2019届苏教版(理科数学) 数学归纳法与证明 单元测试

1．已知数列{}n a 满足1230
12323222n n n n n
C C C a C +++=++++…*2
n n n
n C n N ++∈，．
（1）求1a ， 2a ， 3a 的值；
（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明． 【答案】(1) 122,4,a a == 38,a = (2)见解析
【解析】试题分析：（１）利用等式，求出1a ， 2a ， 3a 的值；（２）归纳猜想，利用数学归纳法加以证明. 试题解析：
（1）1=2a ， 2=4a ， 3=8a ． （2）猜想： =2n n a ．
证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； ②假设n k =时结论成立，
则有1
230
1
232322222
k k k k k k k k k
k C C C C a C ++++=++++⋯+=．
则1n k =+时， 123+10
1112+13+1+1
11
23+1
2222
k k k k k k k k k C C C C a C
++++++++=++++⋯+． 由111k k k
n n
n C C C +++=+得 1021320
112233123222k k k k k k k k
C C C C C C a C ++++++++++=++++⋯ -1+1+++1+1
+1
22
k k k k k k k k k k k C C C ++++ 0121+1
123+1+1
23+1
222222k k k
k k k k k k k k k C C C C C -+++++=++++⋯++， 121+1
023+1+1
111211222222k k k
k k k k k k k k k k
C C C C a C -++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭
121+1
0231-1+1+11121+1222222k k k k
k k k k k k k k
k k k
C C C C C C -+++++++-⎛⎫
=++++⋯++ ⎪⎝⎭
． 又()()()()()()()()()()+1
+1+1+111
21!2221!21!112=!1!1!1!1!1!2
k k k k k k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++===+++++
121+1
0231-1+1+11
11211
12222222k k k k
k k k k k k k k k k k k C C C C C C -++++++++-+⎛⎫=++++⋯+++ ⎪⎝⎭， 于是111
22
k
k k a a ++=+
． 所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立． 由①②得， =2n n a *
n N ∈，．
2．已知函数，记
，当
．
（1）求证：在
上为增函数； （2）对于任意
，判断
在
上的单调性，并证明． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）证明：因为，所以
，
进而得到函数
在
上为增函数．
（2）利用数学归纳法，即可证得对于任意，
在
上均为增函数．
【详解】 （1）证明：因为，所以，
因为所以
，
，
所以，所以
，
所以
在
上为增函数．
（2）结论：对于任意
，
在
上均为增函数．
证明：①当n =1时，结论显然成立； ②假设当n =k 时结论也成立，即在
上为增函数，
所以当
时，
在
上恒成立．
当n =k +1时，
，
所以 又当时，
，
，
所以在
上恒成立，
所以在
上恒成立，
所以
在
上为增函数．
由①②得证，对于任意，
在
上均为增函数．
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，以及数学归纳的证明问题，其中认真审题，掌握函数的导函数与原函数的关系，以及数学归纳法的步骤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 3．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，
cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+=
1sin 12122sin 2n x
x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin
2sin
3sin 4sin 6666π
πππ++++ 20182018sin
6
π
⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）见解析（2
2015
2
-
【解析】试题分析：（1）根据数学归纳法格式逐一证明，主要用到两角差正弦公式给以论证（2）先对等式两边分别求导，再取自变量为
6
π，即得所求的值
试题解析：（1）①当1n =时，等式右边1sin 112122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=
- 11sin 1sin 12212sin 2x x x ⎛⎫⎛⎫
+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
1111sin cos cos sin sin cos cos sin 222212sin 2
x x x x x x x x x
⎛
⎫⎛⎫+-- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
=
cos x = =等式左边，等式成立.
②假设当n k =时等式成立，
即cos cos2cos3cos x x x kx +++⋅⋅⋅+ 1sin 12122sin 2
k x
x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭=
-. 那么，当1n k =+时，有
()cos cos2cos3cos cos 1x x x kx k x +++⋅⋅⋅+++ ()1sin 12cos 1122sin 2
k x
k x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭=-++
()()11sin 12sin cos 1122122sin 2
k x x x k x
x ⎡
⎤+-++⎢⎥⎣⎦=-
()()()111
sin 1cos cos 1sin 2sin cos 11222122sin 2
k x x k x x x k x
x +-+++=-
()()11
sin 1cos cos 1sin 122122sin 2k x x k x x
x +++=
- 1sin 112122sin 2
k x
x ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭=-
这就是说，当1n k =+时等式也成立. 根据①和②可知，对任何*
n N ∈等式都成立.
