离散数学-第一次习题课

第3/次习题课习题课 单老师例1 图11.3.8给定加权连通图<V,E,W>，其中V={v 1,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6}，E={[v 1,v 2],[v 1,v 5], [v 2,v 3],[v 2,v 6],[v 2,v 5],[v 3,v 4],[v 3,v 6],[v 4,v 5],[v 4,v 6],[v 5,v 6]}和W={3,1,2,1,3,2,3,4,1,2}。

解 令x 0=v 1，按G.Dantzig 算法可得到下面的结点和边序列：v 1,v 5,v 6,v 2,v 4,v 3[v 1,v 5], [v 5,v 6], [v 1,v 2], [v 6,v 4], [v 2,v 3]所求生成树如图11.3.9所示。

前面讨论的树，都是无向图中的树，即无向树；下面将简单地介绍有向图中的树即有向树。

定义11.3.6 如果一个有向图的基础图是一棵树，则该有向图称为有向树。

其图形表示法常采用倒置树表示之，且为方便计，有时略去边之方向。

例2 图11.2.2中(a)的一个最大匹配是{[v 1,v 2],[v 3,v 9],[v 5,v 6],[v 7,v 8]}；(b)的一个完全匹配是{[v 1,v 2],[v 3,v 4],[v 5,v 6],[v 7,v 8]}。

例题 3 设A 为简单图G 的邻接矩阵，则A l 中的i 行j 列元素a l ij 等于G 中联结v i 到v j 的长度为l 的链(或路)的数目。

证明 对l 施行归纳证明之。

当l=1时，A l =A 1=A ，定理显然为真。

假设当l=k 时定理成立，考察l=k+1的情形。

由于A k+1=A k ·A即有1+k ij a=∑=nr rj k ira a1(1)根据归纳假设和邻接矩阵的定义可知，kir a 是联结vi 到v r 长度为k 的链（或路）的数目，a rj 是联结v r 到v j 长度为1的链（或路）的数目（实际上这是从v r 到v j 的一条边（或弧）。

因此，(1)式右图11.3.8图11.3.9端的每项表示由v i 经过一条长度为k 的链（或路）到v r ，再由v r 经过一条边（或弧）到v j 的总长度为k+1的链（或路）的数目。

对r 求和，即得1+k ij a ，它是所有从v i 到v j 长度为k+1的链（或路）的数目。

故定理得证。

例4 已知简单有向图G=<V ,E>如图10.3.3所示，G 的邻接矩阵A 是A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010001000000010001010001试求A 1，A 2，A 3，A 4，A 5。

v v 3v v v 5图10.3.3解A 2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010001000000010001010001·⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100010000000100010100010=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001000001010002000101A 3=A 2·A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001000001010002000101·⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100010000000100010100010=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100010000000200020200020A 4=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001000002020004000202A 5=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100010000000400040400040利用定理10.3.1，从上面计算邻接矩阵A 的乘幂可知许多信息。

如v 1到v 2有2条长度为3的路，v 2到v 3有2条长度为3的路，v 3到v 4没有一条长度小于5的路，v 4到v 5有一条长度为5的路，在结点v 2有2条长度为2的回路并且有4条长度为4的回路，但没有长度为3的回路，等等。

在一些实际问题中，有时要判定图中结点v i 到结点v j 是否可达，或者说v i 到v j 是否存在一要链（或路）。

如果要利用图G 的邻接矩阵A ，则应计算A 2，A 3，···，A n ，···。

当发现其中某个A r 中rij a ≥1，就表明v i 可达v j 或v i 到v j 存在一条链（或路）。

但这种计算繁琐量大，又不知计算A r 到何时为止。

根据定理10.2.2可知，对于有n 个结点的图，任何基本链（或路）的长度不大于n-1和任何基本圈（或回路）的长度不大于n 。

因此，只需考虑rij a 就可以了，其中1≤r ≤n 。

即只要计算B n =A+A 2+A 3+···+A n 。

如果关心的是结点间可达性或结点间是否有链（或路），至于结点间的链存在多少条及长度是多少无关紧要，那么便可用下面的定义图的可达矩阵来表示结点间可达性。

例5 给定图G=<V ，E>，将其结点按下标编序得V={v 1，v 2，…，v n }。

定义一个n 阶方阵P=(p ij )，其中⎩⎨⎧=否则可达到,0,1j i ij v v p则称矩阵P 是图G 的可达矩阵。

可见，可达矩阵表明了图中任意两结点间是否至少存在一条链(或路)以及在结点处是否有圈(或回路)。

从图G 的邻接矩阵A 可以得到可达矩阵P ，即令B n =A+A 2+A 3+…+A n ，再从B n 中非零元素改为1而零元素不变，这种变换后的矩阵即是可达矩阵P 。

