2016年北京80中期中

2016北京八十中高二（上）期中
数学（理）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）圆x2+y2+2y=1的圆心为（）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，2）D．（0，﹣2）
2．（4分）命题“∃x0∈R，”的否定是（）
A．∀x∈R，B．∃x0∈R，
C．∃x0∈R，D．∀x∈R，
3．（4分）双曲线的焦点坐标是（）
A．（﹣6，0），（6，0）B．C．（﹣2，0），（2，0）D．
4．（4分）若p是真命题，q是假命题，则（）
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题
5．（4分）抛物线y2=4ax（a＜0）的焦点坐标是（）
A．（a，0）B．（﹣a，0）C．（0，a）D．（0，﹣a）
6．（4分）“k=1”是“直线y=x+k与圆x2+y2=1相交”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（4分）圆x2+y2=2与圆x2+y2+4y+3=0的位置关系是（）
A．相离 B．外切 C．内切 D．相交
8．（4分）已知两点A（﹣1，0），B（0，1），点P是圆C：（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则点P到直线AB的距离d 的最大值与最小值分别是（）
A．+1，﹣1 B．+1，﹣1 C．，D．+1，﹣1
9．（4分）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）
A．B．C． D．
10．（4分）已知点P为椭圆+=1上位于第一象限内的点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的
半径为，则点P的坐标是（）
A．（，2）B．（，）C．（，）D．（2，）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．
12．（4分）命题“若x＞y，则|x|＞|y|”的否命题是：．
13．（4分）已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为．
14．（4分）若点P到直线y=﹣3的距离与它到点（0，3）的距离相等，则点P的轨迹方程是．
15．（4分）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a= ．
16．（4分）点P是直线kx+y+3=0上一动点，PA，PB是圆C：x2﹣2x+y2=0的两条切线，A，B为切点．若四边形PACB的最小面积为2，则此时线段PC的长为；实数k的值是．
三、解答题（共3小题，满分36分）
17．（12分）已知圆C经过坐标原点O和点（2，2），且圆心在x轴上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l经过点（1，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．
18．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A，B两点，
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）O为抛物线顶点，求证：OA⊥OB．
19．（12分）已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；
（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．
数学试题答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．【解答】由题意可得：圆的方程为：x2+y2+2y=1，
所以圆的标准方程为：x2+（y+1）2=2，
所以圆的圆心为（0，﹣1）．
故选：B．
2．【解答】∵命题：“∃x0∈R，”是特称命题，
∴特称命题的否定是全称命题得“∃x0∈R，”的否定是：“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”．
故选：A．
3．【解答】因为双曲线，可知焦点在X轴上，a=2，b=，所以c2=4+2=6，
所以双曲线的焦点坐标是．
故选B．
4．【解答】∵p是真命题，q是假命题，
∴p∧q是假命题，选项A错误；
p∨q是真命题，选项B错误；
￢p是假命题，选项C错误；
￢q是真命题，选项D正确．
故选D．
5．【解答】整理抛物线方程得y2=4ax，p=2a
∴焦点坐标为（a，0）
故选A
6．【解答】k=1时，直线为x﹣y+1=0，圆x2+y2=1的圆心O到直线的距离为d=＜1，
直线与圆相交，充分性成立；
直线y=x+k与圆x2+y2=1相交时，圆心到直线的距离d=＜1，
解得k∈（﹣，），必要性不成立；
所以“k=1”是“直线y=x+k与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件．
故选：A．
7．【解答】圆x2+y2=2的圆心（0，0），半径为R=；
圆x2+y2+4y+3=0化为标准方程得：
x2+（y+2）2=1，
故圆心坐标（0，﹣2），半径为r=1，
∵圆心之间的距离d=2，R+r=1+＞2，R﹣r=，
∴R﹣r＜d＜R+r，
则两圆的位置关系是相交．
故选：D．
8．【解答】∵点A（﹣1，0），B（0，1），∴直线AB的方程为+=1，即 x﹣y+1=0．圆心（1，0）到直线AB的距离d==，圆的半径为1，
故点P到直线AB的距离d的最大值为d+r=+1，最小值为d﹣r=﹣1，
故选：B．
9．【解答】∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，
∴∠F1PF2=90°，
∵|PF1|=2|PF2|，
∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，
∴16a2+4a2=4c2，
∴c=a，
∴．
故选A．
10．【解答】由椭圆+=1可得a=3，=2．
设P（x，y）（x，y＞0）．
∵△PF1F2的面积S=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=．
∴=y×2×2
解得y=．
代入椭圆方程可得：=1，
解得x=．
∴P．
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y=±x
∴双曲线的渐近线方程为
故答案为：
12．【解答】∵“x＞y”的否定是“x≤y”，“|x|＞|y|”的否定是“|x|≤|y|”；∴命题“若x＞y，则|x|＞|y|”的否命题是：
“若x≤y，则|x|≤|y|”；
故答案为：“若x≤y，则|x|≤|y|”．
13．【解答】由题意知：椭圆+=1中a=2，b=，c=1
∴△PF1F2周长=2a+2c=4+2=6．
故答案为：6．
14．【解答】∵点P到直线y=﹣3的距离与它到点（0，3）的距离相等，
∴点P的轨迹是以F为焦点、直线l：y=﹣3为准线的抛物线，
因此，设P的轨迹方程为x2=2px，（p＞0）
可得p=3，解得p=6，2p=12
∴动点P的轨迹方程为x2=12y．
故答案为：x2=12y．
15．【解答】由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），
公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|
由图可知，解之得a=1．
故答案为：1．
16．【解答】圆C：x2﹣2x+y2=0的圆心（1，0），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，∵四边形PACB的最小面积是2，
∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切线长），∴d最小值=2
圆心到直线的距离就是PC的最小值，=
∴k=2或k=﹣
∵k＞，∴k=2或k=﹣
故答案为：；k=2或k=﹣
三、解答题（共3小题，满分36分）
17．【解答】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，0），
依题意，有，…（2分）
即a2=a2﹣4a+8，解得a=2，…（4分）
所以圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4．…（6分）
（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，…（8分）
所以直线x=1符合题意．…（9分）
设直线l方程为y﹣2=k（x﹣1），
即kx﹣y﹣k+2=0，
则，…（11分）
解得，…（12分）
所以直线l的方程为，
即3x+4y﹣11=0．…（13分）
综上，直线l的方程为x﹣1=0或3x+4y﹣11=0．
18．【解答】（Ⅰ）联立直线与抛物线方程：，消去y，整理得k2x2+（2k2+1）x+k2=0，∵抛物线和直线相交于两点，
∴，不等式组恒成立，即解得k∈R且k≠0．
（Ⅱ）证明：联立直线与抛物线方程：，消去y，整理得ky2+y﹣k=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=﹣1，
∵点A，B在抛物线y2=﹣x上，
∴，，，
∵k OA•k OB====﹣1，
所以OA⊥OB．
19．【解答】（Ⅰ）由，
得3x2+4x=0，
解得x=0或，
∴A，C两点的坐标为（0，1）和，
∴．
（Ⅱ）①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，
∵|OB|=3|OP|，P在线段OB上，
∴，求得，
∴△OAC的面积等于．
②若B不是椭圆的左、右顶点，
设AC：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），C（x2，y2），
由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
则，，
∴AC的中点P的坐标为，
∴，代入椭圆方程，化简得2k2+1=9m2．
计算|AC|===．∵点O到AC的距离d O﹣AC=．
∴△OAC的面积=．
综上，△OAC面积为常数．。