经济数学基础08春期末复习综合练习题及参考答案

经济数学基础08春期末复习综合练习题及参考答案
微分学部分
第一章 函数
考试要求：
(1) 理解函数概念，掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；
(2) 了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；
(3) 了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；
(4) 知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质及图形；
(5) 了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念； 重点：定义域确定，对应关系确定和奇偶性的判别
典型例题：
一、单项选择题
1．函数()
1lg +=x x
y 的定义域是（ ）．
A ．1->x
B ．0≠x
C ．0>x
D ．1->x 且0≠x
2．函数x x x f -+-=
4)
1ln(1
)(的定义域是（ ）。

A ．],1(+∞ B ．)4,(-∞ C ．
]4,2()2,1(⋃ D )4,2()2,1(⋃ 答案：C
3．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．
A ．2
)()(x x f =，x x g =)( B ．1
1)(2--=x x x f ，x x g =)(+ 1
C ．2ln x y =，x x g ln 2)(=
D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g 答案：D
4．设x
x f 1
)(=，则))((x f f =（ ）．
A ．x 1
B ．21
x C ．x D ．2x
答案：C
5．下列函数中为奇函数的是（ ）． A ．x x y -=2 B ．x x y -+=e e
C ．)1ln(2x x y ++=
D ．x x y sin = 答案：C
6．下列函数中为偶函数的是（ ）．
A ．x x y --=22
B ．x x cos
C ．2sin x x +
D ．x x sin 3 答案：D 二、填空题
1．函数x
x x f --
+=21)5ln()(的定义域是 ．
答案：(-5, 2 )
2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：62-x
3．设2
1010)(x
x x f -+=，则函数的图形关于 对称．
答案：y 轴
第二章 极限、导数与微分
考核要求：
⑴ 了解极限概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；
⑵ 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；
⑶ 掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法；
⑷ 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，知道连续与极限；会判断函数在某点的连续性；
⑸ 理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；
⑹ 熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单的隐函数导数的方法；
⑺ 知道微分的概念，会求函数的微分；
⑻ 知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数．
重点：无穷小量，函数连续，导数，微分的概念，极限，导数的计算
典型例题：
一、单项选择题
1. 已知1sin )(-=
x
x
x f ，当（ ）时，)(x f 为无穷小量. A . x →0 B . 1→x C . -∞→x D . +∞→x
答案：A
2．函数sin ,0(),0x
x f x x k x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( )．
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
3. 函数⎪⎩⎪⎨⎧
=≠+=0
,10
,1sin )(x x k x
x x f 在x = 0处连续，则=k （ ）．
A . 1
B . 0
C . 2
D .1- 答案：A
4．曲线1
1
+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）．
A ．21-
B ．21
C ．2
D ．2-
答案：A
5. 曲线1+=x y 在点(1, 2)处的切线方程为（ ）．
A .2121+=x y
B . 23
21+=x y
C . 2121-=x y
D . 2
3
21-=x y
答案：B
6．若函数x x
f =)1
(，则)(x f '=（ ）．
A ．21x
B ．-21x
C ．x 1
D ．-x 1
二、填空题
1．已知x
x
x f sin 1)(-=，当 时，)(x f 为无穷小量．
答案：0→x
2．已知⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠--=1111
)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a .
答案2
3．函数3
21
2--+=x x x y 的间断点是 ．
答案：3,1=-=x x
4. 函数2
33
)(2+--=x x x x f 的连续区间是 ．
答案：),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞
5
．曲线y =)1,1(处的切线斜率是
．
答案：2
1
．
6. 已知x x f 2ln )(=，则])2(['f = ． 答案：0 三、计算题
1．已知y x x x 2cos -=，求)(x y ' ．
解： x x x y 2sin )2(ln 22
3
21
+='
2．已知)(x f x x sin 2=，求)(x f '
解：)(x f 'x
x
x x x 21
cos 2sin 2ln 2+=．
3．已知x xe x y -=2cos ，求)(x y '； 解：)()2(sin 2x x xe e x x y +--='
4．已知2
23sin x e x y -+=，求d y ．
解： )4()(c o s s i n 32
22
x e x x y x -+='-
d y=dx x
e x x x )4)(cos sin 3(2
22--
5．设 y x x x ln 2
++=，求d y ． 解：x
x
x y 1212
3+
-=
'-
dx x
x
x
dy )121
(
2
3+-=- 6．设2
e 2sin x x y -+=，求y d ． 解：2
e 22cos 2x x x y --='
x x x y x d )e 22cos 2(d 2
--=
第三章 导数应用
考核要求：
⑴ 掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间；
⑵ 了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值； ⑶ 了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法；
⑷ 熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等）
重点：单调性判别，极值的概念及求法，导数在经济分析中的应用
典型例题：
一、单项选择题
1．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ ）．
A ．sin x
B ．e x
C ．x 2
D ．3 – x
答案：D
2．下列结论正确的有（ ）．
A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0
B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点
C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点
D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 答案：A
3. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（ ）．
A ．p
p 32- B ．-
-p
p 32 C ．32-p p
D ．--32p
p
答案：B
二、填空题
1．函数2)1(+=x y 的单调增加区间为 ．
答案：（),1+∞-
2. 函数y x =-312()的驻点是 . 答案：1=x
3．需求量q 对价格p 的函数为2
e 100)(p p q -⨯=，则需求弹性为E p =。

答案：
2
p 三、应用题
1．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,
求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量x 为多少时，平均成本最小？
解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
x x x C 625.0100)(2++=
625.0100
)(++=x x
x C ，65.0)(+='x x C
所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C
5.1861025.010
100
)10(=+⨯+=C ， 116105.0)10(=+⨯='C
（2）令 025.0100
)(2=+-='x
x C ，得20=x （20-=x 舍去）
因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.
2．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.
解 由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==
利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .
因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， 且最大利润为
1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 3．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 解 因为 C q ()=
C q q ()
=05369800.q q
++ （q >0） 'C q ()=(.)05369800q q
++'=0598002.-q
令'C q ()=0，即059800
2.-
q
=0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.
所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天
产量应为140件. 此时的平均成本为
()140=0514*******
140
.⨯++=176 （元/件）
4．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：
（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？
解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．
因为 q p =-100010，即p q =-1001
10
，
所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(1001
10
-q )q =1001102q q -．
（2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001
10
2q q --(60q +2000)
= 40q -1
10
2q -2000
且 'L q ()=(40q -110
2q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．。