2020秋人教版九年级数学上《一元二次方程》和《圆》测试卷含答案

《一元二次方程》单元测试
一．选择题
1．已知一元二次方程的两根分别是3和﹣2，则这个方程可以是（）
A．（x+3）（x﹣2）＝0B．x2+x+6＝0
C．（x﹣3）（x+2）＝0D．x2﹣3x+2＝0
2．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根及c的值分别为（）A．2，8B．3，4C．4，3D．4，8
3．用配方法将二次三项式a2﹣4a+3变形，结果是（）
A．（a﹣2）2﹣1B．（a+2）2﹣1C．（a+2）2﹣3D．（a﹣2）2﹣6
4．一元二次方程x2+11x﹣1＝0（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
5．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（）
A．5000（1+x）＝6050B．5000（1+2x）＝6050
C．5000（1﹣x）2＝6050D．5000（1+x）2＝6050
6．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0且k≠1B．k≠1C．k≥0D．k≤0
7．若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（）A．a≤B．a＞0C．a≠0D．a＞
8．已知一元二次方程x2﹣x＝3，则下列说法中正确的是（）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程无实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．不能确定
9．若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，则p与q的大小关系为（）
A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定
10．用公式法x＝解一元二次方程3x2+5x﹣1＝0中的b是（）A．5B．﹣1C．﹣5D．1
二．填空题
11．一元二次方程x2﹣ax+2＝0的一根是1，则a的值是．
12．某超市一月份的营业额为200万元，已知二月和三月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为．
13．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+n+10＝0的两根，则n的值为．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k（k+2）＝0有两个不相等的实数根．（1）写出k的取值范围；
（2）写出一个满足条件的k的值，并写出此时方程的根．
15．关于x的一元二次方程（2k+3）x2﹣x﹣＝0有实数根，则常数k的取值范围是．三．解答题
16．解下列方程：
（1）2x2+5x+2＝0；
（2）（x﹣2）（3x﹣5）＝1．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：无论m取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且：x12+x22﹣2x1x2＝13，求m的值．
18．如图，利用一面墙（墙的长度不限），篱笆长20m．
（1）围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形场地的长和宽；
（2）可以围成一个面积为60m2的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由．
19．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50cm，AC＝40cm，点P从点C开始沿CA边向点A以4cm/s的速度运动，同时，另一点Q从点C开始以3cm/s的速度沿CB边向点B运动．（1）几秒钟后，PQ的长度是15cm？
（2）几秒钟后，△PCQ的面积是△ABC面积的？
20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
①x2﹣x﹣6＝0；
②2x2﹣2x+1＝0．
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．
参考答案一．选择题
1．解：∵3+（﹣2）＝1，3×（﹣2）＝﹣6，
∴以3和﹣2为根的一元二次方程可为x2﹣x﹣6＝0．故选：C．
2．解：设方程的另一个根为t，
根据题意得t+2＝6，2t＝c，
解得t＝4，c＝8．
故选：D．
3．解：a2﹣4a+3
＝a2﹣4a+4﹣1
＝（a﹣2）2﹣1，
故选：A．
4．解：∵a＝1，b＝11，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝112﹣4×1×（﹣1）＝125＞0，
∴一元二次方程x2+11x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．
5．解：设每天的增长率为x，
依题意，得：5000（1+x）2＝6050．
故选：D．
6．解：由题意可知：k﹣1≠0且4k2﹣4k（k﹣1）≥0，
∴k≥0且k≠1，
故选：A．
7．解：∵关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，∴a≠0，
故选：C．
8．解：一元二次方程x2﹣x＝3，整理得：x2﹣x﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴△＝1+12＝13＞0，
则方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
9．解：∵x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，∴ax12﹣4x1＝c，
则p﹣q＝（ax1﹣2）2﹣（ac+5）
＝a2x12﹣4ax1+1﹣ac﹣5
＝a（ax12﹣4x1）﹣ac﹣5
＝ac﹣ac﹣5
＝﹣5，
∴p﹣q＜0，
∴p＜q．
故选：A．
10．解：3x2+5x﹣1＝0中的b＝5，
故选：A．
二．填空题
11．解：把x＝1代入方程x2﹣ax+2＝0得1﹣a+2＝0，解得a＝3．
故答案为：3．
12．解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200（1+x）+200（1+x）2＝1000，
故答案为：200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000．
13．解：当2为底边长时，则a＝b，a+b＝8，
∴a＝b＝4．
