2
l
l
n = 1
于是 , 对待定函数 f 1 (ξ
) 和 f 2 (ξ) 的求解转化为对待
定系数 a n 和 b n 的求解. 把上两式代入通解式 ( 4) 中 , 得
将前者代入后者 , 得
f 1 ( 2 a +ξ
) = f 1 (ξ) ( 14)
∞
u ( x , t ) =
2sin n π a sin n πat + b co s n π
at
即 复 变 函 数 f 1 (ξ) 是 周 期 为 2 a 的 周 期 函 数 . 由 式
6 n
n
l l l n = 1
(13) 可知 , f 2 (ξ) 同样是周期函数. 在复变函数中 ,
以实数为周期的周期函数有正弦和余弦函数 , 而且
它们能构成完全集 , 故函数 f 1 (ξ
) 和 f 2 (ξ) 可用它们 来展开. 利用式 ( 13) , 二者的傅里叶级数为 :
( 7)
然后把初始条件 ( 3) 代入 , 即可确定系数 :
l n π
x 1 a n =
n
πl ∫0 ψ( x ) sin d x l ∞
a 0
= n πξ n
πξ l
n
πx 1
6
b n
=
l ∫
φ( x ) sin 1 (ξ) + a n co s + b n sin
f d x
2
a
a
l
n = 1
∞
( n = 1 , 2 , ) ( 8)
a 0
n πξ n πξ
6
f 2 (ξ) = -
+ - a n co s + b n sin a a
至此特解求出 , 结果跟分离变量法一致. 如果想得到 原待定函数 , 只要在其傅里叶级数中把系数式 ( 8) 代
入即可.
文献 [ 3 ]用通解法对此问题的求解过程是 :根据 零边界条件对 φ( x ) 和 ψ( x ) 进行延拓 , 要求它们是 对点 x = 0 和 x = l 的奇函数 ( 这直接导致延拓后 φ ( x ) 和 ψ( x ) 是以周期为 2 l 的周期函数) , 然后再代 入仅适用于无界情况的达朗贝尔解.
n = 1
于是 , 对
的求解转化为对待 定系数 a n 和 ( 12) , 得
sin
i n πy +
u ( x , y )
=
n a n πx
2sin
· a 1
n
πy b n ch
( 15)
a
2 通解法用于二维拉普拉斯方程
设二维稳定分布问题为 :
u x x + u y y = 0
然后把边界条件 ( 11) 代入 , 即可确定系数 :
a i
n πx a sh ( n πb/ a ) ∫
0 a n =
ψ( x ) sin d x ( 9) ( 10)
( 11)
a
)
( n = 1 , 2 , ( 16)
b n = 0
结果也跟分离变量法一致 .
u | x = 0 = u | x = a = 0 ( 0 < y < b ) u | y = 0 = 0 , u | y = b = φ( x )
方程 ( 9) 的通解为
[ 5 ]
( 0 < x < a ) 总之 , 从通解到特解的思路虽然不太适用于偏
微分方程 , 但其适用范围要比通常认为的大 , 不可随 意否定通解法的意义.
u ( x , y) = f 1 ( x + i y ) + f 2 ( x - i y )
( 12)
由求解常系数线性常微分方程通解的过程可知 , 如 果其自变量 、函数值和系数在复数范围内取值并不 影响其结论 , 则它们不必囿于实数范围 . 此处也是如
此 , 对于抽象的方程 ( 9) 及其通解 ( 12) 而言 , x 、y 和
u ( x , y ) 都可以认为是复数 ( 当然 , 具体到实际问题 ,
它们都是实数) . 因此 , 现在就可认为 x 、y 是在整个 复数数域内取值 , 把这样得到的解限制在题目要求 的区域上 , 就得到原题的解.
下面来求函数 f 1 (ξ) 和 f 2 (ξ) . 将通解式 ( 12) 代 入式 ( 10) , 得
f 1 (i y ) + f 2 ( - i y ) = 0 , f 1 ( a + i y ) + f 2 ( a - i y ) = 0
即
f 2 (ξ
) = - f 1 ( - ξ) , f 1 ( 2 a - ξ) + f 2 (ξ) = 0
( 13)
参考文献 :
[ 1 ] 梁昆淼 . 数学物理方法 [ M . 第 3 版 . 北京 :高等教育出
版社 , 1998 . 177.
四川大学数学系 . 高等数学 第四册 [ M . 第 2 版 . 北京 : 高等教育出版社 , 1985. 150.
吉洪诺夫 A H , 萨马尔斯基 A A . 数学物理方程 上册 [ M . 北京 :人民教育出版社 , 1961 . 68～70 . 南 京 工 学
院 数 学 教 研 组 . 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 [ M . 第 2 版 . 北京 :高等教育出版社 , 1982. 58 .
