示范教案(3解三角形的实际应用举例第2课时).docx

第2课时
导入新课
思路1・（探究导入）在解决实际问题中,经常涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问
题.本节课我们继续探究应用正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题.
思路2.（直接导入）上两节课我们探究了怎样测量到不可到达的点的距离，又解决了怎样测量底部不可到达的建筑物髙度的问题，这些都是距离问题，本节课我们进一步探究综合运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的方法步骤.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆前而是如何测量距离和高度的？
②在测量距离和高度时，是怎样由三角形的一些已知边和角来求其他边的？
③我们将实际问题转化为三角问题是按什么步骤来进行的?关键是什么？
④日常生活中还有一个例子，如航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，同时保持一定的航速和航向前进，还有飞机在天空中飞行时如何确定地面上的目标等,这些对否像前而探究的距离和髙度那样，转化为解三角形模型来解决呢？
活动:通过前面的学习，学生基本上熟悉了解决实际问题的方法步骤•这里仍要求学生冋顾记忆，为了提高学生兴趣，可换个提法•前面解决实际问题的顺序是“实际问题T数学建模T数学模型的解-实际问题的解"，反映在解三角形上，教师可引导学生根据上节内容,用流程图表示出来.如图17,这里关键是找出己知量和未知量，画好平面示意图，确定需要解决的三角形.
图17
三角形模型应用很广泛，像航海确定方向等都离不开角，当然也就离不开解三角形，也就需要用正弦定理、余弦定理等有关的三角形知识来解决它.
讨论结果:①一④略.
应用示例
例1如图一艘海轮从A出发，沿北偏东75。

的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32。

的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?（角度精确到0.1。

,距离精确到0.01 n mile）活动:教师引导学生根据题意画出平面示意图,这是解决本类题目很重要的一方血.教师可就此点拨学生注意:画图、用图、识图是学好数学的一项基本功，能否准确画出示意图直接决定着解题的成败，这项基本功较弱的同学可就此加强自己的补弱训练.我们前面学习时有过这样的经历:有些选择题，其至解答题，只要画出示意图，解答结果很快就出来了，这就是数形结合的强大威力所在，提醒学生关注这一点.
；75：
图18
解:在ZiABC 屮,ZABC=180。

. 75°+ 32°=137°,根据余弦定理,
AB 2 + BC 2 - 2ABx BCxcosZABC
=^67.52 +54.02 -2x67.5x54.0xcosl37°
=113・15・
阮 CAB 」WZABCJ4.0S “7
AC 113.15
=0.325 5,
所以 Z CAB 二 19.0°,75°-Z CAB=56.0°. 答:此船应该沿北偏东56.0。

的方向航行，需要航行113.15 n mile.
点评:本例综合运用了正、余弦定理，体现了正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的重要 作用.解完本例后教师引导学生进行反思领悟，让学生把重点放在数学建模这一共性上和对一 般方法的掌握上.
变式训练
如图19,海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东 30。

,航行30海里到C 处，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45。

,如果此船不改变航向，继续向 南航行，有无触礁的危险？
解:在ZXABC 中,BC=30,B=30°,
ZACB=180°-45°=135°, AA=15°.
30 _ AC
sin 15° ~ sin 30°
...人。

="sin?。

=60cos 15。

= 15 亦 +15 Q. sin 15°
根据正弦泄理, BC sin ZCAB
AC sin ZABC 由正眩泄理知 BC sin A AC sin B
・・・A到BC所在直线的距离为
AC sin45°=(15V6+15^2 )■ —=15(73+1)MO.98>38(海里). 2
・•・不改变航向,继续向南航行，无触礁的危险.
例2图20是曲柄连杆机构的示意图.当曲柄CB绕点C旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB（）位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A（）处.设连杆
AB长为1 mm,曲柄CB长为r mm,l>r.
图20
⑴当曲柄自CB。

按顺时针方向旋转角为。

时，其屮0。

《360。

,求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）；
（2）当1=340 mm,r=85 mm,0=80°时,求A°A 的长（结果精确到1 mm）.
活动：教师引导学生从实际问题中抽象出几何图形，
如图21所示，不难得到，活塞移动的距离为A0A=A0C-AC,易知A0C=AB+BC=l+r,所以，只要求出AC的长即可.在AABC中,已知两边和其屮一边的对角，可以通过正弦定理或余弦定理求出AC的长.
解:⑴设AC=x,若()=0。

