【基础】控制工程基础第三章参考答案供参考

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第三章习题及答案
3-1.假设温度计可用传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。

发现需要时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少?
解：
2.已知某系统的微分方程为，初始条件，试求：
⑴系统的零输入响应yx(t)；
⑵激励f (t)(t)时，系统的零状态响应yf (t)和全响应y(t)；
⑶激励f (t) e3t (t)时，系统的零状态响应yf (t)和全响应y(t)。

解：(1) 算子方程为：
3.已知某系统的微分方程为，当激励=时，系统的全响应。

试求零输入响应yx(t)与零状态响应yf (t)、
自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。

解：
4. 设系统特征方程为：。

试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。

解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a4=1，a3=6，a2=12，a1=10，a0=3均大于零，且有
所以，此系统是稳定的。

5. 试确定下图所示系统的稳定性.
解：
系统稳定。

满足必要条件，故系统稳定。

6.已知单位反应系统的开环传递函数为，试求系统稳定时，参数和的取值关系。

解：
由Routh表第一列系数大于0得，即
7. 设单位反应系统的开环传递函数为，要求闭环特征根的实部均小于-1，求K值应取的范围。

解：系统特征方程为
要使系统特征根实部小于，可以把原虚轴向左平移一个单位，令，即
，代入原特征方程并整理得
运用劳斯判据，最后得
8. 设系统的闭环传递函数为，试求最大超调量σ％=9.6%、峰值时间tp=0.2秒时的闭环传递函数的参
数ξ和ωn的值。

解：∵=9.6%
∴ξ=0.6
∵tp=＝0.2
∴ωn=19.6rad/s
9.设单位负反应系统的开环传递函数为
求（1）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn；
（2）系统的峰值时间tp、超调量σ％、调整时间tS(△=0.02)；
解：系统闭环传递函数
与标准形式对比，可知 ， 故 ， 又
10. 一阶系统结构图如下图所示。

要求系统闭环增益，调节时间s ，试确定参数的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数 令闭环增益， 得： 令调节时间，得：。

11.设某高阶系统可用下列一阶微分方程：近似描述，其中，。

试证系统的动态性能指标为： ； ；
解 设单位阶跃输入 当初始条件为0时有：
1) 当 时
;
2) 求（即从到所需时间) 当 ; 当 ; 则
3) 求
12. 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。

（1）01011422)(2345=+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2345=+++++=s s s s s s D （3）022)(45=--+=s s s s D
（4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D
解（1）1011422)(2345+++++=s s s s s s D =0
Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2 ε
124- 10
S 6 S 0 10
第一列元素变号两次，有2个正根。

（2）483224123)(2345+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 12 32
S 4 3 24 48
S 3
3122434⨯-= 32348
316⨯-= 0
S
2 4243164
12⨯-⨯= 48 S 121644812
0⨯-⨯= 0 辅助方程 124802s +=,
S 24 辅助方程求导：024=s
S 0 48
系统没有正根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。

（3）022)(45=--+=s s s s D
Routh ： S 5 1 0 -1
S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-s
S 3 8 0 辅助方程求导 083
=s
S 2 ε -2 S ε16
S 0 -2
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224
=-s 可解出：
（4）0502548242)(2
345=--+++=s s s s s s D Routh ： S 5 1 24 -25
S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s s S 3 8 96 辅助方程求导 09683=+s s S 2 24 -50 S 338/3
S 0 -50
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程05048224=-+s s 可解出：
13.已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为)(1t 、t 和2
t 时系统的稳态误差。

⑴)15.0)(11.0(10
)(++=
s s s G
⑵)
22)(4()
3(7)(2
++++=
s s s s s s G 解： ⑴ 1010
()0
(0.11)(0.51)K G s v s s =⎧=
⎨
=++⎩ ()(0.11)(0.51)100D s s s =+++=经判断系统稳定
⑵ 2
73217(3)()428(4)(22)1
K s G s s s s s v ⨯⎧
==+⎪
=⨯⎨+++⎪
=⎩
经判断：系统不稳定。

