高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》知识点总复习附答案解析

新数学复习题《空间向量与立体几何》专题解析
一、选择题
1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面. 【详解】
①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=，所以平面
BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误；
③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确； ④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确； 故选C. 【点睛】
异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.
2．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．
272
π B ．
283
π C ．
263
π D ．
252
π 【答案】B 【解析】 【分析】
计算出ABC ∆的外接圆半径r ，利用公式2
22PA R r ⎛⎫=
+ ⎪
⎝⎭
可得出外接球的半径，进而可
得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】
ABC ∆的外接圆半径为
232sin
3
AB r π
=
=
PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为
2
2
22
23211233PA R r ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2
2
2128443R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
3．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）
A 34
B 234
C 517
D 317
【答案】D 【解析】 【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解. 【详解】
如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，
则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =.
因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，
所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1
222
HG AC =
=. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167
cos 22669
PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，
则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =.
在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅317
2317
==
⨯⨯. 故选：D 【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
4．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段1CC 上，动点P 在平面．．
1111D C B A 上，且AP ⊥平面1MBD .线段AP 长度的取值范围为( )
A ．2⎡⎣
B ．3⎡⎣
C ．322⎣
D ．622⎣ 【答案】D 【解析】 【分析】
以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，设(),,1P x y ，()0,1,M t ，由AP ⊥
平面1MBD ，可得+1
1x t y t =⎧⎨
=-⎩
，然后用空间两点间的距离公式求解即可. 【详解】
以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，
则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,,0,0,1A B M t D ，(),,1P x y .
()1,,1AP x y =-u u u r ,()11,1,1BD =--u u u u r ,()[]1,0,0,1，BM t t =-∈u u u u r
由AP ⊥平面1MBD ，则0BM AP ⋅=u u u u r u u u r
且01BD AP ⋅=u u u u r u u u r
所以10x t -+=且110x y --+=得+1x t =，1y t =-.
所以(
)2
2
2
1311222
AP x y t ⎛⎫=
-++=-+ ⎪⎝⎭u u u r 当12t =时，min 6AP =u u u r ，当0t =或1t =时，max 2AP =u u u r ， 所以62AP ≤≤u u u
r
故选：D
【点睛】
本题考查空间动线段的长度的求法，考查线面垂直的应用，对于动点问题的处理用向量方法要简单些，属于中档题.
5．在以下命题中：
①三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r
共面；
②若两个非零向量a r ，b r 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
共线；
③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--u u u r u u u r u u u u r u u u u r
，则P ，
A ，
B ，
C 四点共面
④若a r ，b r
是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠r r r ，则{},,a b c r r r 构成空
间的一个基底
⑤若{}
,,a b c r r r 为空间的一个基底，则{}
,,a b b c c a +++r r r r r r
构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论. 【详解】
①由空间基底的定义知，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
，
c r
共面，故①正确；
②由空间基底的定义知，若两个非零向量a r ，b r
与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r
，b r
共线，故②正确；
③由22221--=-≠，根据共面向量定理知,,,P A B C 四点不共面，故③错误；
④由c a b λμ=+r r r ，当1λμ+=时，向量c r 与向量a r ，b r
构成的平面共面，则{}
,,a b c r r r 不
能构成空间的一个基底，故④错误；
⑤利用反证法：若{}
,,a b b c c a +++r r r r r r
不构成空间的一个基底， 设()()(
)1a b x b c x c a +=++-+r r r r r r ，整理得()1c xa x b =+-r r r ，即,,a b c r r r
共面，又因{}
,,a b c r r r 为空间的一个基底，所以{
}
,,a b b c c a +++r r r r r r
能构成空间的一个基底，故⑤正确.
综上：①②⑤正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
6．已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A ．若m ∥β，则m ∥l B ．若m ∥l ，则m ∥β C ．若m ⊥β，则m ⊥l D ．若m ⊥l ，则m ⊥β
【答案】D 【解析】 【分析】
A 由线面平行的性质定理判断.
B 根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.
C 根据线面垂直的定义判断.
D 根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】
A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个
平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D. 【点睛】
本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
7．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）
A ．
2
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】C 【解析】 【分析】
设AE BF a ==，1
3
B EBF EBF V S B B '-'=
⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】
设AE BF a ==，则()()2
3119333288B EBF
a a V a a '-+-⎡⎤
=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦
，当且仅当3a a =-，即3
2
a =
时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=
352AF =2292
A F AA AF ''=+=，132
22
EF AC =
=
， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，
由余弦定理得222
81945
2
4
24
cos
93
22
22
22
A F EF A E
A FE
A F EF
+-
''
+-
'
∠===
'
⋅⋅⨯⨯
，
∴
4
A FE
π
'
∠=．
方法二：以B为坐标原点，以BC、BA、BB'分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则()
0,3,0
A，()
3,0,0
C，()
0,3,3
A'，
3
,0,0
2
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
∴
3
,3,3
2
A F
⎛⎫
'=--
⎪
⎝⎭
u u u u r
，()
3,3,0
AC=-
u u u r
，
所以
9
92
2
cos,
9
32
2
A F AC
A F AC
A F AC
+
'⋅
'===
'⋅⨯
u u u u r u u u r
u u u u r u u u r
u u u u r u u u r
所以异面直线A F'与AC所成的角为
4
π
．
故选：C
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.
