人教版A版2019版一轮创新思维文数练习：第七章第一节简单几何体的结构、三视图和直观图

课时规范练 A 组 基础对点练
1．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( )
A ．8
B ．4 3
C ．4 2
D ．4
解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S ＝3×4＝4 3. 答案：B
2．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是( )
A.41π3
B.62π
3 C.83π3
D.104π
3
解析：由题意得，此几何体为球与圆柱的组合体，其体积V ＝43π×23＋π×22
×6＝104π3.
答案：D
3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．12＋4 2
B ．18＋8 2
C ．28
D ．20＋8 2
解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×1
2
×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选
D.
答案：D
4．已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为2
3
3
，则该锥体的俯视图可能是( )
解析：由正视图得该锥体的高是h ＝22－12
＝3，因为该锥体的体积为233，所以该锥
体的底面面积是S ＝23313h ＝233
33＝2，A 项的正方形的面积是2×2＝4，B 项的圆的面积是
π×12
＝π，C 项的大三角形的面积是12×2×2＝2，D 项不可能是该锥体的俯视图，故选
C. 答案：C
5．已知四棱锥P ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P
ABCD 的四个侧面中面积最大的
是( )
A ．3
B ．2 5
C ．6
D ．8
解析：四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接PM ，PN ，则
PN ＝5，PM ＝3，S △PAD ＝12×4×5＝25，S △PAB ＝S △PDC ＝12
×2×3＝3，S △PBC
＝1
2×4×3＝6. 答案：C
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π
解析：由三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图．其中长方体的长、宽、高分别是4,2,2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4.
∴长方体的体积V 1＝4×2×2＝16， 半个圆柱的体积V 2＝12×22
×π×4＝8π.
∴这个几何体的体积是16＋8π. 答案：A
7．一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．16π
B ．12π
C ．14π
D ．17π
解析：根据三视图可知几何体是一个球体切去四分之一，则该几何体的表面是四分之三球面和两个截面(半圆)． 由题意知球的半径是2，
∴该几何体的表面积S ＝34×4π×22＋π×22
＝16π.
答案：A
8．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π
2
，则正方体的棱长为________．
解析：设正方体棱长为a ，球半径为R ，则43πR 3＝9π2，∴R ＝3
2，∴3a ＝3，∴a ＝ 3.
答案： 3
9．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：由题意得到几何体的直观图如图，即从四棱锥P ABCD 中挖
去了一个半圆锥．其体积V ＝13×2×2×2－12×13×π×12
×2＝
8－π
3
. 答案：8－π3
10.某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为2 cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰)，俯视图是一个半径为2 cm 的圆(包括圆心)，则该零件的体积是________．
解析：依题意得，零件可视为从一个半球中挖去一个小圆锥所剩余的几何体，其体积为
12×4π3×23－13×π×22×1＝4π(cm 3
)． 答案：4π cm 3
B 组 能力提升练
1．已知圆锥的表面积为a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是( ) A.a
2 B.3πa
3π C.23πa 3π
D.
23a
3π
解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意知2πr ＝πl ，∴l ＝2r ，则圆锥的表面积S 表＝πr 2＋12π(2r )2＝a ，∴r 2
＝a 3π，∴2r ＝23πa 3π.
答案：C
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.16
3 B.203 C.152
D.132
解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23
－13×12×2×2×2－13×12×1×1×1＝132.故选D.
答案：D
3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视
图，则此几何体的体积为( ) A ．6 B ．9 C ．12
D ．18
解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，其底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3，则体积为13×1
2×6×3×3＝9.
答案：B
4．下图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )
A ．4
B ．5
C ．3 2
D ．3 3
解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF 最长且|AF |＝|BF |2
＋|AB |2
＝3 3.
答案：D
5.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( ) A.34 B.14 C.12
D.38
解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为1
2×2× (2＋4)＝6的四棱锥，其
体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的48＝1
2，故选
C. 答案：C
6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )
A.16π3
B.8π3
C ．4 3
D ．23π
解析：由题意可得该几何体是有一个侧面PAC 垂直于底面ABC ，高为
3，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．
则这个几何体的外接球的球心O 在高线PD 上，且是等边三角形PAC 的外心．
这个几何体的外接球的半径R ＝23PD ＝23
3.
则这个几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2
＝4π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2332＝16π
3. 答案：A
7．(2018·郑州质量预测)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为( )
A.2
3
B.43
C.8
3
D ．2
解析：由三视图可知，此四面体如图所示，其高为2，底面三角形的一边长为1，对应的高为2，所以其体积V ＝13×12×2×1×2＝2
3，故选A.
答案：A
8．(2018·天津测试)若一个几何体的表面积和体积相同，则称这个几何体为“同积几何体”．已知某几何体为“同积几何体”，其三视图如图所示，则a ＝( )
A.14＋223
B.8＋22
3
C.12＋223
D ．8＋2 2
解析：根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱，如图所示，可
得其体积为12(a ＋2a )·a ·a ＝32a 3，其表面积为12·(2a ＋a )·a ·2＋a
2
＋a 2＋2a ·a ＋2a ·a ＝7a 2＋2a 2，所以7a 2＋2a 2
＝32a 3，解得a ＝
14＋22
3，故选A. 答案：A
9．在三棱锥A BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为
22，32，6
2
，则该三棱锥外接球的表面积为________． 解析：设相互垂直的三条侧棱AB ，AC ，AD 分别为a ，b ，c ，则12ab ＝22，12bc ＝32，12ac
＝
6
2
，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以三棱锥A BCD 的外接球的直径2R ＝a 2
＋b 2
＋c 2
＝6，则其外接球的表面积S ＝4πR 2
＝6π. 答案：6π
10．一个直三棱柱被削去一部分后的几何体ABCDE 及其侧视图、俯视图如图所示，其中侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形．设M 是BD 的中点，点N 在棱DC 上，且MN ⊥平面BDE ，则CN ＝______________________________________________________.
解析：由题意可得，DC ⊥平面ABC ，所以DC ⊥CB .若MN ⊥平面BDE ，则MN ⊥BD .又因为∠
MDN ＝∠CDB ，所以△DMN ∽△DCB ，所以DN DB ＝DM DC ，故DN 26＝64
，解得DN ＝3，所以CN ＝CD
－DN＝1. 答案：1。