人教全国中考数学反比例函数的综合中考模拟和真题汇总及详细答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．
（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；
（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．
（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．
【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，
∴C（1，1），
∵AC∥y轴，AB∥x轴，
∴A点横坐标为1，
∵A点在函数y= （x＞0）图象上，
∴A（1，4），
∴B点纵坐标为4，
∵点B在y= 的图象上，
∴B点坐标为（，4）；
（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），
∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，
∴S△ABC= AB•AC= × × = ，
即△ABC的面积不发生变化，其面积为；
（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，
∵AB∥x轴，
∴△ABC∽△EFC，
∴ = ，即 = ，
∴EF= a，
由（2）可知BG= a，
∴BG=EF，
∵AE∥y轴，
∴∠BDG=∠FCE，
在△DBG和△CFE中
∴△DBG≌△CEF（AAS），
∴BD=EF．
【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．
2．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点
（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．
【答案】（1）解：∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比
例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，∴3= ，点C与点A关于原点O对称，
∴k=6，C（﹣2，﹣3），
即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；
（2）解：过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，
∵点A（2，3），k=6，
∴AN=2，
∵△APO的面积为2，
∴，
即，得OP=2，
∴点P（0，2），
设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b，
，得，
∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2，
当y=0时，0=0.5x+2，得x=﹣4，
∴点D的坐标为（﹣4，0），
设过点A（2，3），B（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=mx+b，
则，得，
∴过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=1.5x，
∴点D到直线AC的直线得距离为：= ．
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C
在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离．
3．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．
（1）求双曲线的解析式；
（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；
（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．
（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，
所以双曲线的解析式为y= ；
（2）2
（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），
抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，
把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，
即a的值为6± ；
（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，
把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；
把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2
；
∵G1与G2有两个交点，
∴3+ ≤a≤12﹣2 ，
设直线DE的解析式为y=px+q，
把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，
∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，
∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，
∴M（a，﹣ a+5），N（a，），
∵MN＜，
∴﹣ a+5﹣＜，
整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，
∴a＜4或a＞9，
∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．
【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），
而D（3，4），
所以BE= =2 ．
故答案为2 ；
【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的
解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．
4．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为
s，且s=1+ ．
（1）当n=1时，求点A的坐标；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．
【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，
当n=1时，s= ，
∴a= = ．
（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．
∴m=n= ．
∴1+ = •an．
即n4﹣4n2+4=0，
∴k2﹣4k+4=0，
∴k=2．
解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．
∴m=n．
设△OPQ的面积为s1
则：s1= ∴•mn= （1+ ），
即：n4﹣4n2+4=0，
∴k2﹣4k+4=0，
∴k=2．
（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，∴△OPQ∽△OAP．
设：△OPQ的面积为s1，则 =
即： = 化简得：
化简得：
2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0
（k﹣2）（2k﹣n4）=0，
∴k=2或k= （舍去），
∴当n是小于20的整数时，k=2．
∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，
∴n是大于0且小于20的整数．
当n=1时，OP2=5，
当n=2时，OP2=5，
当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，
当n是大于3且小于20的整数时，
即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：
42+ 、52+ 、62+ …192+ ，
∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，
∴OP2的最小值是5．
【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.
5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .
（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；
（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；
（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）解：∵双曲线过点和点，
∴，解得，
∴点的坐标为，点的坐标为，
把
点的坐标代入，解得，
∴双曲线表达式为
（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，
∴当点在双曲线，得到，
当点在双曲线，得到，
∴的取值范围 .
【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．
6．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.
（1）分别判断函数y=x-1，y=x-1,y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；（2）函数y=2x2-bx.
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为________.
【答案】（1）解：函数y=x-1没有不变值；
∵函数有-1和1两个不变值，
∴其不变长度为2；
∵函数有0和1两个不变值，
∴其不变长度为1；
（2）解：① 函数y=2x2-bx的不变长度为0，
方程2x2-bx=x有两个相等的实数根，
∴△=（b+1）2=0，
b=-1，
②∵2x2-bx=x，
∴，
1≤b≤3，
1≤ ≤2，
函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围为1≤q≤2.