∵4，4，2能围成三角形，
∴n+10＝4×4，
解得：n＝6；
当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为6，
∵6，2，2不能围成三角形，
∴此种情况不存在．
故答案为：6．
14．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k（k+2）＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4k（k+2）＝﹣16k+4＞0，
解得：k＜；
（2）当k＝0时，原方程为x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2．
∴当k＝0时，方程的根为0和﹣2．
15．解：根据题意得2k+3≠0且1﹣k≥0且△＝（﹣）2﹣4（2k+3）×（﹣）≥0，解得﹣4≤k≤1且k≠﹣．
故答案为﹣4≤k≤1且k≠﹣．
三．解答题
16．解：（1）2x2+5x+2＝0，
（2x+1）（x+2）＝0，
2x+1＝0或x+2＝0，
x1＝﹣，x2＝﹣2；
（2）整理得，3x2﹣11x+9＝0，
∵a＝3，b＝﹣11，c＝9，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×9＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．解：（1）证明：∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，
∴△＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+4＞0，
∴无论m为任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，
∴x1+x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m，
又，
∴，
∴（m﹣2）2﹣4×（﹣m）＝13，
解得，m1＝3，m2＝﹣3，
即m的值是3或﹣3．
18．解：（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为（20﹣2x）m，依题意，得：x（20﹣2x）＝50，
整理，得：x2﹣10x+25＝0，
解得：x1＝x2＝5，
∴20﹣2x＝10．
答：矩形场地的长为10m，宽为5m．
（2）不能，理由如下：
设垂直于墙的边长为ym，则平行于墙的边长为（20﹣2y）m，
依题意，得：y（20﹣2y）＝60，
整理，得：y2﹣10y+30＝0，
∵△＝（﹣10）2﹣4×1×30＝﹣20＜0，
∴不能围成一个面积为60m2的矩形场地．
19．解：（1）设t秒钟后，PQ的长度是15cm，此时CP＝4tcm，CQ＝3tcm．∵∠C＝90°，
∴PQ2＝CP2+CQ2，即152＝（4t）2+（3t）2，
解得：t1＝3，t2＝﹣3（不合题意，舍去）．
答：3秒钟后，PQ的长度是15cm．
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50cm，AC＝40cm，
∴BC＝＝30cm．
设x秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的，此时CP＝4xcm，CQ＝3xcm．依题意，得：CP•CQ＝×AC•BC，
即×4x×3x＝××40×30，
解得：x1＝5，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
答：5秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的．
20．解：（1）①解方程得：（x﹣3）（x+2）＝0，
x＝3或x＝﹣2，
∵2≠﹣3+1，
∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②x＝＝，
∵＝+1，
∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，
∴x＝m或x＝﹣1，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，
∴m＝0或﹣2；
（3）解方程得x＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，∴﹣＝1，
∴b2＝a2+4a，
∵t＝12a﹣b2，
∴t＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，
∵a＞0，
∴a＝4时，t的最大值为16．
《圆》单元提升训练
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．以B为圆心作圆与AC相切，则该圆的半径等于（）
A．2.5B．3C．4D．5
2．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）
A．62°B．31°C．28°D．56°
3．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（）A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．∠B＜90°D．AB≠AC
4．一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm
5．下列说法中，不正确的是（）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
6．挂钟的分针长10cm，经过45分钟，它的针尖经过的路程是（）
A．cm B．15πcm C．cm D．75πcm
7．⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
8．平面内，⊙O的半径为2，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条B．1条C．2条D．无数条
9．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（）
A．﹣2＜BE≤B．﹣2≤BE＜3C．≤BE＜3D．﹣≤BE＜3
10．如图，△OAC按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，OA边在x轴上，OA＝8，AC＝4，把△OAC绕点A按顺时针方向转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（4，4）则在这次旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为（）
A．8πB．πC．2πD．48π
