在深度学习中感悟“代数”之美——“用字母表示数”教学实录与思考

字母可以
表示确定
的数
图1
4个
这是
有
如图
字母可以
表示不确
定的数
数？
如，在用字母表示运算定律时，在同一个情境
中，不同的数用不同的字母表示；字母和字母可
以进行运算；等等。

今天，我们在这些学习经验
的基础上，继续学习用字母怎样“表示”数，相信
大家一定会有新的收获。

师：我给大家介绍一位新朋友，她的名字叫
张红娜28
小红。

你们知道小红今年多大吗？（出示卡片：小红年龄）
生：不知道！
师：你会用数学语言表示“不知道”吗？
生：a岁，b岁，n岁，x岁……
师：同学们都想到用字母表示“不知道”，真好！至于用哪个字母表示小红的年龄，同学们从26个字母中任意选1个就行。

（教师征求多数学生的意见，达成共识，选用字母x表示小红的年龄）
师：小红的年龄用字母x表示，你们知道小红爸爸的年龄该怎样表示吗？
（学生选择除x以外的其他字母表示爸爸的年龄，在达成共识的基础上，选用y表示爸爸的年龄）
师：同学们，如果我告诉你们一个信息——“爸爸和小红相差28岁”，小红的年龄还是x岁，爸爸的年龄还是y岁吗？有新的表示方法吗？
生：x+28。

师：y和x+28都是不知道多少岁，你们为什么用x+28表示呢？
生：用x+28表示爸爸的年龄，可以知道爸爸的年龄比小红大28岁。

生：由x+28可以清楚地看出爸爸年龄和小红年龄之间存在的关系，如果用y表示，看不出这个关系。

师：同学们理解得真好！用x和y表示这对父女的年龄，两个“不知道”互不相干，但如果用x和x+28表示他们的年龄，就让两个“不知道”之间建立起了联系。

难怪大家都说：数学很奇妙，关系最重要。

（板书：关系）
（教师擦掉字母y，留下x+28）
师：借助数量之间的关系，我们表示出了爸爸的年龄。

小红的奶奶也来了，她的年龄是小红的7倍，你们会表示她的年龄吗？
生：x×7。

师：在遇到字母和数相乘时，我们数学上有这样的约定：可以把乘号换成“·”，写成x·7；也可以省略小圆点，把数写在字母的前面，写成7x。

如果字母和字母相乘，直接省略乘号就可以了。

师：小红的弟弟也来了，要想表示出他的年龄，你们想从我这里要什么？
生：要关系！
师：小红姐弟年龄之间存在2倍的关系，你们会表示弟弟的年龄吗？
（学生出现了“2x”和“x÷2”两种表示方式，教师组织学生讨论）
师：经过大家的讨论，同学们进一步明白了：不能看到“倍”就想到“×”；也不能把“÷”省略，那样就和乘法混为一谈了。

师：你们还想表示谁的年龄？
生：妈妈，爷爷，姥姥……
师：如果表示他们的年龄，你们一定还得要关系，是吗？妈妈和小红年龄之间的关系有点复杂了——比小红年龄的4倍小4岁，你们还能正确表示妈妈的年龄吗？
生：4x-4。

师：大家也一直在关注爷爷的年龄，但是，我真不知道爷爷的年龄和小红的年龄有什么关系，怎么办呢？
生：知道爷爷和其他成员的关系也行啊！
师：你们的感觉越来越好了！我告诉大家，爷爷和爸爸的年龄之间也存在“2倍”的关系，你们会表示爷爷的年龄吗？
生：（x+28）×2；2x+28×2；2x+56。

师：这几种表示方法都正确。

其中，（x+ 28）×2中的“×”也可以省略，用2（x+28）表示更简便。

师小结：同学们，不知不觉中，你们已经学会用字母表示小红一家人的年龄了，大家学得真好！如果小红的姥姥、姥爷来了，叔叔、舅舅来了，七大姑八大姨也来了，要表示他们的年龄，我相信你们肯定也没问题，但你们一定会提醒他们要带着什么来？
生：带着“关系”来！
师：好了，第三个问题我们就暂时告一段落啦。

（擦掉第三个“？”
）
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（四）解决问题4：字母表示数有什么“用”？师：接下来，我们一起关注第四个问题：字母表示数有什么“用”呢？
师：这个问题真有点儿难，大家不要急着回答。