14.已知单位负反馈系统的开环传递函数如下： 求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ；
（2）试求输入为t t r 31)(+=时，系统的稳态误差。

解：（1）将传递函数化成标准形式 可见，v ＝1，这是一个I 型系统 开环增益K ＝50；
（2）讨论输入信号，t t r 31)(+=，即A ＝1，B ＝3
误差06.006.0050
3
111=+=+∞+=++=
V p ss K B K A e
15. 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下： 求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ；
（2）试求输入为2425)(t t t r ++=时，系统的稳态误差。

解：（1）将传递函数化成标准形式
可见，v ＝2，这是一个II 型系统 开环增益K ＝100； （2）讨论输入信号，2
425)(t t t r ++=，即A ＝5，B ＝2, C=4 误差04.004.000100
4
2151=++=+∞+∞+=+++=
a V p ss K C K B K A e
16.在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。

⑴若)(1)(t t r =，0)(=t n 两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？ ⑵当有阶跃扰动1.0)(=t n 时，求扰动对两种系统的温度的影响。

解 （1）对（a ）系统： 1
101
110)(+=+=
s s K s G a ， 时间常数 10=T
632.0)(=T h （a ）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间； 对（a ）系统：1101
10101100
10110100
)(+=+=Φs s s b ， 时间常数 10110=
T 632.0)(=T h （b ）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。

（2）对（a ）系统： 1)
()
()(==
s N s C s G n 1.0)(=t n 时，该扰动影响将一直保持。

对（b ）系统： 101101
101
1010011)
()
()(++=++
==
Φs s s s N s C s n
1.0)(=t n 时，最终扰动影响为001.0101
1
1.0≈⨯。

)(t h 和调节时间t s 。

解：依题，系统闭环传递函数
421
=T T ， ∴3.33.3111==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=T T T t t s s 。

18. 设下图（a ）所示系统的单位阶跃响应如图（b ）所示。

试确定系统参数,1K 2K 和a 。

解：由系统阶跃响应曲线有 系统闭环传递函数为
2
22
2122
12)(n
n n s s K K as s K K s ωξωω++=++=Φ （1） 由 ⎪⎩⎪⎨⎧
===-=--o o o o n
p e
t 3.331.012
12
ξξπσωξπ 联立求解得 ⎩⎨⎧==28.3333.0n ωξ 由式（1）⎩
⎨⎧====2221108
2
1n n a K ξωω
另外 3lim 1
)(lim )(21
22100
==++=⋅
Φ=∞→→K K as s K K s s s h s s 19. 设角速度指示随动系统结构图如下图所示。

若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间s t 是多少？
解 依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为02,11-=λ。

写出系统闭环传递函数 闭环特征多项式
比较系数有 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=K T T 10110
2
200 联立求解得 ⎩⎨⎧==5.22.00K T 因此有 159.075.40''<''==T t s
20.单位反馈系统的开环传递函数为：)
12)(1()
1()(+++=
s Ts s s K s G 。

试在满足 1,0>>K T 的条件下，
确定使系统稳定的T 和K 的取值范围，并以T 和K 为坐标画出使系统稳定的参数区域图。

解 特征方程为：
Routh ： S 3 T 2 K +1 0>⇒T S 2 T +2 K 2->⇒T S T
TK K +-+221 1
4
2-+
<⇒K T S 0 K 0>⇒
K
综合所得条件，当1>K 时，使系统稳定的参数取值 范围如图中阴影部所示。

，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。

若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？
解法一 依题意，温度计闭环传递函数
由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T h 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。

视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T K
e ss ︒===
5.21010。

解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有
22.系统结构图如图所示。

试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。

解 局部反馈加入前，系统开环传递函数为 局部反馈加入后，系统开环传递函数为 23.已知单位反馈系统的开环传递函数为:)
22)(4()
1(7)(2
++++=
s s s s s s G 。