8．已知ABC
V的三个顶点在以O为球心的球面上，且2
cos
3
A=，1
BC=，3
AC=，三棱锥O ABC
-的体积为14
6
，则球O的表面积为( )
A．36πB．16πC．12πD．
16
3
π
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，根据棱锥的体积求出O到平面ABC的距离，利用勾股定理计算球的半径OA，得出球的面积．
由余弦定理得22229122
cos 26AB AC BC AB A AB AC AB +-+-===
g ，解得22AB =， 222AB BC AC ∴+=，即AB BC ⊥．
AC ∴为平面ABC 所在球截面的直径．
作OD ⊥平面ABC ，则D 为AC 的中点， 11114
221332O ABC ABC V S OD OD -∆==⨯⨯⨯⨯=
Q g ， 7OD ∴=
． 222OA OD AD ∴=+=． 2416O S OA ππ∴=⋅=球．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断ABC ∆的形状是关键．
9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为（ ）
A 3
B ．
13
C 58
D 387
【解析】 【分析】
取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF ，推导出四边形BDFE 为平行四边形，可得出
//BE DF ，可得出异面直线BE 与CD 所成的角为CDF ∠，通过解CDF V ，利用余弦定理可求得异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值. 【详解】
取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF .
易知EF 是111A B C △的中位线，所以11//EF A B 且111
2
EF A B =
. 又11//AB A B 且11AB A B =，D 为AB 的中点，所以11//BD A B 且111
2
BD A B =
，所以//EF BD 且EF BD =.
所以四边形BDFE 是平行四边形，所以//DF BE ，所以CDF ∠就是异面直线BE 与CD 所成的角.
因为4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 、F 分别是AB 、11B C 、11A C 的中点， 所以111122C F AC =
=，111122
B E B
C ==且C
D AB ⊥. 由勾股定理得2
2
442AB =
+=2242
AC BC CD AB ⋅=
== 由勾股定理得2222115229CF CC C F =+=+=
2222115229DF BE BB B E ==+=+=.
在CDF V 中，由余弦定理得(
(
2
2
2
29
22
29
58cos 22922
CDF +-∠=
=
⨯⨯.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.
10．如图，在正方体1111ABCD A B C D - 中，,E F 分别为111,B C C D 的中点，点P 是底面
1111D C B A 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠ 的最大值是( )
A ．2
B ．2
C ．22
D ．32
【答案】C 【解析】
分析：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，则AO =P PM ，从而A 1P=C 1M ，由此能求出tan ∠APA 1的最大值．
详解：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，
设正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，
∵在正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 点P 是底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ， ∴AO =
P PM ，∴A 1P=C 1M=2
4AC =
∴tan ∠APA 1=1
1AA A P
22．
∴tan ∠APA 1的最大值是． 故选D ．
点睛：本题考查角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．
11．在ABC ∆中，设BAC α∠=，CA 与CB 所成的角是β，绕直线AC 将AB 旋转至
AB '，则在所有旋转过程中，关于AB '与BC 所成的角γ的说法正确的是( )
A ．当4παβ-≥时，[],γαβαβ∈-+
B ．当4π
αβ-<-时，[],γβααβ∈-+
C ．当4παβ+≥时，[],γαβαβ∈-+
D ．当4π
αβ+<时，,γαβαβ∈⎡-+⎤⎣⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】
首先理解异面直线所成的角的范围是0,
2πγ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
，排除选项A,B,C,对于D 可根据
AB 绕AC 旋转，形成以AC 为轴的圆锥，AB '是母线，再将异面直线所成的角，转化为
相交直线所成的角，判断最大值和最小值. 【详解】
因为γ是异面直线所成的角，所以0,2πγ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
A.当4
π
αβ-≥
时，αβ+的范围有可能超过
2
π，比如，3,46ππ
αβ==，所以不正确； B.当4
π
αβ-<-时，当3,46
ππ
βα=
=，此时[],γβααβ∈-+，也不正确； C.当4
π
αβ+≥，当3,46
ππ
αβ=
=，此时[],γαβαβ∈-+，故也不正确； D. 4
π
αβ+<
时，AB 绕AC 旋转，形成以AC 为轴的圆锥，AB '是母线，如图，
过点A 作BC 的平行线AD ，且CAD β∠=，'AB 与BC 所成的角γ转化为AB '与AD 所成的角，由图象可知，当AB '是AB 时，角最大，为αβ+，当AB '在平面ABC 内时，不与AB 重合时，角最小，此时为αβ-
故选：D 【点睛】
本题考查异面直线所成的角，重点考查轨迹，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是判断，并画出AB 绕AC 旋转，形成以AC 为轴的圆锥.
