2014届高考理科学数学第一轮复习导学案9

学案10 函数的图象
导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．
自主梳理
1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．
2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象．
3．利用基本函数图象的变换作图：
(1)平移变换：函数y ＝f (x ＋a )的图象可由y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到；函数y ＝f (x )＋a 的图象可由函数y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到．
(2)伸缩变换：函数y ＝f (ax ) (a >0)的图象可由y ＝f (x )的图象沿x
轴伸长(0<a <1)或缩短(____)到原来的1a 倍得到；函数y ＝af (x ) (a >0)的
图象可由函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸长(____)或缩短(______)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)
(3)对称变换：①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于____轴对称；
②f (x )与f (－x )的图象关于____轴对称；
③f (x )与－f (x )的图象关于____轴对称；
④f (x )与－f (－x )的图象关于______对称；
⑤f (x )与f (2a －x )的图象关于直线______对称；
⑥曲线f (x ，y )＝0与曲线f (2a －x,2b －y )＝0关于点______对称； ⑦|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；
⑧f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到．
自我检测
1．(2009·北京改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数
y ＝lg x 的图象上所有的点向(填“左”或“右”)________平移________个单位长度，再向(填“上”或“下”)________平移________个单位长度．
2．(2010·烟台一模)已知图1是函数y ＝f (x )的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)．
①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝f (－|x |)；④y ＝－f (－|x |)．
3．函数f (x )＝1x －x 的图象关于________对称．
4．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．
5．(2011·淮安模拟)已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是________(填序号)．
探究点一 作图
例1 (1)作函数y ＝|x －x 2|的图象；
(2)作函数y ＝x 2－|x |的图象；
(3)作函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |的图象．
变式迁移1 作函数y ＝1|x |－1
的图象．
探究点二 识图
例2 (1)函数2
log 2x y =|的图象大致是________(填入正确的序号)．
(2)函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式是下列四
者之一，正确的序号为________．
①f (x )＝x ＋sin x ；
②f (x )＝cos x x ； ③f (x )＝x cos x ；
④f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2)．
变式迁移2 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为________(填序号)．
探究点三 图象的应用
例3 若关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，试求实数a 的取值范围．
变式迁移3 (2010·全国Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________．
数形结合思想
例 (5分)(2010·北京东城区一模)定义在R 上的函数y ＝f (x )是减函数，且函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不
等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，t s 的取值范围为________．
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1 解析 因函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y ＝f (x )，即y ＝f (x )的图象关于(0,0)对称，所以y ＝f (x )是奇函数．又y ＝f (x )是R 上的减函数，所以s 2－2s ≥t 2－2t ，令y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，
图象的对称轴为x ＝1，
当1≤s ≤4时，要使s 2－2s ≥t 2－2t ，即s －1≥|t －1|，
当t ≥1时，有s ≥t ≥1，所以14≤t s ≤1；
当t <1时，即s －1≥1－t ，即s ＋t ≥2，
问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s ≤4，t <1，s ＋t ≥2组
成的不等式组的可行域.t s 为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12
≤t s <1.
【突破思维障碍】
当s ，t 位于对称轴x ＝1的两边时，如何由s 2－2s ≥t 2－2t 判断s ，t 之间的关系式，这时s ，t 与对称轴x ＝1的距离的远近决定着不等式
s 2－2s ≥t 2－2t 成立与否，通过数形结合判断出关系式s －1≥1－t ，从而得出s ＋t ≥2，此时有一个隐含条件为t <1，再结合1≤s ≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s ，
t 所在区域时，要结合t s 的几何意义为点(s ，t )和原点连线的斜率，确
定s 为横轴，t 为纵轴．
【易错点剖析】
当得到不等式s 2－2s ≥t 2－2t 后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s ，t 都在二次函数y ＝x 2－2x 的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s ，t 在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s ，t 在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t <1及联想不起来线性规划．
1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在
画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．
2．合理处理识图题与用图题
(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．
(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．(2010·重庆改编)函数f (x )＝4x ＋12x 的图象关于______对称．
2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围为__________________．
3．(2010·北京海淀区一模)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是________(填序号)．
4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x ≤0x 2－2x ＋1， x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．
5．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为________．
6．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象
向________平移________个单位长度．
7．(2011·连云港模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有2个公共点，则a 的取值范围为________．
8．如图所示，向高为H 的水瓶A 、B 、C 、D 同时以等速注水，注满为止．
(1)若水量V 与水深h 函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是
________；
(2)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________．
(3)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________；
(4)若水深h 与注水时间t 的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．
二、解答题(共42分)
9．(14分)(2011·无锡模拟)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.
(1)求实数m 的值；
(2)作出函数f (x )的图象；
(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；
(5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．
10．(14分)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围．
11．(14分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．
(1)若g (x )＝m 有根，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．
答案 自主梳理
3．(1)左 右 |a | 上 下 |a | (2)a >1 a >1 0<a <1 a (3)①原点 y ②y ③x
④原点 ⑤x ＝a ⑥(a ，b ) ⑦上方 ⑧右方
自我检测
1．左 3 下 1
2．③
3．坐标原点
解析 ∵f (－x )＝－1x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，即f (x )的图象关于原点对称．
4．(－1,0)
解析 作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象知满足条件的x ∈(－1,0)．
5．②
解析 由f (4)·g (－4)<0得a 2·log a 4<0，
∴0<a <1.
