西城区初三年级数学一模答案

北京市西城区2013年初三一模试卷
数学答案及评分参考 2013. 5
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=1
1223
-⨯
+. ………………………………………………4分 4
3
． ………………………………………………… 5分
14．解：
由①得4x ≥． …………………………………………………………1分
由②得13
2x <
． …………………………………………………………3分
∴ 原不等式组的解集是13
42
x ≤<
． ………………………………… 4分 ∴ 它的整数解为4，5，6． ………………………………………… 5分 15. 证明：（1）如图1.
∵△DAC 和△DBE 都是等边三角形，
∴DA =DC ，DB =DE ， …………1分 ∠ADC =∠BDE =60º .
∴∠ADC +∠CDB =∠BDE +∠CDB ， 即∠ADB =∠CDE . ……………2分 在△DAB 和△DCE 中,
4(1)78253x x x x +≤-⎧⎪
-⎨-<⎪⎩
A
B D
E
图1
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=,,,DE DB CDE ADB DC DA
∴ △DAB ≌△DCE. ………………………………………… 3 分 （2）∵△DAB ≌△DCE ，
∴ ∠A =∠DCE=60° . ……………………………………… 4分 ∵∠ADC=60°， ∴ ∠DCE =∠ADC .
∴DA ∥EC . ………………………………………………… 5分
16. 解：原式=()()
2
()()2y x y x y x y xy x y -+-⋅- ..….….….…. …..…………..……………………2分 =2x y x
+. ………………………………………………………… 3分 ∵
3x
y
=， ∴ 3x y =.
∴ 原式=
32
233
y y y +=⨯. ……………………………………………… 5分 17. 解：（1）∵正比例函数3
2
y x =-
的图象经过点A ，且点A 的横坐标为2-， ∴点A 的纵坐标为3. …………………………………………… 1分 ∵反比例函数k
y x
=
的图象经过点A （2,3-）， ∴32
k =
-. ∴6k =-. ……………………………………………………… 2分
∴6
y x
=-
. ……………………………………………………… 3分 （2）点P 的坐标为9(0,)2
或9(0,)2
-. ……………………………… 5分
18．解：设原计划每天生产空气净化器x 台. ……………………………………1分 依题意得 2400120024001.210x x +=⨯+. …………………………………… 2分
解得40=x . …………………………………………………………… 3分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． ……………………… 4分
答: 原计划每天生产空气净化器40台. ……………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）如图2.
∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点
∴OA = 12
AC ，OB = 1
2
BD . …………… 1分
∵AC ︰BD =2︰3， ∴OA ︰OB =2︰3 .
设OA =2x (x >0)，则OB =3x .
∵AC ⊥AB ，
∴∠BAC =90°.
在Rt △OAB 中，OA 2+AB 2=OB 2. …………………………………… 2分 ∵AB =2， ∴(2x )2+22=(3x )2 . 解得x =±255
(舍负).
∴AC =2OA = 85
5. …………………………………………………… 3分
（2）∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，
∴OB =OD .
∴S △AOD = S △AOB = 12 AO ·AB = 12×455×2= 45
5
. ……………………… 5分
20．（1）证明：连接OD . （如图3） ∵OC =OD ，
∴∠OCD =∠ODC .
E B
图3
∵AB =AC ， ∴∠ACB =∠B . ∴∠ODC =∠B .
∴OD ∥AB . …………………………………………………………… 1分 ∴∠ODF =∠AEF .
∵EF ⊥AB ，
∴∠ODF =∠AEF =90°.
∴OD ⊥EF .
∵OD 为⊙O 的半径，
∴EF 与⊙O 相切. ………………………………………………2分 （2）解：由（1）知：OD ∥AB ，OD ⊥EF .
在Rt △AEF 中，sin ∠CFD = AE AF = 3
5
，AE=6.
∴AF =10. ………………………………………………………………3分 ∵OD ∥AB ， ∴△ODF ∽△AEF . ∴
AE
OD
AF OF =
. 设⊙O 的半径为r ， ∴10-r 10 = r 6
. 解得r = 15
4 . ……………………………………………………………… 4分
∴AB = AC =2r = 15
2
.
∴EB =AB -AE = 152 -6= 3
2 . ………… 5 分
21．解：（1）17%； ……………………………2分 （2）所补数据为21.7； ……………………3分
补全统计图如图4； ………………… 4分 （3）2015． ………………………… 5分
22．解：（1）①如图5；
………………………… 1分 ②点D 的坐标为()70，； ………………… 3分
图4
x
y
C B
A
O 图5
（2）点P 的坐标为
)
0． ……………… 5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．（1）证明：∵22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+， …………………………………1分 而2
0a ≥，
∴2160a +>，即0∆>.
∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2）解：∵当2a
x =
时，0y =， ∴22()(4)022
a a
a a ⨯++⨯+=.