12．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若//αβ，m α⊥，则m β⊥； ③若//m α，//n α，则//m n ； ④若m α⊥，αβ⊥，则//m β. 其中真命题的序号为（ ） A ．①和② B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④
【答案】A 【解析】 【分析】
逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项. 【详解】
对于命题①，若//n α，过直线n 作平面β，使得a αβ⋂=，则//a n ，m α⊥Q ，
a α⊂，m a ∴⊥，m n ∴⊥，命题①正确；
对于命题②，对于命题②，若//αβ，m α⊥，则m β⊥，命题②正确； 对于命题③，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，命题③错误； 对于命题④，若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或//m β，命题④错误. 故选：A. 【点睛】
本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.
13．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（ ）
A ．,,m l m l βα⊥⊂⊥
B ．,,m l l m αβα⊥⋂=⊂
C ．//,,m l m l αβ⊥⊥
D ．,//,//l m l m αβ⊥
【答案】D 【解析】 【分析】
A ，有可能出现α，β平行这种情况.
B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.
C ，根据面面平行的性质定理判断.
D ，根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】
对于A ，m l ⊥，m β⊂，若l β⊥，则//αβ，故A 错误； 对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；
对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，又因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误； 对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确. 故选：D 【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
14．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A ．若，与所成的角相等，则
B ．若，，则
C ．若，，则
D ．若，
，则
【答案】C 【解析】
试题分析：若，与所成的角相等，则或，相交或，异面；A 错. 若
，，则
或
，B 错. 若
，
，则
正确. D ．若
，
，则
，相交或，异面，D 错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
15．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥
SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32 B ．8:27 C ．9:22 D ．9:28 【答案】A 【解析】 【分析】
根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r 的关系，从而得到圆锥的高与r 关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R 与r 间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ， 侧面积与底面积的比为2
πrl 2l
r r
π==,则母线l=2r,圆锥的高为
h=223l r r -=,
则圆锥的体积为
23
13πh 3r r π=, 设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=3r R -,BD=r, 在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+,即(
)
2
223R r r R =+
-,
展开整理得R=,3r 所以外接球的体积为33
344333393
R r ππ=⨯=, 故所求体积比为3
3393323293
r
r ππ=
故选：A
【点睛】
本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.
16．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．26【答案】B 【解析】
解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ，
其中面积最大的面为：1
232232
PAC S V =⨯⨯= . 本题选择B 选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
17．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上一点且12CE EC =，则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为（ ） A 11B 11 C 211
D 11【答案】B 【解析】 【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值． 【详解】
解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设3AB =，则()3,0,0A ，()0,3,2E ，()13,0,3A ，()3,3,0B
，
()3,3,2AE =-u u u r ，()10,3,3A B =-u u u r
，
设异面直线AE 与1A B 所成角为θ， 则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为：
1111
cos 222218AE A B AE A B
θ⋅===⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查利用向量法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.已知1l 的方向向量为a r
，2
l 的方向向量为b r
，则异面直线12,l l 所成角的余弦值为a b a b
⋅⋅r r r r .
18．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点.若AM ⊥平面α，且
B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（ ）
A ．3225
B ．442+
C ．2225
D ．62【答案】A 【解析】 【分析】
根据线面垂直确定平面α，再根据截面形状求周长. 【详解】
显然在正方体中BD ⊥平面11ACC A ,所以BD ⊥ AM ,
取AC 中点E, 取AE 中点O,则11
tan tan AOA ACM AO AM ∠=∠∴⊥, 取A 1C 1中点E 1, 取A 1E 1中点O 1,过O 1作PQ//B 1D 1,分别交A 1B 1,A 1D 1于P ,Q 从而AM ⊥平面BDQP ,四边形BDQP 为等腰梯形， 周长为22222123225+= A. 【点睛】
本题考查线面垂直判断以及截面性质，考查综合分析与求解能力，属难题.
19．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA u u u v ，OB uuu v ，OC u u u v 表示向量OG u u u v
是（ ）
A ．2233
OG OA OB OC =++
u u u v u u u v u u u v u u u v
B ．122233OG OA OB O
C u u u v u u u v u u u v u u u v =++
C ．111633
OG OA OB OC =++u u u v u u u v u u u v u u u v
D ．112633
OG OA OB OC =++u u u v u u u v u u u v u u u v
【答案】C 【解析】 【分析】
根据所给的图形和一组基底，从起点O 出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表
示，就可以得到结论． 【详解】
2OG OM MG OM MN 3
=+=+u u u r u u u u r u u Q u u r u u u u r u u u u r
,
()()
2121111OM MO OC CN OM OC OB OC OA OB OC 3333633u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r =+++=++-=++
111OG OA OB OC 633
u u u r u u u r u u u r u u u r ∴=++ ,
故选：C ． 【点睛】
本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．
20．已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图得到几何体的直观图，然后再根据题中的数据求出几何体的表面积即可．
【详解】
由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体截去三棱锥和三棱锥后的剩余部分．
其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形，
所以其表面积为．
故选B．
【点睛】
在由三视图还原空间几何体时，一般以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．求解几何体的表面积或体积时要结合题中的数据及几何体的形状进行求解，解题时注意分割等方法的运用，转化为规则的几何体的表面积或体积求解．。