2019高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明专题研究2数学归纳法练习理

哈哈哈哈哈哈哈哈你好
专题研究 2 数学概括法
1．在应用数学概括法证明凸n 边形的对角线为 1 n 等于 ( )
2n(n － 3) 条时，第一步查验第一个值
A． 1 B． 2
C． 3 D． 0
答案 C
分析边数最少的凸n 边形是三角形．
2．(2017 ·山东德州一模 ) 用数学概括法证明1＋ 2＋22＋＋ 2n＋2＝ 2n＋3－ 1，在考证n＝1 时，左侧的式子为()
A． 1 B．1＋2
C． 1＋2＋ 22 D． 1＋ 2＋ 22＋ 23
答案 D
分析
2 3
应选 D.
当 n＝ 1 时，左侧＝ 1＋ 2＋2 ＋ 2 .
1 1 1 127 *
3．用数学概括法证明不等式1＋2＋4＋＋2n－1 > 64 (n ∈ N ) 建立，其初始值起码应取( ) A． 7 B． 8
C． 9 D． 10
答案 B
1
1 1 1 1－2n 127 n
分析1＋2＋4＋＋2n－1＝1 > 64，整理得 2 >128，解得 n>7.
1－2
∴初始值起码应取8.
4．设 f(n) ＝ 1＋1
＋
1
＋＋ 1 (n ∈ N* ) ，那么 f(n ＋ 1) － f(n) 等于() 2 3 3n－ 1
1 1 1
A.
3n＋ 2 B.
3n
＋
3n＋ 1
1
＋1 1
＋
1
＋
1
C.
3n＋2 D.
3n＋ 1 3n 3n＋ 1 3n＋ 2
答案 D
5．用数学概括法证明34n＋1＋52n＋1(n ∈ N) 能被 8 整除时，当 n＝k＋ 1 时，关于34(k ＋ 1) ＋ 1＋52(k ＋ 1) ＋ 1 可变形为() 4k＋ 1 4k＋1 2k＋ 1 4 4k＋ 1 2 2k
A． 56· 3 ＋25(3 ＋5 ) B．3 ·3 ＋ 5 · 5
C．34k＋1＋52k＋1 D． 25(3 4k＋1＋ 52k＋1)
答案 A
分析由于要使用概括假定，一定将34(k ＋1) ＋ 1＋52(k ＋ 1) ＋1 分解为概括假定和能被8 整除的两部分．因此应变形为
4k＋ 1 4k＋ 1
5 2k＋ 1
56·3＋ 25(3 ＋) ．
6．若数列 {a } 的通项公式 a ＝ 1 ，记 c ＝2(1 － a )(1 － a ) (1 － a ) ，试经过计算 c ， c ， c 的值，推n n （ n＋ 1）2 n 1 2 n 1 23
测 c n＝__________ ．
哈哈哈哈
哈哈哈哈你好
n ＋ 2 答案
n ＋ 1
1
3
分析 c 1＝ 2(1 －a 1) ＝2×(1 － 4) ＝ 2，
1
1 4
c 2＝ 2(1 － a 1)(1 － a 2) ＝2×(1 － 4) ×(1 － 9) ＝ 3，
c ＝ 2(1 － a )(1 － a )(1 － a ) ＝2×(1 － 1
1
1
5
4) ×(1 －
9) ×(1 －
16) ＝4
， 3
1
2
3
n ＋ 2 故由概括推理得
c n ＝
.
n ＋ 1
7．设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且对随意的自然数
n 都有： (S n －1) 2＝ a n S n .
(1) 求 S 1， S 2， S 3；
(2) 猜想 S n 的表达式并证明．
答案 (1)S
1
2
3 (2)S
n
1
＝2， S ＝
3，S ＝4
n ＝n ＋ 1，证明略
2
3
分析
2
2
1
(1) 由(S － 1) ＝S
，得 S ＝2；
1
1 1
2
－S )S ，得 S ＝
2
由(S －1) ＝(S
3；
2
2 1
2
2
2
3
由(S 3－1) ＝(S 3
－ S 2)S 3，得 S 3＝ .