试分别求出当输入信号t t t r ),(1)(=和2
t 时系统的稳态误差[)()()(t c t r t e -=]。

解 )22)(4()
1(7)(2
++++=
s s s s s s G ⎩⎨⎧==1
87v K 由静态误差系数法
)(1)(t t r =时， 0=ss e
t t r =)(时， 14.17
8
===
K A e ss 2)(t t r =时， ∞=ss e
24.系统结构图如图3-59所示，要使系统对)(t r 而言是II 型的，试确定参数0K 和τ的值。

解 )1()1)(1()
1()
1)(1()1(1)1)(1()1()(02121021+-+++=+++-
+++=s K K s T s T s K s T s T s K K s T s T s K s G ττττ
依题意应有：⎩⎨
⎧=-+=-0
010210τK K T T K K 联立求解得 ⎩⎨⎧+==2101T T K
K τ
此时系统开环传递函数为
考虑系统的稳定性，系统特征方程为 当 1T ，2T ，0>K 时，系统稳定。

25.大型天线伺服系统结构图如图所示，其中ξ=0.707，n ω=15，τ=0.15s 。

⑴当干扰)(110)(t t n ⋅=，输入0)(=t r 时，为保证系统的稳态误差小于0.01º，试确定a K 的取值； ⑵当系统开环工作（a K =0），且输入0)(=t r 时，确定由干扰)(110)(t t n ⋅=引起的系统响应稳态值。

解 （1）干扰作用下系统的误差传递函数为
)(110)(t t n ⋅=时， 令
得： 1000≥a K
（2）此时有
26.已知控制系统结构图如图所示，试求：
⑴按不加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数)(s n Φ； ⑵当干扰)(1)(t t n ⋅∆=时，系统的稳态输出；
⑶若加入虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数，并求)(t n 对输出)(t c 稳态值影响最小的适合K 值。

解 （1）无顺馈时，系统误差传递函数为 （2）5
)(lim )()(lim )(0
∆=∆⋅
Φ=⋅Φ=∞→→s s s s N s s c n s n s n （3）有顺馈时，系统误差传递函数为 令 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∆=∆⋅
Φ=⋅Φ=∞→→25205)(lim )()(lim )(0
K s s s s N s s c n s n s n =0 得 25.0=K
27.试求图中所示系统总的稳态误差。

解：(a). 2()
1(0.51)
()200()0.52001(0.51)
e E s s s s R s s s s s φ+=
==+++
+
(b). 2
21(1)()111(1)
e s s s s s s s s φ++==+++
+ 28.设复合校正控制系统结构图如图3-65所示，其中N(s)为可量测扰动。

若要求系统输出C(s)完全不受N(s)的影响，且跟踪阶跃指令的稳态误差为零，试确定前馈补偿装置G c1(s)和串联校正装置G c2(s)。

解 （1）求)(1s G c 。

令
[]0)()1()1()()
1()(1)()1(11)()()(22111112221112
112=++++-+=++
++-
⎪⎭⎫ ⎝
⎛++==Φs G K K Ts K Ts s s G K K s K Ts s s G K K s K s G Ts s K K s K Ts K s N s C s c c c c n 得：
1
1
1)(K K s s G c +=。

（2）求)(2s G c 。

令
当)(1)(t t r =作用时，令 0)
(lim 1
)(lim 2211100
=+=⋅
Φ=→→s G K K K K s s s e c s e s ss 明显地，取 s
s G c 1
)(2=
可以达到目的。