吴崇试 . 数 学 物 理 方 法 [ M . 北 京 : 北 京 大 学 出 版 社 , 2003 . 269～290 . ( 下转 53 页)
[ 2 ]
[ 3 ] [4 ] [5 ]
第6 期赵峥:重视现代微分几何在物理学中的应用53
霍金与瓦尔德等人的著作,并把他们的著作内容作了新的扩充,进一步降低了起点和难度,写成了《微分几何入门与广义相对论》一书, 于2000 年由北京师范大学出版社出版. 该书曾在北京师范大学对研究生、本科生和进修教师进行过多次讲授, 并曾应邀在清华大学和中国科学院授课, 均收到良好的效果. 笔者曾较系统地听过梁教授的这门课, 感到受益匪浅.
这本书的主要作者梁灿彬教授是国内物理教学界的知名学者,特别善于教书和写书,曾于1989 年荣获首届优秀教学成果国家级特等奖. 作者从一开始就把化难为易作为本书质量的一个重要指标, 并利用自己多年积累的、独具魅力和特色的许多教学技巧,千方百计地设法达到这一目标. 例如,对重点难点不惜耗费篇幅详加解说, 在讲解某些很抽象的问题时,经常是先从具体特例入手再推广至一般, 必要时还配以直观语言( 甚至比喻) 加以解释,但又保证不失严格性.在每个新词第一次出现时, 总要讲清其准确定义或含义,以免读者被迫作各种猜测以及由此导致误解. 总之, 为了化难为易, 作者真可谓用心良苦. 从本书的使用效果上看,作者的成绩斐然.与此有关的另一特点是“低进高出”: 一方面是门槛很低,只要求学过多元微积分和线性代数基本知识,不要求学过拓扑学和微分几何; 另一方面, 读者只要用心读完全书就能对广义相对论的基础知识和部分前沿动态有一个比较全面和准确的理解,从而可以比较轻松地进入有关研究领域.对于非相对论专业的物理教师、研究生及本科生,读完本书后也能大体掌握整体微分几何这一数学工具,并把它运用到自己的研究领域中.
近年来,梁灿彬教授又在周彬博士的配合下对该书重新作了修改, 并于2006 年1 月由科学出版社出版了上册( 明年将出下册) . 该书得到陆琰院士和李惕碚院士的大力推荐,并得到国家科学技术学术著作出版基金的资助. 相信本书新版的问世,一定能对现代微分几何在物理领域的普及起到推动作用.该书上册主要内容有:拓扑空间简介, 流形和张量场,黎曼曲率张量, 李导数、K illing 场和超曲面, 微分形式及其积分, 狭义相对论的几何表述, 广义相对论基础, 爱因斯坦方程的求解, 史瓦西黑洞, 宇宙论( 包括暗物质和暗能量) . 下册主要内容有:时空整体因果结构, 渐近平直时空, 克尔- 纽曼黑洞, 参考系再认识( 时空的3 + 1 分解) ,广义相对论的拉氏和哈氏形式, 量子力学数学基础简介, 量子力学的几何
相,能量条件, 奇性定理和宇宙监督假设, 李群和李代数,时空对称性和守恒律( Noet h er 定理的证明) ,纤维丛理论及其在规范场论中的应用, 德西特( de Sit ter) 时空. 值得一提的是. 该书下册将近半数内容都不涉及相对论本身, 但对理论物理工作者却大有帮助. 例如附录G 对李群和李代数有相当详尽而又比较易懂的讲述,附录Ⅰ则以此为工具从零开始详细讲授了在理论物理中非常重要的纤维丛理论,并独具特色地介绍了这一理论在规范场论中的应用.
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On gener al sol ut ions of equ at ions in m athem at ical physics
CH EN Wu2li1 , SH I J un2 , HUAN G Y i2bin3
(11 Dep art m ent of Fundamental Co urses , Hunan College of Infor matio n ,Changsha 410200 , China ;
21 Dep art m ent of Elect r o n ic Eng ineering ,J i u jiang U n iversit y , J i u jiang ,J i angxi 332005 , China ;
31 Dep art m ent of Physics , J i angxi No rmal U n iversity , Nanchang 330022 , China)
Abstract :It is illust r ated t h at t h e met h o d of general soluti o n is m o r e applicable t h an o n e might imagine fo r partial differential equati o n s. It is also illust r ated t h at , af t er so m e variat i o n , t h e met h o d of t r aveling wave can apply to sit u ati o n s of unbo u nded interval .
K ey w ords :partial di fferential equati o n s ; g eneral soluti o n s ;particular soluti o n s ; m et h o d of t raveling wave。