4
n
(2) 猜想： S n ＝ n ＋ 1.
证明：①当 n ＝1 时，明显建立；
②假定当 n ＝k(k ≥1 且 k ∈N * ) 时， S k ＝ k 建立．
k ＋ 1
2
1
1
k ＋ 1
则当 n ＝ k ＋ 1 时，由 (S k ＋1－ 1) ＝a k ＋ 1S k ＋1，得 S k ＋ 1＝
＝
＝.
2－ S
kk ＋ 2
k
2－
k ＋ 1
从而 n ＝ k ＋ 1 时，猜想也建立． 综合①②得结论建立．
8．已知函数 f(x) ＝ x － sinx ，数列 {a n } 知足： 0<a 1<1， a n ＋ 1＝ f(a n )
， n ＝ 1， 2， 3， ，证明： 0<a n ＋ 1<a n <1.
答案 略
分析 先用数学概括法证明
0<a n <1，n ＝ 1， 2， 3， .
①当 n ＝ 1 时，由已知，结论建立．
②假定当 n ＝ k 时结论建立，即 0<a k <1.
由于 0<x<1 时， f ′ (x) ＝1－ cosx>0 ，
因此 f(x) 在 (0 ， 1) 上是增函数．
又 f(x) 在 [0 ， 1] 上连续，从而 f(0)<f(a k )<f(1) ，即 0<a k ＋ 1<1－ sin1<1.
故当 n＝ k＋ 1 时，结论建立．
由①②可知，0<a n<1 对全部正整数都建立．
又由于 0<a n<1 时，
a n＋1－ a n＝ a n－ sina n－ a n＝－ sina n<0，
因此 a n＋1<a n.
综上所述 0<a n＋1<a n<1.
9． (2018 ·保定模拟 ) 已知 f(x) 3 2 1 ＝ f(a 1
＝x－2x ，设 0＜ a ＜2， a ) ， n∈ N ，证明： a ＜n＋1.
1 n ＋1 n ＋n
答案略
1
证明(1) 当 n＝ 1 时， 0＜ a1＜2，
1
不等式 a n＜n＋1建立；
312111
因 a2＝f(a 1) ＝－2(a 1－3) ＋6≤6<3，
故 n＝2 时不等式也建立．
(2) 假定 n＝k(k ≥2) 时，不等式
1
建立，由于 f(x)
3 2
的对称轴为
1 1
a k＜＝ x－ x x＝，知 f(x) 在(－∞， ]上
k＋ 1 2 3 3
1 1 1
为增函数，因此由a k＜k＋1≤3，得 f(a k)＜f( k＋ 1)．
1 3 1 1 1
＝1 k＋ 4 1
于是有 a k＋1＜－·
（ k＋ 1）2＋－－ 2 ＜.
k＋ 1 2 k＋ 2 k＋ 2 k＋2 2（ k＋1）（ k＋2）k＋2 因此当 n＝ k＋ 1 时，不等式也建立．
依据 (1) 、 (2) 1
可知，对任何 n∈ N ，不等式 a ＜n＋1建立．
＋n
10．已知数列 {a n} 的各项都是正数，且知足：
1
a0＝ 1， a n＋1＝ a n·(4 － a n) ，(n ∈ N) ．
2
证明： a <a <2，(n ∈ N) ．
nn＋ 1
答案略
证明方法一：用数学概括法证明：
1 3 (1)当 n＝ 0 时， a0＝ 1， a1＝2a0(4 － a0) ＝2，因此 a0<a1<2，命题正确．
(2)假定 n＝ k 时命题建立，即 a k－1<a k<2.
