文科数学2021高考数学押题预测卷(新课标Ⅱ卷)03(参考答案)

5分
∴ x1 x2 2k ， x1x2 2k 2 ，∴ P(k，k 1) ，∴点 P 的轨迹方程为 x y 1 0 ； 6 分
(2)由(1)知： | AB | 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 2 1 k 2 k 2 2k 2 ，
8分
又 P(k，k 1) 到直线 AB 的距离为： d | k 2 2k 2 | ，
6分
又
x
1 2
，故分离参数可得
a a
x 2 x
x 4 x
，
7分
令函数 g(x) x 2 ( x 1 )，显然 g(x) 在[ 1 ， ) 上单调递减，∴ g(x) g( 1 ) 7 ，
x2
2
22
当 x 1 时， x 4 2 x 4 4 (当且仅当 x 2 时等号成立)，
9分
)
上单调递减，
2
2
又
(0)
1
0
，
(
2
)
2
0
，∴存在唯一的
x0
(0， 2
)
使据
( x0
)
0
，
7分
当 0 x x0 时 (x) 0 ，则 h(x) 2(x) 0 ，∴ h(x) 在 (0，x0 ) 上单调递增，
当
x0
x
Hale Waihona Puke 2时( x)
0
，则
h( x)
2( x)
0
，∴
h(x)
在
(x0，2 )
由 tan A 1 2c 得： sin A cos B 1 2c ，又由正弦定理得： c sin C ，
2分
tan B
b
cos A sin B
b
b sin B
即 sin A cos B cos A sin B sin A cos B cos A sin B sin C 2sin C ， 4 分
4分
(2)设
h(x)
2
f
(x)
1
2
x
cos
x
1
，
h(x)
的定义域为
(0， )
，
h(
x)
2(cos
x
x
sin
x)
，5
分
2
文科数学 第 3 页（共 5 页）
设
( x)
cos
x
x
sin
x
，
( x)
的定义域为
(0，
)
，
( x)
2
sin
x
x
cos
x
，
6
2
分
当
x
(0，
)
时，
(
x)
0
恒成立，∴
( x)
在
(0，
上单调递减，
8分
∴ h(x) 在 x x0 处取得极大值也是最大值，
又 h(0) 1 0 ， h( ) 2 1 0 ， h( ) 1 0 ，
10
44
2
分
∴
h(
x)
在
(0，
)
与
(
，
)
上各有一个零点，
4 42
即当
x
(0，
)
时，方程
2
f
(
x)
1
0
有且仅有
2
个实数根。
2
12 分
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
∴ | OA | 的最大值为 2 ( 2 1) 。
| OB |
6
10 分
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
【答案】(1){x | 3 x 7} ；(2)[ 7 ，4] 。
2
2
【解析】(1)当 a 3 时， f (x) | x 2 | | 3x 3 || x 2 | 3 | x 1| ，
1分
①当 x 2 时，不等式可化为 (x 2) 3(x 1) 13 ，解得 x 3 ，∴ 3 x 2 ，2 分
②当 2 x 1 时，不等式可化为 (x 2) 3(x 1) 13 ，解得 x 4 ，∴ 2 x 1 ，3 分
③当 x 1 时，不等式可化为 (x 2) 3(x 1) 13 ，解得 x 7 ，∴1 x 7 ，
2
由正弦定理可得
a
sin
3 sin B
c sin C
，
6
3
分
∴ac
3
3 sin C
3
3 sin( 2 B)
3
3
3( 3 cos B 1 sin B)
2
2
2sin B sin B 2sin B
sin B
2sin B
sin B
3(1 cos B) 3 3
2sin2 B 2
3 3 tan B
2021 年高考数学押题预测卷（新课标Ⅱ卷）03
文科数学·参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
B
AD
C
D
B
A CDABC
13． 0.4
14．1
15． 2
16．①②③
17．（本小题满分 12 分）
【答案】(1) 2 3 ；(2) (3 2 3，3 3 ) 。 2
【解析】(1)在 ABC 中， A B C ，
2 sin ) sin
| OB | 2 3
4
32
2
2 (sin cos sin2 ) 2 ( 1 sin 2 1 cos 2 )
3
32
2
2 (sin 2 cos 2 1) 2 [ 2 sin(2 ) 1] 2 ( 2 1) ，
9分
6
6
4
6
文科数学 第 4 页（共 5 页）
2
x
x
∴实数 a 的取值范围为[ 7 ，4] 。 2
10 分
文科数学 第 5 页（共 5 页）
9分
(3)用频率估计概率，1000 件产品中大约有 960 件合格品， 40 件不合格品，
10
分
则获利约为180 960 100 40 168800 ，
11 分
因此，该企业大约能获利168800 元。
12 分