（3）1≤m≤3或m<-
【解析】【解答】解（3）依题可得：函数G的图像关于x=m对称，
∴函数G：y=，
当x2-2x=x时，即x（x-3）=0，
∴x3=0，x4=3，
当（2m-x）2-2（2m-x）=x时，
即x2+（1-4m）x+（4m2-4m）=0，
∴△=（1-4m）2-4×（4m2-4m）=1+8m，
当△=1+8m0时，即m-，此方程无解，
∴q=x4-x3=3-0=3；
当△=1+8m 0时，即m -，此方程有解，
∴x5=， x6=，
①当-m0时，
∵x3=0，x4=3，
∴x60，
∴x4-x63（不符合题意，舍去），
②∵当x5=x4时，
∴m=1，
当x6=x3时，
∴m=3，
当0m1时，
x3=0（舍去），x4=3，
此时0x5x4， x60，
∴q=x4-x63（舍去）；
当1m3时，
x3=0（舍去），x4=3，
此时0x5x4， x60，
∴q=x4-x63（舍去）；
当m3时，
x3=0（舍去），x4=3（舍去），
此时x53，x60，
∴q=x5-x63（舍去）；
综上所述：m的取值范围为：1m3或m < -，
【分析】（1）根据题目定义即可得出函数y=x-1没有不变值；再分别求出函数、函数的不变值，从而求出其不变长度.
（2）① 由已知条件得方程2x2-bx=x有两个相等的实数根，即根的判别式△=（b+1）2=0，从而求出 b=-1；
②由题意得2x2-bx=x，求出方程的根，再根据1≤b≤3，即可求出函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围.
（3）依题可得：函数G的图像关于x=m对称，分情况讨论写出函数G的解析式，根据定义和一元二次方程求出值，再分情况讨论即可得出答案.
7．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．
（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）
（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=
，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）平行
（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，
∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）
将x= 带入y=k1x得y= ，
故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），
又∵OA=OB，
∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，
整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，
∵k1≠k2，
所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；
（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，
∴a= = = ，
∴a﹣b= ﹣ = = ，
∵x2＞x1＞0，
∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，
∴＞0，
∴a﹣b＞0，
∴a＞b．
【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
故答案为：平行；
【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= 相交于点A（m，
3），B（﹣6，n），与x轴交于点C．
（1）求直线y=kx+b（k≠0）的解析式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP= S△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．
【答案】（1）解：）∵点A（m，3），B（﹣6，n）在双曲线y= 上，∴m=2，n=﹣1，
∴A（2，3），B（﹣6，﹣1）．
将（2，3），B（﹣6，﹣1）带入y=kx+b，
得：，
解得．
∴直线的解析式为y= x+2
（2）解：
当y= x+2=0时，x=﹣4，
∴点C（﹣4，0）．
设点P的坐标为（x，0），
∵S△ACP= S△BOC， A（2，3），B（﹣6，﹣1），
∴×3|x﹣（﹣4）|= × ×|0﹣（﹣4）|×|﹣1|，即|x+4|=2，
解得：x1=﹣6，x2=﹣2．
∴点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．
【解析】【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出
点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP= S△BOC，即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论．
9．如图，在菱形ABCD中，， ,点E是边BC的中点，连接DE,AE.
（1）求DE的长；
（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若 ,
①求证：△△；
②求DF的长.
【答案】（1）解：连结BD
（2）解：①
②
【解析】【分析】（1）连结BD ，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE⊥BC，CE=2，然后利用勾股定理算出DE的长；
（2）①首先判断出△AGD∽△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出，又∠AGE=∠DGF，故△AGE∽△DGF；
②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH⊥DC于点H，在Rt△ECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案.
10．如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点
（1）求抛物线的解析式及A点坐标；
（2）若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
（3）若△BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围________.