则当 n＝ k＋ 1 时， a k－ a k＋1
＝ a (4 － a ) － a (4 － a )
1 k－ 1 k－ 1 1 kk
2 2
1
＝ 2(a k－1－ a k) －2(a k－1－ a k)(a k－1＋ a k) 1
＝ (a k－1－ a k)(4 － a k－1－ a k) ．
2
而 a k－1－ a k<0，4－ a k－1－ a k >0，因此 a k－ a k＋1<0.
又 a k＋1＝1
a k (4 － a k ) ＝
1
[4 －(a k－ 2) 2]<2.
22
因此 n＝ k＋ 1 时命题建立．
由 (1)(2) 可知，对全部 n∈N 时有 a n <a n＋1<2.
方法二：用数学概括法证明：
0 1 1 0 0 3
(1) 当 n＝ 0 时， a ＝ 1， a ＝2a (4 － a ) ＝2，
0 1
因此 0<a <a <2.
(2)假定 n＝ k 时有 a k－1<a k<2 建立，
1
令 f(x) ＝2x(4 －x) ， f(x) 在 [0 ， 2] 上单一递加，因此由假定有f(a k－1)<f(a k)<f(2)．
11 1
即2a k－1(4 － a k－1)< 2a k (4 － a k)< 2× 2×(4 － 2) ．也即当 n＝ k＋ 1 时， a k<a k＋1<2 建立．
因此对全部n∈N，有 a k <a k＋1<2.
nn 1 1 n n n＋ 1
成等差数列，nn＋ 1 n＋ 1 *
11．在数列 {a } ， {b } 中， a ＝ 2， b ＝ 4，且 a ， b ，a b ， a ，b 成等比数列 (n ∈ N) ．(1)求 a2， a3， a4及 b2，b3， b4，由此猜想 {a n} ， {b n} 的通项公式，并证明你的结论；
(2) 证明：
1
＋
1
＋＋
1 5
a ＋
b a ＋ b a ＋ b < .
1 2 n
12
1 2 n
答案(1)a 2 ＝ 6， a3＝ 12，a4＝ 20， b2＝9， b3＝ 16，b4＝ 25， a n＝n(n ＋ 1) ， b n＝ (n ＋1) 2，证明略 (2) 略
分析(1) 由条件得
2
2b n＝a n＋ a n＋1， a n＋1＝ b n b n＋1.
由此可得a2＝ 6， b2＝ 9， a3＝12， b3＝ 16， a4＝ 20， b4＝ 25.
2
猜想 a n＝ n(n ＋ 1) ， b n＝ (n ＋1) .
①当 n＝ 1 时，由上可得结论建立．
②假定当n＝ k 时，结论建立，即
a k＝ k(k ＋ 1) ，
b k＝(k ＋ 1) 2. 那么当 n＝ k＋ 1 时，
a k＋1＝ 2
b k－ a k＝ 2(k ＋ 1) 2－k(k ＋ 1) ＝ (k ＋ 1)(k ＋ 2) ，
2
ak ＋1 2
b k＋1＝＝(k＋2) .因此当n＝k＋1时，结论也建立．
由①②，可知a n＝ n(n ＋ 1) ， b n＝ (n ＋1) 2对全部正整数都建立．
1 1 5
(2)＝ < .
a1＋b1 6 12
当 n≥2时，由 (1) 知
a n＋
b n＝ (n ＋ 1)(2n ＋ 1)>2(n ＋1) ·n.
故
1
＋
1
＋＋
1 ＋ b ＋ b a ＋ b
a a
2 n 1 12 n
1 1 1
＋1
＋＋
1
)
< ＋ (
n（ n＋ 1）6 2 2×33×4
1 1 1 1 1 1 1 1 ＝6＋2( 2－3＋3－4＋＋n－n＋1)
1 111 1 1 5
＝
6＋
2
(
2
－
n＋ 1
)<
6
＋
4
＝
12
.