19．（本小题满分 12 分） 【答案】(1)略；(2) 略；(3)略。 【解析】(1)证明：∵ D 、 M 分别为 AC 、 FC 中点，∴ DM // EF ， 又 EF 平面 A1EF ， DM 平面 A1EF ，∴ DM // 平面 A1EF ； (2)证明：∵ A1E BD ， EF BD ，且 A1E EF E ，∴ BD 平面 A1EF ， 又 A1F 平面 A1EF ，∴ BD A1F ； (3)解：直线 A1B 与直线 CD 不能垂直，证明如下： ∵平面 A1BD 平面 BCD ，平面 A1BD 平面 BCD BD ， EF BD ， EF 平面 BCD ，∴ EF 平面 A1BD ， 又∵ A1B 平面 A1BD ，∴ A1B EF ， 又∵ EF // DM ，∴ A1B DM ， 假设 A1B CD ，∵ A1B DM ， CD DM D ， ∴ A1B 平面 BCD ，∴ A1B BD ， 这与 A1BD 为锐角矛盾，∴直线 A1B 与直线 CD 不能垂直。
9分
1 k2
∴ S 1 | AB | d (k 2 2k 2)3 [(k 1)2 1]3 ， 2
∴ k 1时， S 取得最小值1，此时直线 AB 的方程为 y x 。
11 分 12 分
21．（本小题满分 12 分） 【答案】(1)略；(2)略。 【解析】(1)令 g(x) f (x) sin x x cos x sin x ，
3 ，
2sin B
2 2 2sin B cos B 2 2 2 2
9分
22
∵
B
，∴
B
，而 tan
2
3 ， tan 1 ，
6
2 12 2 4
12
4
又正切函数在 ( ，) 上单调递增，∴ 2 3 tan B 1 ，
12 4
2
10 分 11 分
从而 3 2 3 a c 3 3 ，即 a c 的取值范围是 (3 2 3，3 3 ) 。
y
x1 x
x12 2
，
1分
同理：以 B 为切点的切线为：
y
x2x
x22 2
，
2分
联立方程组：
y
y
x1x x2x
x12 2 x22 2
，解得
P( x1
2
x2
，x1x2 2
)
，
3分
设直线 AB 的方程为： y 1 k(x 1) ，
y 1 k(x 1)
联立方程组
y
1 2
x2
得： x2 2kx 2k 2 0 ，
4分
2
2
综上可知，原不等式的解集为{x | 3 x 7} ；
5分
2
(2)当 x 1 时，不等式 f (x) x2 x 3 ，即 x 2 | ax 3 | x2 x 3 ，整理得 | ax 3 | x2 1 2
，
则 x2 1 ax 3 x2 1，即 x2 2 ax x2 4 ，
2
2
12 分
18．（本小题满分 12 分）
文科数学 第 1 页（共 5 页）
【答案】(1)略；(2) 略；(3)168800 。
【解析】(1)根据上图和上表可得 2 2 列联表：
设备改造前 设备改造后 合计
合格品
172
192
364
不合格品
28
8
36
合计
200
200
400
将 2 2 列联表中的数据代入公式计算得： K 2 400 (172 8 28 192)2 12.21 ， 4 分 200 200 364 36
C1
的极坐标方程得曲线
C2
的极坐标方程，
即 2sin( ) 2 cos( ) ；
5分
24
4
(2)直线 l 的极坐标方程为 sin 3 ，设 A(1，) 、 B(2，) ，
则
1
2 cos(
)
4
、
2
3 sin
，
6分
∴ | OA |
1
2 cos(
) sin
2 (
2 cos
【答案】(1)
C1
：
2 sin(
)
4
，
C2
：
2
cos(
)
4
；(2)
2( 6
2 1) 。
【解析】(1)将 x cos 、 y sin 代人得曲线 C1 的极坐标方程，
即 2 2 cos 2 sin 0 ，即 2 sin( ) ，
2分
4
设
Q(，)
，则
P(，
) 2
，代入曲线
∵12.21 6.635 ，
∴有 99% 的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；
6分
(2)根据上图和上表可知，设备改造后产品为合格品的概率约为 192 0.96 ，
7分
200
设备改造前产品为合格品的概率约为 172 0.86 ，
8
200
分
即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好；
g(x) 的定义域为 (0，) ， g(x) cos x x sin x cos x x sin x ，
1
分 当 x (0，) 时， g(x) 0 恒成立，∴ g(x) 在 (0，) 上单调递减，
∴当 x (0，) 时， g(x) g(0) 0 恒成立，
3分
故当 x (0，) 时， f (x) sin x ；
cos A sin B cos A sin B
cos A sin B
cos A sin B sin B
即 cos A 1 ，解得 A ，∴ tan A tan 6 2 2 3 ；
5分
2
3
4 12 6 2
(2)在锐角 ABC 中， B C 2 ， B ， b 3 ，
36
1分 3分 5分 6分 7分
9分
11 分 12 分
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20．（本小题满分 12 分） 【答案】(1) x y 1 0 ；(2) y x 。
【解析】(1)设 A(x1，x212 ) ， B(x2，x222 ) ，
以 A 为切点的切线为
y
x12 2
x1(x x1) ，整理得：