（2）由（2）可知， cos cos2cos3cos2018x x x x +++⋅⋅⋅+=
1sin 201812122sin 2
x
x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭-， 两边同时求导，得sin 2sin23sin32018sin2018x x x x ----⋅⋅⋅-
21111112018cos 2018sin sin 2018cos 22222212sin 2
x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭=
所以232018sin
2sin
3sin 2018sin
6
666
ππππ
----⋅⋅⋅- 211112018cos 2018sin sin 2018cos 22612226122sin
12πππππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=
20152=
所以2342018sin
2sin
3sin 4sin 2018sin
66666π
ππππ++++⋅⋅⋅+
2015
2
=-. 4．已知函数()()00,0cx d
f x a ac bd ax b
+=≠-≠+，设()n f x 为()1n f x -的导数， *n N ∈.
（1）求()()12,f x f x ；
（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论. 【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】【试题分析】（１）借助题设条件运用导数知识分别求解；（２）依据题设条件及（１）的结论先猜想结论，再运用数学归纳法分析推证：
解：（1）()()()()()()()()'
''10212232',a bc ad cx d bc ad cb ad f x f x f x f x ax b ax b ax b ax b ⎡⎤--+-+⎡⎤======⎢⎥⎢⎥
+⎣⎦+++⎢⎥⎣⎦
. （2）猜想()
()()()
1
1*1
1!
,n n n n a bc ad n f x n N ax b --+-⋅⋅-⋅=
∈+.证明：① 当1n =时，由(1)知结论正确；
②假设当*
,n k k N =∈时，结论正确，即有()
()()()
1
11
1!
k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=
+.当1n k =+时，
()()()()()'
1
1'
11
1!k k k k k a bc ad k f x f x ax b --++⎡⎤-⋅⋅-⋅==⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
()
()()()'
1
11
1!k k k a
bc ad k ax b --+-⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦
()()()()
2
11!
k
k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=
+，所以当1n k =+时结论成立，由①②得，对一切*
n N ∈结论正确.
点睛：数学归纳法是中学数学中重要的证明与自然数有关命题的数学思想方法，运用该方法时，一定要验证初始条件的成立与否，这是推证的基础；其中从,1n k n k ==+到的台阶更是尤为重要。

本题的第一问，借助题设条件运用导数知识直接求解；第二问归纳法推证时，借助（１）猜想的结论，进而运用数学归纳法分析推证而获
证。

5．已知()()()()()()01
111n
k
n
n
n
n k
m
n n n n n f x C x C x C x k C x n =--+
+--+
+--，其中R x ∈， *N n ∈，
N k ∈， k n ≤.
（1）试求()1f x ， ()2f x ， ()3f x 的值；
（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论.
【答案】（1）()11f x =， ()()2326f x f x ==，（2）()!n f x n =
【解析】试题分析：（1）根据对应以及组合数公式展开化简得()1f x ， ()2f x ， ()3f x 的值；（2）从阶乘角度
猜想()n f x 关于n 的表达式，证明时注意利用性质11k k n n kC nC --=及11k k k
n n n C C C -++=进行转化：
配凑成归纳假设的条件.
试题解析：解：（1）()()0
1
1111f x C x C x =--= 11x x -+=；
()()2
0212221f x C x C x =-- ()2
222C x +-
()22221x x x --+ ()
2442x x +-+=；
()()3
0313331f x C x C x =-- ()()3
3
233323C x C x +---
()3331x x =-- ()()33
3236x x +---=.
（2）猜想： ()!n f x n =. 而()!!!k
n n kC k
k n k =- ()()!1!!n k n k =--， ()()()1
11!1!!k n n nC n k n k ---=-- ()(
)!1!!n k n k =--，
所以1
1k k n n kC nC --=.
用数学归纳法证明结论成立.
①当1n =时， ()11f x =，所以结论成立.
