九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.4 一元二次方程根的判别式

22.2.4 一元二次方程根的判别式
知识点 1 不解方程，判断一元二次方程的根的情况
1， 因为关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋2＝0中，a ＝________，b ＝________，c ＝
________，故Δ＝____________＝________，所以方程的根的情况是______________．
2．［2017·宜宾］一元二次方程4x 2－2x ＋14
＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法判断
3．不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
(1)16x 2＋8x ＝－3; (2)9x 2＋6x ＋1＝0；
(3)3(x 2－1)－5x ＝0; (4)x (2x ＋3)＝4x ＋6.
知识点 2 根据方程根的情况确定未知字母的值或取值范围
4．［2017·安顺］若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可以
是( )
A ．0
B ．－1
C ．2
D ．－3
5．如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，那么c 的取值范围
是________．
知识点 3 证明含有字母的一元二次方程根的情况
6．［2016·临夏州］已知关于x 的方程x 2＋mx ＋m －2＝0.
(1)若此方程的一个根为1，求m 的值；
(2)求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
7．［2017·包头］若关于x 的不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程
x2＋ax＋1＝0根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
8．［2016·枣庄］若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )
图22－2－3
9．［教材练习第2题变式］［2017·大庆模拟］关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，给出下列说法：①若a＋c＝0，则方程必有两个实数根；②若a＋b＋c＝0，则方程必有两个实数根；③若b＝2a＋3c，则方程有两个不相等的实数根；④若b2－5ac<0，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
10．已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(b－c)x2＋2(a－b)x＋b－a ＝0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
1．1 1 2 12－4×1×2 －7 没有实数根
2．B
3．解：(1)将一元二次方程化为一般形式，得16x 2＋8x ＋3＝0.
∵a ＝16，b ＝8，c ＝3，
∴b 2－4ac ＝64－4×16×3＝－128<0，
∴此方程没有实数根．
(2)∵a ＝9，b ＝6，c ＝1，
∴b 2－4ac ＝36－36＝0，
∴此方程有两个相等的实数根．
(3)将一元二次方程化为一般形式，得
3x 2－5x －3＝0.
∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－3，
∴b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61>0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
(4)将一元二次方程化为一般形式，得2x 2－x －6＝0.
∵a ＝2，b ＝－1，c ＝－6，
∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×2×(－6)＝49＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
4．D
5．c ＞9 6．解：(1)根据题意，将x ＝1代入方程x 2＋mx ＋m －2＝0，得1＋m ＋m －2＝0，
解得m ＝12
. (2)证明：∵Δ＝m 2－4×1×(m －2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4＞0，
∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
7．C 8． B
9．A
10．这个三角形是等腰三角形．理由：
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴b －c ≠0，[2(a －b )]2－4(b －c )(b －a )＝0，
∴a 2－2ab ＋b 2－(b 2－bc －ab ＋ac )＝0，
∴a 2－ab ＋bc －ac ＝0，
从而a (a －b )－c (a －b )＝0，
∴(a －b )(a －c )＝0，
∴a －b ＝0或a －c ＝0，
∴a ＝b 或a ＝c ，
∴这个三角形是等腰三角形．。