【答案】（1）解：将B（4,0），C（0,4）代入y=x2+bx+c得，
，解得，
所以抛物线的解析式为，
令y=0，得，解得，，
∴A点的坐标为（1,0）
（2）解：设D点横坐标为，则纵坐标为，
①当∠BCD=90°时，如下图所示，连接BC，过C点作CD⊥BC与抛物线交于点D，过D作DE⊥y轴与点E，
由B、C坐标可知，OB=OC=4，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
又∵∠BCD=90°，
∴∠ECD+∠OCB=90°
∴∠ECD=45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DE=CE=a
∴OE=OC+CE=a+4
由D、E纵坐标相等，可得，
解得，，
当时，D点坐标为（0,4），与C重合，不符合题意，舍去.
当时，D点坐标为（6,10）；
②当∠CBD=90°时，如下图所示，连接BC，过B点作BD⊥BC与抛物线交于点D，过B作FG⊥x轴，再过C作CF⊥FG于F，过D作DG⊥FG于G，
∵∠COB=∠OBF=∠BFC=90°，
∴四边形OBFC为矩形，
又∵OC=OB，
∴四边形OBFC为正方形，
∴∠CBF=45°
∵∠CBD=90°，
∴∠CBF+∠DBG=90°，
∴∠DBG=45°，
∴△DBG为等腰直角三角形，
∴DG=BG
∵D点横坐标为a，
∴DG=4-a，
而BG=
∴
解得，，
当时，D点坐标为（4,0），与B重合，不符合题意，舍去.
当时，D点坐标为（2,-2）；
综上所述，D点坐标为(6,10)或(2,-2).
（3）3+ ＜m ＜6或 3- ＜m ＜2
【解析】【解答】解：（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，如下图所示，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D'，
∵BC为圆O'的直径，
∴∠BDC=∠BD'C=90°，
∵，
∴D到O'的距离为圆O'的半径，
∵D点横坐标为m，纵坐标为，O'点坐标为（2,2），
∴
即
化简得：
由图像易得m=0或4为方程的解，则方程左边必有因式，
∴采用因式分解法进行降次解方程
或或，
解得，，，
当时，D点坐标为（0,4），与C点重合，舍去；
当时，D点坐标为（4,0），与B点重合，舍去；
当时，D点横坐标；
当时，D点横坐标为；
结合（2）中△BCD形成直角三角形的情况，
可得△BCD为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为3+ ＜m ＜6或 3- ＜m ＜2.【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再令y=0，求A的坐标；（2）设D点横坐标为a，代入函数解析式可得纵坐标，分别讨论∠BCD=90°和∠CBD=90°的情况，作出图形进行求解；（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D'，此时△BCD和△BCD'就是以BC为斜边的直角三角形，利用两点间距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到m的取值范围.
11．已知如图，二次函数的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B 点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O.
（1）求B点的坐标及二次函数的解析式；
（2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围；
（3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在的图象上，求出旋转中心P的坐标.
【答案】（1）解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，
∴∠ADC=∠AEB=90°
∵二次函数与y轴交于点C，
点C坐标为（0，2）
∵点A坐标（3，3）
∴DA=AE=3
∵∠DAC+∠CAE=90°
∠EAB+∠CAE=90°
∴∠DAC=∠EAB
∴△ACD≌△ABE
∴EB=CD=3-2=1
OB=3+1=4
∴点B的坐标为（4，0）
将A（3，3）B（4，0）代入二次函数中
得：
解得：
二次函数的解析式为：
（2）解：将点Q（m，m+3）代入二次函数解析式得：
m1=1；m2= （舍）
∴m=1
∴点Q坐标为(1,4)
由勾股定理得：BC=2
设圆的圆心为N
∵圆经过点O，且∠COB=90°
∴BC是圆N的直径，
∴圆N的半径为，N的坐标为（2,1）
由勾股定理得，QN=
半径r= ，则≤QM≤
（3）解：当点A的对称点，点O的对称点在抛物线上时，如图
设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3
得：
解得：
∴的坐标为（）
∴旋转中心P的坐标为
当点A的对称点，点C的对称点在抛物线上时，如图
设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3
得：
解得：
∴的坐标为（）
∴旋转中心P的坐标为
综上所述，旋转中心P的坐标为或
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，求证△ACD≌△ABE，进而求得点B坐标，再将A、B两点坐标代入二次函数解析式，即可解答；（2）将点Q （m，m+3）代入二次函数解析式，求得m的值，进而且得点Q坐标，根据圆的性质得到BC是圆N的直径，利用勾股定理即可求得BC，进而求得N的坐标，再利用勾股定理求得QN的长，确定取值范围即可；（3）分两种情况：当点A的对称点，点O的对称点
在抛物线上时，利用旋转180°可知，∥，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，利用列出式子，即可求得m的值，利用旋转中心和线段中点的特点，即可求得旋转中心P的坐标；当点A的对称点，点C的对称点在抛物线上时，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，同理可求得m的值以及旋转中心P 的坐标.