②假设当n k =时， ()()011k
k k k k f x C x C x =-- ()1k k k C ++- ()!k
x k k -=.
当1n k =+时， ()()10111111k k k k k f x C x C x +++++=-- ()
1
1
11k k k C ++++
+- ()
1
1k x k +--
()
()0111111k
k k k C x C x x +++=--- ()()
()11k
k
k k C x k x k +++---+ ()()
1
1
1
111k k k k C x k ++++---
()01
11[1k
k k k x C x C x ++=--+
()()11]k
k
k k C x k ++--
()()1211[122k k
k k C x C x +++--- ()
()1
11]k k k k kC x k +++-- ()
()
1
1
1
111k k k k C x k +++++---
()
10[o k k k k x C x C C =-+ ()()11k
k
x -++- ()()1]k
k k k k C C x k -+-
()()1[1k
k x ++-- ()()
1
1121k
k k k k C x C +--++- ()()
1
11]1k
k k k x k C +++-+- ()
()11k
x k x k ----
()01[1k
k k k x C x C x =--+
()()1]k
k
k k C x k +-- ()0
[1k
k x C x --++ ()()1
11]k k
k k C x k ----
()()1[1k
k x ++-- ()1
2k
k C x -+ ()()11]k k
k k C x k ---
()
()1
11k k
k k x C x k ++---- ()()
()
1
111k k
k x k ++---
()01[1k
k k k x C x C x =--+ ()()1]k
k
k k C x k +--
()0[1k
k x C x --+
+ ()()1
11k k k k C x k ---- ()()11]k k
k k C x k +---（ ）
()()1[1k
k x ++-- ()()
1
121k
k k C x --+- ()1k k k C x k -- ()
()
11]k
k
x k +---
由归纳假设知（ ）式等于!!x k x k ⋅-⋅+ ()1!k k +⋅ ()1!k =+. 所以当1n k =+时，结论也成立. 综合①②，()!n f x n =成立.
6．设
，为正整数，数列的通项公式，其前项和为.
（1）求证：当为偶数时，；当为奇数时，
； （2）求证：对任何正整数，
.
【答案】（1）当n 为偶数时，
；当n 为奇数时，
;（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）当为偶数时，易得，当为奇数，即
时，分为
和
两
种情形分别讨论；（2）利用数学归纳法证明. 试题解析：（1）因为.
当n 为偶数时，设
，
，.当n 为奇数时，设，
.
当
时，
，
此时 ，. 当时，
，
此时
，
.
综上，当n 为偶数时，；当n 为奇数时，
.
（2）当
时，由（1）得：
，
=
.
故时，命题成立 假设时命题成立，即.
当
时，由（1）得：
=
=
=
=
即当
时命题成立.
综上所述，对正整数命题成立.
点睛：本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；解决该题最关键是理解三角函数诱导公式中的“奇变偶不变，符号看象限”以及数学归纳法在解决关于自然数的等式中应用的基本步骤. 7．数列{}n a 满足11a =且()1211
112n n
n
a a n n n +⎛⎫=+
+≥ ⎪+⎝⎭. （1）用数学归纳法证明： ()22n a n ≥≥；
（2）已知不等式()ln 1x x +<对0x >成立，证明： ()3
4
21n a e n <≥（其中无理数
）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】试题分析：（1）注意数学归纳法证明命题的步骤；（2）借助题设和（1）中证明过的结论,再运用两边取对数进行转化,最后再借助不等式的缩和放即可获证. 试题解析：（1）①当2n =时， 22a =，不等式成立.
②假设当()2n k k =≥时不等式成立，即()22k a k ≥≥，那么()1111212
k k k a a k k +⎛⎫=+
+> ⎪
⎪+⎝⎭.这就是说，当1n k =+时不等式成立.根据①，②可知： 2n a ≥对所有2n ≥成立.
（2）当2n ≥时，由递推公式及（1）的结论有
()1221111111222n n n n n a a a n n n n n ++⎛
⎫⎛⎫=++≤++≥ ⎪ ⎪++⎝⎭
⎝⎭，两边取对数并利用已知不等式()ln 1x x +<得12+12+11111ln ln 1ln ln 22n n n n n a a a n n n n +⎛
⎫≤+++<++ ⎪++⎝⎭
，故()12
+111ln ln 22n n n a a n n n +-<+≥+，求和可得()1234111111
ln ln 2334122
2n n
a a n n +-<
++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⨯⨯-
2321
111111111111321233412222412n n n n n --
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅=-+-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-.由（1）知， 22a =，故有
()31413ln ,2224
n n n a a e n ++<<≥，而121,2a a ==均小于3
42e ，故对任意正整数n ，有342n a e <.