∴2
30a a +=，即(3)0a a +=.
∵0a ≠，
∴3a =-. ………………………………………………………… 3分
∴抛物线1C 的解析式为2
2
1
25232()4
8
y x x x =+-=+-. ∴抛物线1C 的顶点为125(,)48
--
. ∴抛物线2C 的顶点为(0,3)-.
∴抛物线2C 的解析式为2
23y x =-. …………………………4分
（3）解：∵点A （m ，n ）和B （n ，m ）都在抛物线2C 上，
∴223n m =-，且2
23m n =-. ∴2
2
2()n m m n -=-. ∴2()()n m m n m n -=-+. ∴()[2()1]0m n m n -++=.
∵A 、B 两点不重合，即m n ≠， ∴2()10m n ++=. ∴1
2
m n +=-
. ……………………………………………………… 5分 ∵2
23m n =+，2
23n m =+， ∴3
3
222m mn n -+ 2
2
222m m mn n n =⋅-+⋅ n m mn m n ⋅++-⋅+=)3(2)3(
).(3n m += ………………………………………………………………6分
3
2
=-. ………………………………………………………………7分
24．解：（1）cos α
PMN 周长的最小值为 3 ； ………………………2分 （2）分别将△P AB 、△PBC 、△P AC 沿直线AB 、BC 、AC 翻折，点P 的对称点分别是
点D 、E 、F ，连接DE 、DF ，（如图6）
则△P AB ≌△DAB ，△PCB ≌△ECB ，△P AC ≌△F AC . ∴AD =AP =AF ， BD =BP =BE ，CE =CP =CF .
∵由（1）知∠ABC =30°，∠BAC =60°，∠ACB =90°， ∴∠DBE =2∠ABC =60°，∠DAF =2∠BAC =120°， ∠FCE =2∠ACB =180°.
∴△DBE 是等边三角形，点F 、C 、E 共线. ∴DE =BD =BP
EF =CE +CF =2CP =2. ∵△ADF 中，AD =AF
，∠DAF =120°， ∴∠ADF =∠AFD =30°.
∴DF
.
P
B
A
C
D
E F
图6
∴22210EF DF DE +==.
∴∠DFE =90°. ………………………………………………………4分 ∵2ABC DBE DFE DAF BDAFE S S S S S ∆∆∆∆==++多边形，
∴2112222ABC S ∆=
++=.
∴ABC S ∆=
. ……………………………………………5分 （3）∠APB =150°. ………………………………………………………… 7分 说明：作BM ⊥DE 于M ，AN ⊥DF 于N .（如图7） 由（2）知∠DBE =2α，∠DAF =1802α-o . ∵BD =BE=n ，AD =AF=m ， ∴∠DBM =α，∠DAN =90α-o . ∴∠1=90α-o ，∠3=α. ∴DM =sin n α，DN =cos m α. ∴DE =DF =EF . ∴∠2=60°.
∴∠APB =∠BDA =∠1+∠2+∠3=150°.
25．解：（1）∵直线l ：3
4
y x m =+经过点B （0，1-），
∴1m =-.
∴直线l 的解析式为3
14
y x =-.
∵直线l ：3
14y x =-经过点C （4，n ），
∴3
4124n =⨯-=. ………………………………………………1分
∵抛物线21
2y x bx c =++经过点C （4，2）和点B （0，1-），
∴21244,21.
b c c ⎧
=⨯++⎪⎨⎪-=⎩ 32
1
N
M
P A C
D E
B
图7
解得5,41.
b c ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为215
124
y x x =--. …………………………2分 （2）∵直线l ：3
14y x =
-与x 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为（4
3，0）.
∴OA=4
3
.
在Rt △OAB 中，OB=1，
∴AB
5
3
=
∵DE ∥y 轴， ∴∠OBA =∠FED .
∵矩形DFEG 中，∠DFE =90°， ∴∠DFE =∠AOB =90°.
∴△OAB ∽△FDE .
∴OA OB AB
FD FE DE
==
. ∴4
5OA FD DE DE AB =⋅=，
3
5
OB FE DE DE AB =⋅=. …………………………………………4分
∴p =2(FD+ FE )=4314
2()555
DE DE ⨯+=.
∵D （t ，215124t t --），E （t ，3
14t -），且04t <<，
∴223151
(1)(1)24242DE t t t t t =----=-+.
∴22141728
(2)5255p t t t t =⨯-+=-+. …………………………… 5分
∵2728(2)55p t =--+，且7
05
-<，
∴当2t =时，p 有最大值
28
5. …………………………………… 6分 （3）点A 1的横坐标为34或7
12
-. ……………………………………………8分
说明：两种情况参看图9和图10，其中O 1B 1与x 轴平行，O 1A 1与y 轴平行.。