我想请同学们先来听听“数”和“字母”的对话，看看你们能不能对这个问题有所感悟，好吗？
师：我们先来听听数的代表“1”和字母的代表
“x ”的第一轮对话。

（课件播放，如图3）
师：字母的本领有多大呢？我们一起回到运算定律上来。

（课件出示图4）
图3
用字母表示运算定律
两个数相加，交
换两个加数的位置，和不变。

甲数+乙数=乙数+甲数
△+☆=☆+△
·a +b =b +a ·（a +b ）+c =a +(b +c )·ab =ba ·(ab )c =a (bc )·(a +b )c =ac +bc
40+56=56+405.2+4.8=4.8+5.223+45=45+2
3
……
图4
师：以加法交换律为例，如果让你给别人介绍什么是加法交换律，你会选择上述四种方法中的哪一种？为什么？
生：我会选择用字母表示的方法，因为简洁明了。

（板书：简洁）
师：a +b =b +a 一下子就说清了整数、小数、分数以及所有的加法运算中存在的共同规律，所以它还具有高度的概括性。

（板书：概括）
师：用字母表示数，既简洁又概括，难怪字母说：“我们的本领可大了！”
师：接下来，我们听听他们的第二轮
对话。

（课件播放，如图5）听了他们的第二轮对话，我们不用“等到以后再瞧”，现在就来“瞧一瞧”，好吗？
图5
师：我们以小红和爸爸的年龄为例。

如果小红今年1岁，爸爸就是——
生：1+28=29（岁）。

（接下来，教师说小红今年2岁、3岁、10岁、20岁，学生答爸爸的年龄）
师：看来，字母表示的数虽然不知道确切的结果，其实真的可以代表很多结果呢！
师话锋一转：同学们，小红的年龄x 可以代表很多结果，但她的年龄真的可以是1岁吗？
（这一问题在学生的脑海中掀起了波浪，学生在激烈的争论和笑声中恍然大悟）
生：不可能！如果小红今年1岁，奶奶才7岁，妈妈0岁，根本不可能！
师：小红可能是2岁吗？3岁呢？生：也不可能！
师：你感觉小红可能有多大？生：9岁？10岁？11岁？12岁？……师：你们不是说字母
x 可以表示任意数
吗？为什么在这里不是这样呢？
生：
虽然字母可以表示任意数，
但它也得符合生活实际呀！
师：刚才你们是在关注数量和数量之间的关系，现在你们又关注到数学与生活之间的关系，你们的思维上升到了一个新高度，为你们
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点赞！
师：同学们，你们想知道小红今年到底多少岁吗？我告诉你们一点点蛛丝马迹，你们试试看，好吗？听老人聊天时说，小红的爷爷今年76岁了，你们能知道小红几岁了吗？
生：10岁啦。

师：还能知道谁的年龄呢？生：全家人的年龄都能知道了！
师：你们看，有了数量之间的关系，只要有一点点的蛛丝马迹，真的就可以起到“你知我们便都知”的作用了。

以后的学习中我们还会进一步见证这样的奇迹发生的。

师：你们期待他们的第三轮对话吗？（课件播放，
如图6）
图6
师：从他们的这一轮对话中，我们明白了：今天的课题“用字母表示数”，如果换个说法就是“用字母代表数”，我们也就认识了一门新的学科——代数。

大家已经对代数有了初步的认识和了解，更对代数的后续学习充满了好奇和期待。

师小结：通过数与字母的三轮对话，我们对“字母表示数有什么‘用’”这个问题有了一定的认识。

但这远远不够，所以，这个“？”暂时不擦掉，我们期待在后续的学习中对它有进一步的理解和感悟。

师：同学们，今天的学习，让我们从算术走向代数，我们的数学思维又打开了一扇新的门，我们的数学学习将开启新的旅程……
师：我们期待，在学习代数的日子里，未知数和已知数能携起手来，借助数量之间的关系，用简洁、概括的数学语言，为我们讲述更加生动有趣、丰富多彩的数学故事；我们也相信，在新的旅程中，同学们一定会欣赏到更美的数学风景……
【教学思考】
梳理现行人教版数学教材，“用字母表示数”这一内容跨越了义务教育阶段的两个学段，贯穿于中小学的数学教学之中。