考点：（1）数学归纳法；（2）列项相消法；（3）对数函数的性质；（4）等比数列的求和；（5）不等式的缩放及有关性质．
8．记.
（1）求的值； （2）当时，试猜想所有
的最大公约数，并证明. 【答案】（1）（2）.
【解析】
试题分析：（1）先
化简
，再代入求值：
（2）猜想所有的最大公约数为.即证能被整除，因为当
时，，根据组合数性质化简得
，以下就可得证试题解析：解：（1）因为，
所以.
（2）由（1）中结论可猜想所有的最大公约数为.
下面用数学归纳法证明所有的都能被整除即可.
（ⅰ）当时，能被整除，结论成立；
（ⅱ）假设时，结论成立，即能被整除，
则当时，
，此式也能被整除，即时结论也成立.
综上所述，所有的最大公约数为.
考点：组合数性质，数学归纳法
9．设个正数满足且.
（1）当时，证明：；
（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到且个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）由于与积为，所以利用基本不等式进行证明：，
，，三式相加得，即
（2）本题结构对称，易于归纳出
，用数学归纳法证明时的难点在于明确时
式子与式子关系：其差为，问题转化为证明
，这可利用作差，因式分解得证.
试题解析：（1）证明：因为（且）均为正实数，
左—右=
=0，
所以，原不等式成立．4分
（2）归纳的不等式为：
（且）．5分
记，
当（）时，由（1）知，不等式成立；
假设当（且）时，不等式成立，即
．
则当时，
=
7分
=
=
，
因为，，，
所以，
所以当
，不等式成立． 9分
综上所述，不等式（且）成立． 10分
考点：数学归纳法
10．已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于任意n ∈N
，都有11111122111
n n n n
a a a a n n ++++
<<+-+ 成立，且24a =． （1）求1a ，3a 的值；
（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明． 【答案】（1）11
a =，
39
a =（2）
2
n a n =
【解析】
试题分析：（1）先列出
1
a 所满足条件
21211111222a a a a ⎛⎫+
<+<+ ⎪⎝⎭，化简得1283
7a <<，再根据数列{}n a 的各项均为正整数这一限制条件求出
11
a =，同理可得
39
a =（2）猜想：
2
n a n =，用数学归纳法证明的关键由k 成
立推出k+1成立，其推导思路同（1）：由条件得
()22
111111
212k k k k a k a k ++⎛⎫+
<++<+ ⎪⎝
⎭，所以
()
()23121111k k k k k k a k k k ++-+<<
-+-，所以
()
()2
2
1
2111111k k k a k k k k +++-
<<++-+-因为3k ≥，
21011k k k +<
<-+，1011k <<-，所以()211k a k +=+
试题解析：（1）因为1111
11
22111n n n n
a a a a n n ++++<<+-+ ，2
4a = 当1n =时，由
21211111222a a a a ⎛⎫+
<+<+ ⎪⎝⎭，即有
111221
2244a a +<+<+， 解得128
3
7a <<
．因为1a 为正整数，故11a =． 2分 当2n =时，由331111
26244a a ⎛⎫+
<+<+ ⎪⎝⎭，
解得
3810a <<，所以39a =． 4分
（2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2
n a n = 5分
下面用数学归纳法证明．
1º当1n =，2，3时，由（1）知2
n a n =均成立． 6分
2º假设
()3n k k =≥成立，则2k a k =，
由条件得
()22
111111
212k k k k a k a k ++⎛⎫+
<++<+ ⎪⎝
⎭，
所以()
()2312
1111k k k k k k a k k k ++-+<<-+-， 8分
所以
()()2
2
1
2111111k k k a k k k k +++-
<<++-+- 9分 因为3k ≥，
21011k k k +<
<-+，1
01
1k <<-，
又1k a *
+∈N ，所以()2
11k a k +=+． 即1n k =+时，2n a n =也成立．
由1º，2º知，对任意n *∈N ，2n a n =． 10分
考点：数学归纳法
11．在数列E 中，已知F
，-，2n n a b =(2
n n
a b =
，142242221221n n
n n n n n n n n
a b b b a b a b b b +=-=-=-=
++++)． （1）当1111
2n n b b +=+，13a =时，分别求123b =的值，判断1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是否为定值，并给出证明；
