关于分离参数法在解决函数方程实根问题的研究

参考文献: [１]张 文 鹏 ．初 等 数 论 [M]．陕 西 师 范 大 学 出 版 社 ,２００７． [２]李文林主编．王 元 论 哥 德 巴 赫 猜 想 [M]．山 东 教 育 出
版 社 ,１９９９． [３]潘 承 洞,潘 承 彪 著．初 等 数 论 [M]．北 京 大 学 出 版
社 ,１９９２． [４]潘 承 洞,潘 承 彪 著．解 析 数 论 基 础 [M]．科 学 出 版
关于分离参数法在解决函数 方程实根问题的研究
刘书岳
摘 要:分离参数法:众所周知,就是求谁的参数就把谁分离出来研究,我们知道 这 是 在 解 决 不 等 式 问 题 时 常 用 的 方 法. 但 是 ,其 实 利 用 它 的 原 理 ,我 们 可 以 把 它 用 来 解 决 函 数 方 程 的 实 根 问 题 .
○ 数学教学与研究
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
解 析 :对 于 这 类 问 题 ,一 般 解 法 :
(１)当 方 程 x２ － (m －１)x＋２m ＝０ 在 [０,１]上 有 两 个 相 等 实 根 时 ,则
(２)当 方 程 x２ － (m －１)x＋２m ＝０ 有 两 个 不 等 实 根 时 (a)有且只有一根在(０,１)上时,有f(０)f(１)＜０ 即 ２m (m ＋２)＜０,所 以
{ { m＜０ 或
m ＋２＞０
m m
＞０ 解 ＋２＞０
得
ห้องสมุดไป่ตู้
－２＜m
＜０;
(b)当f(０)＝０时,m＝０,令f(x)＝x２＋x＝０,解得 x１
＝０,x２ ＝ －１ 符 合 题 意 .
(c)当f(１)＝０时,吗,令 f(x)＝x２ ＋３x－４＝０,解 得
x１ ＝１,x２ ＝ －４,符 合 题 意 .
综上所述,实数 m 的 取 值 范 围 为 [－２,０]. 注:求 解 本
让我们看一下如下巧解:
解 :令 f(x)＝０ 得 :x２ － (m －１)x＋２m ＝０
所
以
m
x２＋x ＝ x－２
设
y
x２＋x
＝
x－２
所以
yx ＇
(x２ ＋x)′(x－２)－ (x２ ＋x)(x－２)′
＝
(x－２)２
(x－２)２－６ ＝ (x－２)２
因 为 x∈ [０,１]
∴１≤ (x－２)２ ≤４
我们只把参数分离开,用x 表示参数.因为题目 已 给 出 了 x 的 取 值 ,再 利 用 单 调 性 及 函 数 相 关 知 识 即 可 求 出 .
我们再来看一道例题:
例２ 已知方程x２＋３ax＋４＝０,在 (１,２)有 实 根,求a
的取值?
解 析:方 程 在 一 个 区 间 内 有 实 根,我 们 知 道 可 转 化 成 其
关 键 词 :分 离 参 数 法 ;不 等 式 问 题 ;函 数 方 程
一 、应 用 举 例
让我们看一看以下例题:
例１ (２０１７年山东省实验中学月考)是 否 存 在 实 数 m, 使函数f(x)＝x２－(m －１)x,f２m 在 区 间 [０,１]上 有 且 只 有一个零点? 若存 在,求 出 m 的 取 值 范 围;若 不 存 在,请 说 明理由.
∴ －５≤ (x－２)２ －６≤ －２
即 (x－２)２ －６＜０
∴ (x(x－－２)２２)－２６＜０
∴y２x ＜０
故
函
数
x２＋x y＝ x－２
在
[０,１]上 单 调 递 减 ,
∴ 当 x＝０时 ,ymax＝０ 当 x＝１时 ,ymin＝１１２－＋２１＝ －２
∴y∈ [－２,０] 即 此 时 ,m ∈ [－２,０] 我们不难从上例题看出,此做法 十 分 简 单,不 管 它 如 何,
对应的方程的函数 f(x)在 这 个 区 间 有 零 点,这 也 就 转 化 成 零点问题.但是零点问题,由上我们已 得 出 可 以 利 用 分 离 参
数 函 数 来 解 决 ,所 以 解 题 如 下 :
解 :∵x２ ＋３ax＋４＝０,x∈ (１,２)
x２＋４
４
∴－３a＝ x ＝x＋x
设
y＝x＋
４ x
,∴yx′＝１－x４２
∵x∈ (１,２)
∴１＜x２＜２
１１ ∴ ２ ＜x２ ＜１
４ ∴２＜x２ ＜４
４ ∴x２ ＞１
４ ∴１－x２ ＜０
即
yx′＜０,故
函
数
y＝x＋
４ x
在
区
间
[１,２]上
单
调
递
减
∴
当
x＝１
时
,ymax＝１＋
４ １
＝５
当
x＝２
时
,ymin＝２＋
４ ２
＝４
故
函
数 y＝x＋
４ x
在
区
间
(１,２)上
题不仅应注意到函数的零点应用f(１)∗f(０)＜０,而 且 也 应
该注意问题其他形式:(１)在[０,１]上 有 二 重 根;(２)端 点 函 数
值可 能 为 ０．. 因 此,我 们 由 上 述 过 程,不 难 看 出:讨 论 很 复 杂 . 尽 管 思 路 清 晰 ,但 仍 避 免 不 了 大 量 的 分 类 讨 论 ,易 出 错 .
值
为 (４,５)
∴y∈ (４,５)即 －３a∈ (４,５)
故 a∈ (－
５ ３
,－
４ ３
)
二 、总 结
其实,对于普遍的一个零点问题,方 程 实 根 问 题,都 可 以
利用分离参数法 来 思 考. 因 为 题 目 已 给 出 了 实 根、有 零 点,
势必分离出来的参数所对应的关于 x的方程在一个区间上
是恒成立的.它的最后解 集 是 将 所 有 取 值 并 起 来.因 为 并
集本身是取值范围更大的子集,而分离参 数 法 则 省 去 了 中 间
求解,参数取值集 合 子 集 的 步 骤,直 接 求 出 大 的 集 合. 即 不
论用 x表示出的方程所对应的函数单调 性 如 何,只 要 利 用 单
调 性 求 出 值 点 ,进 而 推 出 最 值 点 ,便 得 取 值 范 围 .