,则A()A=0;若0=180。

,则A0A=2r mm;若0°<0<180°,在AABC 中，由余弦定理，得
AB2=AC2+BC2-2AC- BCcosC,
即x2-2(rcos9)x-(l2-r2)=0.
解得x)=rcosO+ ^/(rcos^)2 +/2 - r2 = (rcos2 + 7/2 - r~ sin20 (mm),
x2=rcos9-^(rcosd)2 + /2 - r2 <0(不合题意，舍去).
A()A=AoC・AC
=AB+BC-AC
=(I+r-rcosO-7/2 - r2 sin2 ff (mm).
若180°<0<360°,则根据対称性，将上式中的0改成360°-0即可，有
AoA=(l+r-rcos6-l -r sin 0) mm.
总乙当0°<0<360°时，
A()A=(l+r-rcosO-y I2— r2 sin20 )mm.
⑵当1=340 mm,r=85 mm,0=80°时，利用计算器算得
A ()A=340+85-85cos80°-A /3402 -852sin 280°
答:此时活塞移动的距离约为81 mm.
点评:解完本例后,教师引导学生进行反思总结，点拨学生运用正弦定理求A 0A 的
长，并让学生比较两种方法的特点，体会正弦定理、余弦定理解题的异同.有的学生可能直接运 用正弦定理解决本例或用两种方法给出本例的解答,对此教师要给予鼓励，提倡学生进行一题 多解的训练.
例3如图22所示©是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点, 另两个监测点B,C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处.某时刻,监测点B 收到发自静止目 标P 的一个声波,8 s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一信号.在当时气象条件下，声波 在水中的传播速度是1.5 km/s.
⑴设A 到P 的距离为x km,用x 表示B,C 到P 的距离，并求x 的值；
⑵求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(结果精确到0.01 km).
活动:(1)PA,PB,PC 长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起來；
⑵作PD 丄a,垂足为D,要求PD 的长，只需要求出PA 的长和cosZAPD,即cosZPAB 的值.由 题意,PA-PB,PC-PB 都是定值，因此，只需要分别在APAB 和APAC 屮，求出 cosZPAB,cosZPAC 的表达式，建立方程即可.
解:(1)依题意,PA-PB=1.5x8=12(km), PC-PB=1.5x20=30(km).因此
PB=(x-12) km,PC=(18+x) km.
在Z\PAB 中，AB=20 km,
_
X 2 +202 -(X -12)2 2x>20
3x + 32
一- •
72 ■兀 同理，cosZPAC= ・ 3%
由于 cos Z PAB=cos Z PAC, wn 3x + 32 72-x
5x 3x
132
解得 x= ----- (km).
7
(2)作PD 丄a,垂足为D.在RtAPDA 中, PD=PAcos Z APD=PAcos Z PAB cosZPAB= 曲+血■ P F
~~2PA.AB
A B C
图22
7 丄“ 3x — + 32 3x4-32 7
,
=x ------------ = --------- -------- =17.71 (km). 5% 5 答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71 km.
点评：本例是本章教材中课本上安排的最后一个例题，综合性较强•解完本题后教师应 引导学生总结应用正弦定理、余弦定理解三角形的方法步骤.反思本例的解题方法，从方程思 想出发，确定需要研究的三角形(一个或多个)，运用余弦定理列出方程，这是解决本例问题的关 键.
变式训练
如图23,港口 A 北偏东30。

方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为31 n mile,该轮船从B 处沿正西方向航行20 n mile 后到D 处，测得CD 为21 n mile,问此时 轮船离港口 A 还有多远？
解:由条件知上A=60。

,设Z ACD=a, ZCDB 邙. 在ABCD 中，由余弦定理，得
・•・ sina=sin(p-600)=sinpcos600-cospsin60°=
. CD • sin a ..AD= ----------------- =15 n mile. sin A
答:此时轮船离港口还有15 n mile.
知能训练 课本本节练习1、2.
课堂小结
先让学生回顾本节所探究的有关角度的知识过程，回顾在本节实际问题的探究中,是如何 将实际问题转化为数学问题的，又是怎样灵活地选用正弦定理、余弦定理建立数学模型的. 通过本节例题的探究，我们感受到数学模型对以有效地描述口然现彖和社会现彖;数学是人类 的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分.
作业
1.课本本节习题2—3 B 组1、
2.
2 .阅读本章小结建议.
设计感想
本教案是根据课程标准，学生的认知特点,内容的安排而设计的，由于本节课的前面已经 有了一节课的举例探究经验，因此设计的活动主要都是通过学生自己完成.学生对图形难以把
握，特別从空4V3
在AABC 中由正弦定理，得 CD sin A _ AD sin a
间的视角去审视的时候有些I木【难.因此教师应充分利用多媒体课件演示,让学牛从动态中发现实物背景下的数学图形及有关的角度问题，引导学生自己画出平面示意图——这是解决本例的关键所在,教师不要怕在此浪费时间.
本教案的设计意图还在于，通过本节课的展示，让学生体会到数学离不开生活，生活离不开数学，数学知识来源于生活而最终服务于生活;数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，而是让学生体会到数学的实用价值.。