鉴于此，在本节课的教学中，我主要采取了如下教学策略。

问题让学习发生，
真问题让学习真正发生。

本节课伊始，我就让学生顾名思
“疑”，
看着课题提出自己好奇或疑惑的真问题。

然后梳理出四个问题，以问题为主线，引领学生学习的整个过程。

这四个问题的发现和提出直指教学目标，问题分析和解决按照从“略”到“详”、从“轻”到“重”展开。

整节课，学生的学习方向明确、思路清晰，学习在真正发生，“四能”得到了有效的培养，教学目标得到了有效的达成。

在解决“用字母怎样‘表示’数”这一指向
教学重点的问题时，我创设学生熟悉的有关年龄问题的学习情境，将小红一家六口人的年龄问题逐一提出并解决，层层推进，各有侧重。

代数式的表达也涉及加减乘除及混合运算等多种情况，丰富了教学内容。

学生置身于这一情境中，兴趣盎然，学思并进，意犹未尽。

情境为学习提供了优质的服务，教学达到了很好的效果。

在表达爸爸的年龄时，我先不告诉关系，引导学生借助已有经验，选择不同的字母y 表示爸爸的年龄。

然后巧妙制造认知冲突：如果我告诉你们一个信息——“爸爸和小红相差28岁”，小红的年龄还是x 岁，爸爸的年龄还是y 岁吗？有新的表示方法吗？在学生出现x +28的
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表达方式后，再次追问：你们为什么用x +28表示呢？借助这样的认知冲突，巧妙地解决了“含有字母的式子既可以表示数量关系，又可以表示运算结果”这一教学难点。

本节课的另一教学难点是：让学生理解“字母虽然可以表示任意数，但在具体情境中是有取值范围的”。

在突破这一难点时，我先借助小红和爸爸的年龄这一组数量，指出小红1岁、2岁、3岁、10岁、20岁时，爸爸的对应年龄，让学生感受字母表示结果的多样性。

然后话锋一转，提出问题：她（小红）的年龄真的可以是1岁吗？这一问题立即引发了学生的争论，在争论的过程中，学生明白了在特定情境中字母的取值是有范围的，实现了数学学习与现实生活经验的合理对接，思维上升到了一个新的高度。

为了有效解决“字母表示数有什么‘用’”这一重要问题，我避免了枯燥的说教，艺术性地设计了数和字母的三轮对话，并配音播放，极大地激发了学生的好奇心和求知欲，达到了很好的教学效果。

三轮对话的内容精心设计、各有侧重：第一轮对话及解读，让学生感悟用字母表示数的简洁性和概括性，感受字母的本领之大；第二轮对话及解读，让学生初步体会“字母表示数”在问题解决中的作用和价值——“可以代表很多的结果”“你不知我们都不知，你知我们便都知”，也让学生对后续“等着瞧”充满好奇和期待；第三轮对话，让学生的思维完成了从算术到代数的进阶，初步感受代数的产生过程和发展史，对代数的学习产生兴趣和向往。

本节课的教学，着眼于对中小学教材的研究，所以“大单元教学”的理念便自然落实，具体体现在以下几个方面：
（一）基于学情——以学定教。

学情基础是大单元教学的切入点。

本节课在分析学情的基础上，从学生熟悉的扑克牌情
境引出字母可以表示已知数，又从学生四年级学过的“用字母表示运算定律”引出字母可以表示未知数，在此基础上自然展开新知的学习，实现了以学定教。

（二）整合单元内容——突出重点、突破难点。

本节课，借助年龄问题这一情境链，将教材内容进行整合，一节课的学习几乎涵盖人教版五年级教材“用字母表示数”中五道例题的内容（除了例3中的字母表示计算公式），通过对内容的创编整合，让学生在生动、有趣的问题情境链中学会用字母表示丰富多样的数量关系，有效突出了教学重点，突破了教学难点。

（三）拓展提升——做好中小学衔接。

在课的结尾，我对本节课进行总结：“我们期待，在学习代数的日子里，未知数和已知数能携起手来，借助数量之间的关系，用简洁、概括
的数学语言，为我们讲述更加生动有趣、
丰富多彩的数学故事；我们也相信，
在新的旅程中，
同学们一定会欣赏到更美的数学风景……”这为
学生后续学习代数进行引领和提升，为中小学的教学做了有效的衔接。

2022年版课标在总目标中特别增加了“欣赏数学美”这一要求。

这一变化应该引发我们的思考：数学美在哪里？怎样让学生感受、体验、欣赏、创造数学之美？在本节课的教学中，我们也在努力落实这样的目标。

通过“用字母表示数”的学习，让学生感受代数的简洁之美、概括之美、关系之美、语言之美、思维之美、内涵之美、外延之美……进而提升学生对数学学科的美好认知，培养学生良好的学科情感，引领学生从美学和文化学的视角了解数学的价值，体现数学的美育功能。

【本文系2023年度河南省基础教育教学研究项目“基于‘数学美’的小学数学教学实践研究”（编号：JCJYC2304zy1003）的研究成果】
（作者单位：河南许昌市
教育科学研究中心）
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