例6 设有向图G 的邻接矩阵A 是A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001101111000010试求G 的可达矩阵P 。

解 因为A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0010111110121100 A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110212211211012A 4=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1012323332221121故B 4=A +A 2+A 3+A 4=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2123747764553243 于是P =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111111由此可知，图G 中任何两结点间均为可达，并且在任一结点处都有圈（或回路），此图又是连通的。

上述计算可达矩阵的方法还是比较复杂的，但若定义布尔矩阵运算还是可以达到简化的目的。

假设矩阵中的元素是属于布尔代数<B ，∧，∨，ˉ，0，1>的B 中元素。

其中B ={0，1}，则称该矩阵为布尔矩阵。

显然邻接矩阵是一个布尔矩阵，同样可达矩阵也是布尔矩阵。

下面定义两个布尔矩阵B 与C 的运算：令B 与C 的布尔和、布尔积分别记为B ∨C 和B ○∧C ，其定义为 (B ∨C )ij =b ij ∨c ij(B ○∧C )ij =∨=n1k (b ik∧c kj)i ，j =1，2，…，n 。

其中b ij ，c ij 分别为B 和C 的i 行j 列元素。

特别地，对于邻接矩阵A ，记A (1)=A ，对任何r =2，3，…，有 A(r-1)○∧A =A (r)要注意的是A r 与A (r)的差别。

A r 中r ij a 表明从v i 到v j 长度为r 的链(或路)的数目，而A (r)中)(r ij a 是指出了：若v i 到v j 至少存在一条链(或路)时， )(r ij a =1；否则， )(r ij a =0。

由上述说明，便得到可达矩阵P 为：P =A ∨A (2)∨A (3)∨…∨A (n)=∨=n1k A(k)例7 令邻接矩阵A 为A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001101111000010试求A (2)，A (3)，A (4)和P 。

解A (2)=A ○∧A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001101111000010○∧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001101111000010=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0010111110111100A (3)=A (2)○∧A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0010111110111100○∧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001101111000010=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1100111111111011A (4)=A (3)○∧A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1100111111111011○∧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001101111000010=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1011111111111111P =A (1)∨A (2)∨A (3)∨A (4)= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111111 对于简单有向图G=<V ,E>，显然有E ⊆V ⨯V 。

因此，弧集合E 可解释成B 中的二元关系，而二元关系是可用矩阵表示的，通常称这种矩阵为关系矩阵，其定义如下：设两个有限集合X={x 1,x 2,···,x m }和Y={y 1,y 2,···,y n }，则关系R ⊆X ⨯Y 的关系矩阵M R =(r ij )，其中1, <x i ,y i >∈Rr ij =0, 否则i=1,2,···,m ；j=1,2,···,n 。

由定义可知，关系R 与其关系矩阵M R 是一一对应的，即可以相互确定。

根据集合论可知，对于域F(R)=V 而|V|=n 的关系R 的传递闭包R +可计算如下： R +=R ∪R 2∪R 3∪…∪R k (k ≤n )于是，关系R 1和R 2的关系矩阵分别为A 1和A 2，则关系R 1∪R 2的关系矩阵为A 1∨A 2。

用归纳法可以证明R +的关系矩阵是M R +=M R ∨M R 2∨M R 3∨…∨M R k对于G=<V,E>的邻接矩阵A 是关系E 的关系矩阵，因为E 2=EoE ，即若存在一个结点v k ，使得v i Ev k ，和v k Ev j ，则必有v i E 2v j ，亦即从v i 到v j 若至少存在一条长度为2的链（或路），那么E 2的关系矩阵中的(i,j)元素值为1。

这表明矩阵A (2)是关系E 2的关系矩阵。

以此类推，A (k)是E k 的关系矩阵，k=2,3,···,n 。

因此A +=A ∨A (2)∨A (3)∨…∨A(n)亦即 A +=A ∨A (2)∨A (3)∨…∨A (n)=P可见，关系E 的传递闭包E +的关系矩阵A +与可达矩阵相同。

为了计算A +或P ，自然可先依次求得A (2)，A (3)，…，A (n)，然后再计算∨=nk 1A(k)，其结果即为所求，这是计算A +或P 的一种方法，还可介绍一种现有效的方法—Warshall 算法，它由邻接矩阵A 依下面给出的步骤便能计算A +。