2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第5讲三角函数的图象与性质练习(含解析)

第5讲 三角函数的图象与性质
[基础达标]
1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π
3对称的函数是( )
A ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6
C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3
D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选B.由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π
3
对称知，
该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选
项A 不正确．对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以D 不正确，对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π
2
＝1，所以选项B 正确，故选B.
2．(2019·合肥市第一次教学质量检测)函数y ＝sin(ωx ＋π
6)在x ＝2处取得最大值，
则正数ω的最小值为( )
A ．π2
B ．π
3
C ．π4
D ．π6
解析：选D.由题意得，2ω＋
π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6
＋k π(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝0时，ωmin ＝π
6
，故选D.
3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数：y ＝sin|x |，y ＝cos|x |，y ＝|tan
x |，y ＝－ln|sin x |，以π为周期，在⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2
上单调递减且为偶函数的是( )
A ．y ＝sin|x |
B ．y ＝cos|x |
C ．y ＝|tan x |
D ．y ＝－ln|sin x |
解析：选D.A.y ＝sin|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故A 错误；B.y ＝cos|x |＝cos x 周期
为T ＝2π，故B 错误；C.y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故C 错误；D.f (x ＋π)＝－
ln|sin(x ＋π)|＝－ln|sin x |，周期为π，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－ln(sin x )是在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减的偶函数，故D 正确，故选D.
4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π
3)，则下列结论错误的是( )
A ．f (x )的一个周期为－2π
B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π
3对称
C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
D ．f (x )在(π
2
，π)单调递减
解析：选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋
π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以
C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫23π，π上单调递增，故D 不
正确．所以选D.
5．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围
是( )
A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，23
B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23
C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，23 D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，23 解析：选B.易知函数y ＝sin x 的单调区间为 [k π＋π2，k π＋3π
2
]，k ∈Z ，
由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π
2
，k ∈Z ，得
k π＋
π
3
ω
≤x ≤
k π＋
4π3
ω
，k ∈Z ，
因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值， 所以f (x )在区间(π，2π)内单调，
所以(π，2π)⊆⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤k π＋π3ω，
k π＋4π3ω，k ∈Z ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧k π＋
π3
ω≤π，
k π＋
4π
3ω≥2π，
k ∈Z ，解得k ＋13≤ω≤k 2＋2
3，k ∈Z ，
由k ＋13≤k 2＋23，得k ≤2
3，
当k ＝0时，得13≤ω≤23；
当k ＝－1时，得－23≤ω≤1
6.
又ω>0，所以0<ω≤1
6
.
综上，得ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，23.故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( )
A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3
，2π3
D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6
，5π6
解析：选A.由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋
3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π
12(k ∈Z )，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π12，7π12，故选A.
7．函数y ＝lg sin x ＋
cos x －1
2
的定义域为________．
解析：要使函数有意义，则有⎩
⎪⎨⎪
⎧sin x >0，
cos x －1
2≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3
＋2k π≤x ≤π
3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π
3
＋2k π，k ∈Z .
所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π
3＋2k π，k ∈Z .
答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π
3＋2k π，k ∈Z
8．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________． 解析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，
令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，且sin x cos x ＝t 2－1
2
，所以y ＝16－12t
＋9×
t 2－12＝1
2
(9t 2
－24t ＋23)．
故当t ＝43时，y min ＝72.
答案：7
2
9．(2019·温州市高中模考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－1，32，则b －a 的最大值和最小值之差等于________．
解析：如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1，32且b －a 最大；当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1，
32，且b －a 最小，所以最大值与最小值之差为(b －a 1)－(b －a 2)＝a 2－a 1＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝5π
6
.
答案：5π6
10．(2019·杭州学军中学质检)已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数
x ∈⎝
⎛⎦
⎥⎤
0，π4
，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．
解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，所以⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤－π3，π6，
所以2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3∈(－3，1]，
所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3.
答案：[3，＋∞)
11．(2019·杭州市名校协作体高三下学期考试)已知0≤φ＜π，函数f (x )＝3
2
cos(2x ＋φ)＋sin 2
x .
(1)若φ＝π
6，求f (x )的单调递增区间；
(2)若f (x )的最大值是3
2，求φ的值．
解：(1)由题意f (x )＝14cos 2x －34sin 2x ＋1
2
＝12cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3＋12，
由2k π－π≤2x ＋π3≤2k π，得k π－2π3≤x ≤k π－π
6.
所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈Z .
(2)由题意f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
cos φ－12cos 2x －32sin φsin 2x ＋12，由于函数f (x )的最大
值为3
2
，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin φ2
＝1，从而cos φ＝0，
又0≤φ＜π，故φ＝π
2
.
12．(2019·台州市高三期末评估)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，且x ＝π
12
为f (x )图象的一条对称轴．
(1)求ω和φ的值；
(2)设函数g (x )＝f (x )＋f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6，求g (x )的单调递减区间．
解：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，
由T ＝2π
ω＝π，所以ω＝2，
由2x ＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z ，
所以f (x )的图象的对称轴为x ＝
k π
2＋π4－φ
2
，k ∈Z . 由π12＝k π2＋π4－φ2，得φ＝k π＋π
3. 又|φ|≤π2，则φ＝π3
.
(2)函数g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋sin 2x
＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
所以g (x )的单调递减区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . [能力提升]
1．(2019·湖州市高三期末考试)若α，β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，
则必有( )
A ．α2
＜β2
B ．α2＞β2
C ．α＜β
D ．α＞β
解析：选B.α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，即αsin α＞βsin β，再根据y ＝x sin x 为偶函数，且在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2
，故
选B.
2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围
为( )
A ．[－2，＋∞)
B ．(－2，＋∞)
C ．(－∞，－4)
D ．(－∞，－4]
解析：选D.f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2
－at
＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D. 3．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则ω的值为
________；当ω最小时，函数g (x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3－22在区间[0，22]的零点个数为________．
解析：由题意得φ＝π3，且当x ＝π6时，函数f (x )取到最大值，故π6ω＋π3＝π
2
＋2k π，
k ∈Z ，解得ω＝1＋12k ，k ∈N ，又因为ω＞0，所以ω的最小值为1，因此，g (x )＝f ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
x －π3
－
22＝sin x －2
2的零点个数是8个． 答案：1＋12k (k ∈N ) 8
4．(2019·金华市东阳二中高三调研)设函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋
1(ω>0)，直线y ＝3与函数f (x )图象相邻两交点的距离为π.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点⎝ ⎛⎭
⎪⎫B
2，0是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心，且b ＝3，求△ABC 面积的最大值．
解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ω
2x ＋1
＝sin ωx cos π6－cos ωx sin π6－2·1＋cos ωx
2＋1
＝
32sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π3.
因为f (x )的最大值为3，所以f (x )的最小正周期为π， 所以ω＝2.
(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，
因为3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π3＝0⇒B ＝π3，
因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－92ac ＝1
2
，
所以ac ＝a 2
＋c 2
－9≥2ac －9，ac ≤9， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤93
4.
故△ABC 面积的最大值为93
4
.
5．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；
(2)设g (x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．
解：(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，
所以－2a sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．
所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，
g (x )＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x ＋π2＝－4sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫
2x ＋7π6－1
＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，
又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， 所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，
所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π
6
，k ∈Z ，
其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π
6，k
∈Z ，
所以g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .
又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π
6
，k ∈Z 时，
g (x )单调递减，即k π＋π
6<x <k π＋π3
，k ∈Z .
所以g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。