12．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB 边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts，
（1）当t=2时，求△PBQ的面积；
（2）当t= 时，试说明△DPQ是直角三角形；
（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：当t=2时，AP=t=2，BQ=2t=4，
∴BP=AB-AP=4，
∴△PBQ的面积= ×4×4=8；
（2）解：当t= 时，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9，
∴DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25，PQ2=PB2+BQ2=29.25，DQ2=CD2+CQ2=117，
∵PQ2+DQ2=DP2，
∴∠DQP=90°，
∴△DPQ是直角三角形.
（3）解：设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O.
设QB的长度为x，则QC的长度为（12-x），
∵DC∥BO，
∴∠C=∠QBO，∠CDQ=∠O，
∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12-x，
∴，即，
解得：BO= ，
∴AO=AB+BO=6+ ，
∵∠ADP=∠ODP，
∴12：DO=AP：PO，
代入解得x=0.75，
∴DP能平分∠ADQ，
∵点Q的速度为2cm/s，
∴P停止后Q往B走的路程为（6-0.75）=5.25cm.
∴时间为2.625s，加上刚开始的3s，Q点的运动时间为5.625s.
【解析】【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间得出AP=t=2，BQ=2t=4，所以BP=4,进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案；
（2）当t= 时，根据路程等于速度乘以时间得出AP=1.5，BQ=3，故PB=4.5，CQ=9，根据勾股定理表示出DP2,PQ2,DQ2,从而根据勾股定理的逆定理判断出∠DQP=90°，△DPQ是直角三角形；
（3）设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O ，设QB的长度为x，则QC 的长度为（12-x），判断出△CDQ∽△BOQ，根据全等三角形的对应边成比例得出
，根据比例式可以用含x的式子表示出BO的长，根据角平分线的性质定理得出12：DO=AP：PO，根据比例式求出x的值，从而即可解决问题.
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．
【答案】（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；
（2）解：①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令
y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．
【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1
时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令
y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），
（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论．
14．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交
反比例函数图象于点C，连接OB．
（1）求k和b的值；
（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC= S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和得：4=﹣1+b，4= ，解得：b=5，k=4
（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1
（3）解：过A作AN⊥x轴，过B作BM⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，
∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：
由，解得：x=4，或x=1，
∴B（4，1），
∴，
∵，
∴，
过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），
∴S△PAC= OP•CD+ OP•AE= OP（CD+AE）=|t|=3，
解得：t=3，t=﹣3，
∴P（0，3）或P（0，﹣3）．
【解析】【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达
式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（4，
1），于是得到，由已知条
件得到，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
15．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=________°；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.
（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长.
【答案】（1）15
（2）解：如图①中，
在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，
∴∠B+2∠BAD=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
∵△ABE也是“准互余三角形”，
∴只有2∠B+∠BAE=90°，
∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，
∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，
∴CE= ，
∴BE=5﹣ = .
（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.
∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，
∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，
∴A、B、F共线，
∴∠A+∠ACF=90°
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，
∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴CF2=FB•FA，设FB=x，
则有：x（x+7）=122，
∴x=9或﹣16（舍去），
∴AF=7+9=16，
在Rt△ACF中，AC=
【解析】【解答】（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，
∴2∠B+∠A=90°，
解得，∠B=15°；
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；。