（2）求出所有的正整数
32，使得1
2
为完全平方数． 【答案】（1）211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)．（2）当3n =时，满足条件. 【解析】
试题分析：（1）第一步是归纳，分别进行计算. 由已知得370a =，4180a =．所以2n =时，2
11500n n n a a a -+-=-；当3n =时，211500n n n a a a -+-=-．第二步猜想，211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)．第三步证明，本题可用数学归
纳法证，也可证等式221112n n n n n n a a a a a a -+++-=-恒成立，（2）探求整数解问题，一般要构造一个可说明的整式. 设2151()n n a a t t *++=∈N ，则221()501n n t a a +-+=，又1n n a a ++∈N ，且501=1⨯501=3⨯167，故
11+1,+501,n n n n a a t a a t ++-=-⎧⎨+=⎩ 或11+3,+167,
n n n n a a t a a t ++-=-⎧⎨+=⎩所以1251,250,n n t a a +=⎧⎨+=⎩ 或185,
82,n n t a a +=⎧⎨
+=⎩ 由1250n n a a ++=解得3n =；由182n n a a ++=得n 无整数解．所以当3n =时，满足条件． 试题解析：（1）由已知得370a =，4180a =．
所以2n =时，211500n n n a a a -+-=-；当3n =时，2
11500n n n a a a -+-=-． 2分
猜想：211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)． 3分 下面用数学归纳法证明： ①当2n =时，结论成立．
②假设当*
(2,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即211500k k k a a a -+-=-，
将113k k k a a a -+=-代入上式，可得22113500k k k k a a a a ++-+=-． 则当1n k =+时，
221211(3)k k k k k k k a a a a a a a ++++-=--=22113500k k k k a a a a ++-+=-．
故当1n k =+结论成立，
根据①,②可得，211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)成立． 5分 （2）将113n n n a a a -+=-代入211500n n n a a a -+-=-，得22113500n n n n a a a a ++-+=-， 则2115()500n n n n a a a a ++=++，21151()501n n n n a a a a +++=++， 设2151()n n a a t t *++=∈N ，则221()501n n t a a +-+=，
即[]11()()501n n n n t a a t a a ++-+++=， 7分 又1n n a a ++∈N ，且501=1⨯501=3⨯167，
故11+1,+501,n n n n a a t a a t ++-=-⎧⎨+=⎩ 或11+3,+167,n n n n
a a t a a t ++-=-⎧⎨+=⎩
所以1251,250,n n t a a +=⎧⎨
+=⎩ 或185,
82,n n
t a a +=⎧⎨+=⎩
由1250n n a a ++=解得3n =；由182n n a a ++=得n 无整数解．
所以当3n =时，满足条件． 10分 考点：数学归纳法
12．已知多项式5431
111
()52330
f n n n n n =+
+-.（Ⅰ）求(1)f -及(2)f 的值；（Ⅱ）试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）先用数学归纳法证明：对一切正整数n ，()f n 是整数. ①当n=1时，(1)1f =,结论成立.
②假设当n=k （k ≥1，k ∈N ）时，结论成立，即5431
111
()52330
f k k k k k =+
+-是整数，则当n=k+1时，5431111
(1)(1)(1)(1)(1)52330f k k k k k +=+++++-+
051423324504132214
55555544444
52
C k C k C k C k C k C C k C k C k C k C +++++++++=+
031223
33331(1)330
C k C k C k C k ++++-+=432()4641f k k k k k +++++
根据假设()f k 是整数，而4324641k k k k ++++显然是整数. ∴(1)f k +是整数，从而当当n=k+1时，结论也成立.