课堂活动区
例1 解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x －x 2， 0≤x ≤1，－(x －x 2)，x >1或x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122－14， x >1或x <0，
其图象如图所示．
(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，x <0，其图象如图所示．
(3)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 的图象中x >0的部分关于y 轴的对称部分， 即得y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |的图象．
变式迁移1 解 定义域是{x |x ∈R 且x ≠±1}，且函数是偶函数．
又当x ≥0且x ≠1时，y ＝1x －1
. 先作函数y ＝1x 的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y
＝1x －1
(x ≥0且x ≠1)的图象(如图(a)所示)．
又函数是偶函数，作关于y 轴对称图象，
得y ＝1|x |－1
的图象(如图(b)所示)． 例2 解题导引 对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化 趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
答案 (1)③ (2)③
解析 (1)y ＝2|log 2x |＝⎩⎨⎧
1x (0<x <1)x (x >1)
， 所以图象画法正确的应为③.
(2)由图象知f (x )为奇函数，排除④；
又0，±π2，±32π为方程f (x )＝0的根，故应为③.
变式迁移2 ①
解析 因为f (1－x )＝f (－(x －1))，故y ＝f (1－x )的图象可以由y ＝f (x )的图象按照如下变换得到：先将y ＝f (x )的图象关于y 轴翻折，得y ＝f (－x )的图象，然后将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位，即得y ＝f (－x ＋1)的图象．故应为①.
例3 解题导引 原方程重新整理为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a 的取值范围．
方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．
解 原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝|x 2－4x ＋3|，y ＝x ＋a ，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．
则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线
y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩
⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3，得，x 2－3x ＋a ＋3＝0， 由Δ＝9－4(a ＋3)＝0，
得a ＝－34.
由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个根．
变式迁移3 (1，54)
解析 y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎪⎨⎪⎧
(x －12)2＋a －14， x ≥0，(x ＋12)2＋a －14， x <0. 当其图象如图所示时满足题意．
由图知⎩⎨⎧
a >1，a －1
4<1，
解得1<a <5
4.
课后练习区 1．y 轴
解析 f (x )＝2x ＋2－x ，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )图象关于y 轴对称．
2．(－1,0)∪(1，＋∞)
解析 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，可以画出函数f (x )在(0，＋∞)上的图象．
又f (x )为R 上的奇函数，其图象关于原点对称，根据对称性，画出函数在(－∞，0)上的图象．如图．
由图象可知，f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 3．④
解析 ①、②、③中直线方程中的a 的范围与对数函数中的a 的范围矛盾．
4．0<a <1
解析 由f 2(x )－af (x )＝0可得f (x )＝0或f (x )＝a ，画出函数y ＝f (x )的图象如图所示，
显然当f (x )＝0时，只有一个实数解，所以f (x )＝a 时应有三个实数解．
结合图象不难得到0<a <1. 5．－1
解析 ∵b >0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两
个图象的对称轴都在y 轴右边，∴－b
2a >0，
∴a <0，又∵图象过原点，∴a 2－1＝0，∴a ＝－1. 6．右 1
解析 ∵y ＝3×(13)x ＝(13)x －1
，
∴y ＝(13)x 向右平移1个单位便得到y ＝(13)x －1.
7．(0，1
2)
解析 规范作图如下：
由图知0<2a <1，所以a ∈(0，1
2)．
8．(1)A (2)D (3)B (4)C
9．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.…………………………………………(3分)
(2)f (x )＝x |x －4| ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
x (x －4)＝(x －2)2
－4， x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2
＋4， x <4.………………………………………………(7分)
f (x )的图象如图所示．
(3)由图可知，f (x )的减区间是[2,4]．……………………………………………………(9分)
(4)由图象可知f (x )>0的解集为 {x |0<x <4或x >4}．………………………………………………………………………(12分)
(5)∵f (5)＝5>4，
由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(14分)
10．解 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，
要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．
当0<a <1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(5分)
当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，
只需f 1(2)≤f 2(2)，
即(2－1)2≤log a 2，log 2
a
≥1.………………………………………………………………(12分)
∴1<a ≤2.………………………………………………………………………………(14分)
11．解 (1)方法一 ∵x >0，∴g (x )＝x ＋e 2
x ≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，……………………………………………………………(4分)
因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有根．…………………………………………………(6分)
方法二 作出g (x )＝x ＋e 2
x 的图象如图：
……………………………………………………………………………………………(4分)
可知若使g (x )＝m 有根，则只需m ≥2e.………………………………………………(6分)
方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0. 此方程有大于零的根，故
⎩⎨⎧
m 2
>0Δ＝m 2－4e 2≥0
…………………………………………(4分)
等
价
于
⎩⎨
⎧
m >0m ≥2e 或m ≤－2e
，故m ≥
2e.…………………………………………………(6分)
(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，
作出g (x )＝x ＋e 2
x (x >0)的图象．
∵f (x )＝－x 2
＋2e x ＋m －1 ＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.
其对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.……………………………………………………………………(10分)
故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，
即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．
∴m
的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋
∞)．………………………………………………(14分)。