29.复合控制系统结构图如图所示，图中1K ，2K ，1T ，2T 均为大于零的常数。

⑴确定当闭环系统稳定时，参数1K ，2K ，1T ，2T 应满足的条件； ⑵当输入t V t r 0)(=时，选择校正装置)(s G C ，使得系统无稳态误差。

解 （1）系统误差传递函数 列劳斯表
因 1K 、2K 、1T 、2T 均大于零，所以只要 212121K K T T T T >+ 即可满足稳定条件。

（2）令 2
12112212
00
)1)(1()1)(()1)(1(lim )()(lim K K s T s T s s T s G K s T s T s s V s s R s s e c s e s ss ++++-++⋅⋅
=⋅Φ=→→ 可得 2)(K s s G c =
30.系统结构图如图所示。

⑴为确保系统稳定，如何取K 值？
⑵为使系统特征根全部位于s 平面1-=s 的左侧，K 应取何值？ ⑶若22)(+=t t r 时，要求系统稳态误差25.0≤ss e ，K 应取何值？ 解 )5)(10(50)(++=
s s s K
s G ⎩
⎨⎧=1v K
（1） K s s s s D 505015)(2
3
+++=
Routh ：
501515)
15(5050155010
1
2
3>→<→-K K
s K K s
K s s
系统稳定范围： 150<<K
（2）在)(s D 中做平移变换：1-'=s s
Routh ： 72.05036365024.65031212
503123*********
12
3
=>→-'=<→-'-''K K s K K
s K s s 满足要求的范围是： 24.672.0<<K
（3）由静态误差系数法
当 22)(+=t t r 时，令 25.02≤=
K e ss 得 8≥K 。

综合考虑稳定性与稳态误差要求可得： 158<≤K
31.判断下列系统的能控性。

1) u x x x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x 解：
1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=0111A ，所以 从而系统的能控性矩阵为
显然有
满足能控性的充要条件，所以该系统能控。

2)由于该系统控制矩阵为
系统矩阵为
则有，
从而系统的能控性矩阵为
有
满足能控性的充要条件，所以该系统能控。

32.判断下列系统的能观测性。

⑴
⑵
解
⑴系统的观测矩阵[]11=C ，系统矩阵⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=0111A ，得 系统能观性矩阵为
可知 满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。

⑵系统的观测矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121110C ，系统矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=342100010A ，于是 系统能观性矩阵为
易知
满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。

33.试确定当p 与q 为何值时下列系统不能控，为何值时不能观测。

解 系统的能控性矩阵为
其行列式为
根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为2，亦即[]0det ≠Ab b
，可知4-≠p 或3≠p 。

系统能观测性矩阵为
其行列式为
根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为2，亦即det 0c cA ⎡⎤≠⎢⎥⎣⎦
，可知31≠q 或4
1-≠q 。

34.将下列状态方程化为能控标准形
解 该状态方程的能控性矩阵为
知它是非奇异的。

求得逆矩阵有，
由[]
[]1
11 100--=b A Ab b P n 得 同理，由A P P 12=得
从而得到P
由此可得，
所以，
此即为该状态方程的能控标准形。

□
35.将下列状态方程和输出方程化为能观标准形。

解 给定系统的能观性矩阵为
知它是非奇异的。

求得逆矩阵有，
由此可得，
根据求变换矩阵T 公式有，
代入系统的状态表达式。

分别得
所以该状态方程的能观标准型为
36.系统传递函数为()12
221228223++++=s s s s s G 1) 建立系统能控标准形实现。

2) 建立系统能观测标准形实现。

解
1) 将()s G 分子分母同时除以2，可得()s G 的首项为一的最小公分母为
则，
由于()s G 阵的p q >，可采用能控性实现为
验证由以上A ，B ，C 构成的状态空间表达式，必有()()s G B IA s C =--1
，从而此为该系统的能控性实现。

2) 将()s G 分子分母同时除以2，可得()s G 的首项为一的最小公分母为
则，
由于()s G 阵的p q >，可采用能观性实现为
验证由以上A ，B ，C 构成的状态空间表达式，必有()()s G B IA s C =--1
，从而此为该系统的能观性实现。

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