1．用数学概括法证明不等式
1 1 1 13
的过程中，由 n＝ k 推导 n＝ k＋1 时，不等式的左侧增n＋ 1
＋
n＋ 2
＋＋
n＋ n
＞
24
加的式子是 ________．
1
答案
（ 2k＋ 1）（ 2k ＋ 2）
分析不等式的左侧增添的式子是2．用数学概括法证明：对随意的答案略
1111 1
2k＋ 1
＋
2k＋ 2
－
k＋1
＝
（ 2k＋ 1）（ 2k＋2）
，故填
（ 2k ＋ 1）（ 2k＋2）
. n∈ N*，
1
＋
1
＋＋
1
＝
n
.
1×33×5（2n－1）（2n＋1）2n＋ 1
分析(1) 当 n＝ 1 时，左侧＝ 1 ＝
1，右侧＝ 1 ＝1，左侧＝右侧，因此等式建立．
1×33 2×1＋ 1 3
(2)假定当 n＝k(k ∈ N*且 k≥1) 时等式建立，即有
1 1 1
＝k
，
＋＋＋
（ 2k－1）（ 2k＋ 1）2k＋
1×33×5 1 则当 n＝ k＋ 1 时，
1 1 1
＋1
＋＋＋
（ 2k－1）（ 2k＋ 1）（ 2k＋ 1）（ 2k＋ 3）1×33×5
k 1 k（ 2k＋3）＋ 1
＝
2k＋ 1＋
（ 2k＋ 1）（ 2k＋ 3）
＝
（ 2k＋ 1）（ 2k＋ 3）
2k2＋ 3k＋1k＋ 1k＋ 1
＝＝＝，（ 2k＋1）（ 2k＋ 3）2k ＋ 32（ k＋ 1）＋ 1
由 (1)(2)可知，对全部n∈N*等式都建立．
3．(2017 ·湖北宜昌一中模拟) 已知函数 f(x) ＝1
x3－x，数列 {a n} 知足条件： a1≥ 1，a n＋1≥ f ′ (a n＋ 1) ．试比较3
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋1
与 1 的大小，并说明原因．
1＋ a1 1＋ a2 1＋a3 1＋a n
答案
1
＋
1 1
＋＋
1
<1 1＋ a ＋1＋ a
1＋ a 1＋ a
3 n
1 2
分析∵f ′ (x) ＝ x2－ 1，a n＋1≥ f ′ (a n＋ 1) ，
∴a n＋1≥ (a n＋ 1) 2－ 1.
∵函数 g(x) ＝ (x ＋ 1) 2－ 1＝ x2＋ 2x 在区间 [1 ，＋∞ ) 上单一递加，于是由 a1≥ 1，
得 a 2≥(a 1＋ 1) 2－1≥22－ 1，
从而得 a 3≥ (a 2＋ 1) 2－1≥24－1＞ 23－ 1.
由此猜想： a n ≥2n －1.
下边用数学概括法证明这个猜想：
①当 n ＝ 1 时， a 1≥ 21－ 1＝1，结论建立；
②假定 n ＝ k(k ≥1且 k ∈ N * ) 时结论建立，
k
即 a k ≥2－ 1，
则当 n ＝ k ＋ 1 时，
由 g(x) ＝ (x ＋ 1) 2－ 1 在区间 [1 ，＋∞ ) 上单一递加知，
a k ＋1≥ (a k ＋ 1) 2
2k
k ＋1
－1≥2 －1≥2 － 1，
即 n ＝k ＋ 1 时，结论也建立．由①、②知，对随意 n ∈ N * ，都有 a n ≥ 2n － 1.
即 1＋a n ≥ 2n ，
1
1
∴
1＋ a
n
≤
2
n
.
1
1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 1 1
1
1
1 n
∴＋
1＋ a 1＋ a 1＋ a
≤ ＋ 2＋ 3＋ ＋ 2
n
＝ 1－ ( ) ＜1.
1＋ a
2
3
n 2
2 2
2 1。