由①、②可知对对一切正整数n ，()f n 是整数. ……………………………………………7分 （Ⅱ）当n=0时，(0)0f =是整数.……………………………………………………8分 (Ⅲ)当n 为负整数时，令n= -m ，则m 是正整数，由（1）()f m 是整数， 所以5431111
()()()()()()52330
f n f m m m m m =-=-+-+--
- 5431111
52330
m m m m =-+-+=4()f m m -+是整数.
综上，对一切整数n ，()f n 一定是整数.………………………………………10分 【解析】略
13．各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足1
1
2n n x x ++<．证明： （1）1n n x x +<； （2）1
11n x n
-
<<． 【答案】（1）详见解析，（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）作差证明不等式，因为0n x >，112n n x x ++
<，所以11
2n n
x x +>
-，且20n x ->． 因此2
2121(1)1222n n n n n n n n n x x x x x x x x x +-+-->
-==---≥0．即1n n x x +<.（2）本题证明：11n x n
>-用数学归纳法，而证明1n x <用反证法. ① 当1n =时，由题设10x >可知11n x n >-成立；② 假设n k =时，1
1k x k
>-， 当1n k =+时，由（1）得，11
11
11211
21k k
k x x k k k +>
>=
=-
-++⎛⎫-- ⎪⎝⎭
．由①，②可得，11n x n >-．假设存在自然数k ，使得1k x >，则一定存在自然数m ，使得11k x m >+
．因为1
1
2k k x x ++
<，11
1
12121k k
m x x m m +>>
=--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，21111
122211k k m x x m m ++->>=
--⎛
⎫-+ ⎪-⎝⎭
， ，()()1221k m m m x m m +--->=--，
与题设1
1
2k k x x ++
<矛盾，所以，1n x ≤．若1k x =，则11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾． 【证明】（1）因为0n x >，112n n x x ++<，与题设1
12k k x x ++<矛盾，所以，1n x ≤．若1k x =，则11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾． 所以1
1
02n n x x +<
<-， 所以11
2n n
x x +>
-，且20n x ->． 因为
2221(1)1
222n n n n n n n
x x x x x x x -+--==---≥0． 所以
1
2n n
x x -≥， 所以12n n n
x x x +<-≤
1
，即1n n x x +<． 4分 （注：用反证法证明参照给分） （2）下面用数学归纳法证明：11n x n
>-
． ① 当1n =时，由题设10x >可知结论成立； ② 假设n k =时，11k x k
>-
， 当1n k =+时，由（1）得，11
11
11211
21k k
k x x k k k +>
>=
=-
-++⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 由①，②可得，1
1n x n
>-． 7分 下面先证明1n x ≤．
假设存在自然数k ，使得1k x >，则一定存在自然数m ，使得11k x m
>+． 因为112k k x x ++
<，111121
21k k
m
x x m m +>>=
--⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
，
2
1
11
1
122211k k m x x m m ++->>=
--⎛
⎫-+ ⎪-⎝⎭
， ，()()1221k m m m x m m +--->=--， 与题设1
1
2k k x x ++
<矛盾，所以，1n x ≤． 若1k x =，则11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾．
所以1n x <成立． 10分 考点：数学归纳法
14．设n ∈*N 且2n ≥，证明：
()
2
2221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a +++⋅⋅⋅+⎡⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1n n a a -+．
【答案】运用数学归纳法来加以证明与自然数相关的命题。

【解析】
试题分析：证明：（1）当2n =时，有()2
221212122a a a a a a +=++，命题成立． 2分 （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，
即()2
2221212k k a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅]1k k a a -+成立， 4分
那么，当1n k =+时，有()2
121k k a a a a +++⋅⋅⋅++
()()2
21212112k k k k a a a a a a a a ++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
22212k a a a =++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1k k a a -+ (12a +2a ++⋅⋅⋅)211k k k a a a ++++．
2222121k k a a a a +=++⋅⋅⋅++()12312k k a a a a a +⎡+++⋅⋅⋅++⎣+(234a a a ++⋅⋅⋅k a +)1k a ++ +⋅⋅⋅ ]1k k a a ++．
所以当1n k =+时，命题也成立． 8分 根据（1）和（2），可知结论对任意的n ∈*N 且2n ≥都成立． 10分 考点：数学归纳法
点评：主要是考查了数学归纳法的运用，证明命题，属于中档题。