二．填空题
11．已知弦AB把圆周分成1：9两部分，则弦AB所对圆心角的度数为．
12．如图，⊙O的半径为1，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为．
13．如图所示的一扇形纸片，圆心角∠AOB为120°，半径OA的长为3，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为．
14．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，且D、E分别在PA、PB上，若PA＝10，则△PDE的周长为．
15．从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为m2（结果保留π）．
三．解答题
16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝，求DB的长．
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC＝4，∠A＝30°，求⊙O的直径．
18．如图，已知正方形ABCD，AB＝4，以点A为圆心，AB为半径画弧得到扇形ABD，现将该扇形围成一圆锥的侧面，求出该圆锥底面圆的半径．
19．已知圆锥的高为12，底面直径为10，求圆锥的表面积．
20．已知：Rt△ABC，∠C＝90°．
（1）点E在BC边上，且△ACE的周长为AC+BC，以线段AE上一点O为圆心的⊙O恰与AB、BC边都相切．请用无刻度的直尺和圆规确定点E、O的位置；
（2）若BC＝8，AC＝4，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴当圆的半径等于BC＝4时，以B为圆心作圆与AC相切，
故选：C．
2．解：连接OC，如图，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
而∠POC＝∠A+∠OCA，
∴∠A＝×62°＝31°．
故选：B．
3．解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．
故选：A．
4．解：圆锥的底面周长为2π×4＝8πcm，即为展开图扇形的弧长，由弧长公式得＝8π，
解得，R＝12，即圆锥的母线长为12cm．
故选：B．
5．解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、长度相等的弧是等弧，说法错误；
故选：D．
6．解：∵分针经过60分钟，转过360°，
∴经过45分钟转过270°，
则分针的针尖转过的弧长是l＝＝＝15π（cm）．故选：B．
7．解：∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点．
故选：A．
8．解：∵⊙O的半径为2，点P到O的距离为2，
∴点P在⊙O上，
∴过点P可作⊙O的一条切线．
故选：B．
9．解：如图，
由题意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中E′点），∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，CM＝2，
则BM＝＝＝，
∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，
当BE最长时，即E与C重合，
∵BC＝3，且点E与点C不重合，
∴BE＜3，
综上，﹣2≤BE＜3，
故选：B．
10．解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°，∵点O′的坐标是（4，4），
∴O ′M ＝4
，OM ＝4，
∵AO ＝8， ∴AM ＝8﹣4＝4，
∴tan ∠O ′AM ＝
＝，
∴∠O ′AM ＝60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC ′＝∠OAO ′＝60°，
∵把△OAC 绕点A 按顺时针方向旋转到△O ′AC ′，
∴S △OAC ＝S △O ′AC ′， ∴阴影部分的面积S ＝S 扇形OAO ′+S △O ′AC ′﹣S △OAC ﹣S 扇形CAC ′＝S 扇形OAO ′﹣S 扇形CAC ′＝﹣＝8π，
故选：A ．
二．填空题
11．解：∵弦AB 把圆周分成1：9两部分，
∴弦AB 所对圆心角的度数＝×360°＝36°．
故答案为36°．
12．解：由圆周角定理得，2∠BAD＝∠BOD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD，
∴180°﹣∠BAD＝2∠BAD，
解得，∠BAD＝60°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝120°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
13．解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得r＝1，
即该圆锥底面圆的半径为1．
故答案为：1．
14．解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10+10＝20；
∴C
△PDE
∴△PDE的周长为20；
故答案为：20．
15．解：∵∠ABC＝90°，
∴AC为⊙O的直径，即AC＝4m，
∴AB＝AC＝2m；
∴S
阴影＝S
圆
﹣S
扇形
＝π×22﹣＝2π；
故答案为2π．
三．解答题
16．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；
（2）在Rt△ADB中，BD＝AD＝×＝3．17．解：连接OB，OC，
∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC＝BC＝4，
∴⊙O的直径＝8．
18．解：设底面圆的半径为r，
根据题意得：2πr＝，
解得：r＝1，
所以该圆锥的底面圆的半径为1．
19．解：底面直径为10，则底面周长＝10π，底面面积＝25π；
由勾股定理得，母线长＝13，圆锥的侧面面积S侧＝×10π×13＝65π，∴它的表面积S＝25π+65π＝90π，
20．（1）如图，作∠ABC的平分线BO，
作线段AB的垂直平分线EG，交BC于E，
连接AE交BO于O，
则点E、O即为所求作点；
（2）解：设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△ACE中，42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝4，
设⊙O的半径为r，
∵S
△ABE ＝S
△AOB
+S
△BOE
∴×5×4＝×4r+×5r ∴r＝，
即⊙O的半径为．。