2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 基础梳理
1．空间两条直线的位置关系．
空间两条直线的位置关系有且只有三种．
(1)从是否有公共点的角度来分： (2)从是否共面的角度来分：
⎩⎪⎨⎪⎧没有公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行异面有且仅有一个公共点相交 ⎩⎪⎨⎪⎧在同一平面内⎩⎪⎨⎪⎧平行相交不同在任何一平面内——异面
练习1：三棱锥的六条棱可组成多少对异面直线？
2．异面直线．
(1)定义：
的两条直线叫做异面直线．
(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．
3．平行公理(公理4)．
文字表述：平行于同一条直线的两条直线 ．这一性质叫做空间 ．
符号表述： ⎭⎪
⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c ． 4．等角定理．
空间中如果两个角的两边分别对应 ，那么这两个角 或 ．
5．异面直线所成的角．
(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
(2)异面直线所成的角θ的取值范围： ．
(3)当θ＝ 时，a 与b 互相垂直，记作 ．
练习2：两条直线在同一个平面上，它们的位置关系是什么？
►思考应用
1．分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？
2．对于等角定理中在什么情况下相等、互补？
3．如下定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O 有无限制条件？
已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的角(或补角)叫做异面直线a 与
b所成的角(或夹角)．
典例精析
题型一空间直线位置关系的判定
例1 已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，那么a与c有什么样的位置关系？并画图说明．
►跟踪训练
1．下列条件中，一定能推出a与b是异面直线的是( )
A．a，c异面且b，c异面B．a∥c，b与c相交
C．a，b分别与c相交D．a⊂平面α，b∩α＝A且A∉a
题型二证明两条直线的异面直线
例2 已知直线AB，CD是异面直线，求证：直线AC，BD是异面直线．
►跟踪训练
2．如图，已知α∩β＝a，b⊂β，a∩b＝A，且c⊂α，a∥c，求证：b，c是异面直线．
题型三求异面直线所成的角
例3 在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2a，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝a，求AD，BC所成的角．
►跟踪训练
3．(多解题)如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．。