2019年高考数学一轮复习学案北师大版文科重点强化训练2平面向量文_36

重点强化训练(二) 平面向量
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是 ( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝b
C ．a 与b 共线反向
D ．存在正实数λ，使a ＝λb
D [因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.则a 与b 共线同向，故D 正确．] 2．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )
【导学号：00090149】 A ．2－1 B ．1 C ． 2
D ．2
B [因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝0，所以|a ＋b |2
＝a 2
＋b 2
＋2a·b ＝2，故|a ＋b |＝ 2. 展开(a －c )·(b －c )≤0，得a·b －(a ＋b )·c ＋c 2
≤0， 即0－(a ＋b )·c ＋1≤0，整理，得(a ＋b )·c ≥1.
而|a ＋b －c |2
＝(a ＋b )2
－2(a ＋b )·c ＋c 2
＝3－2(a ＋b )·c ， 所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1. 所以|a ＋b －c |2≤1，即|a ＋b －c |≤1.]
3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
D [若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]
4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →
的夹角为( )
A ．π6
B ．π3
C ．23
π D ．56
π A [由题意，得OA →＋OC →
＝(3＋cos α，sin α)， 所以|OA →＋OC →|＝
＋cos α
2
＋sin 2
α
＝10＋6cos α＝13， 即cos α＝1
2
，
因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32.
设OB →与OC →
的夹角为θ，
则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3233×1＝3
2.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝π
6
.]
5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是 ( ) A ．－12
B ．12
C ．－34
D ．0
A [取AB
的中点C ，连接OC ，AB ＝3，
则AC ＝
3
2
，又因为OA ＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12∠AOB ＝sin ∠AOC ＝AC OA ＝32， 所以∠AOB ＝120°，
则OA →·OB →
＝1×1×cos 120°＝－12
.]
二、填空题
6．设O 是坐标原点，已知OA →＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →
＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________．
11或－2 [由题意得CA →＝OA →－OC →
＝(k －4,7)，
CB →＝OB →－OC →
＝(6，k －5)，
所以(k －4)(k －5)＝6×7，
k －4＝7或k －4＝－6，即k ＝11或k ＝－2.]
7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a ，b 满足|a |＝1，|a －2b |＝21，且a 与b 的夹角为120°，则|b |＝________. 【导学号：00090150】 2 [由|a －2b |＝21得a 2
－4a·b ＋4b 2
＝21.
即1＋2|b |＋4|b |2
＝21，解得|b |＝2或|b |＝－52
(舍)．]
8．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →
＝________.
－25 [由|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2得∠B ＝90°，cos C ＝45，cos A ＝35，AB →·BC →＝0，BC →·CA
→
＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16，CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－
25.] 三、解答题
9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →
(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23
，求|OP →
|；
(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． [解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →
＝(2,1)，
∴OP →＝2
3(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，
3分 ∴|OP →|＝22＋22
＝2 2.
5分
(2)∵OP →
＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，
8分
两式相减，得m －n ＝y －x .
令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.
12分
10．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.
(1)若|a |＝|b |，求x 的值；
(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．
【导学号：00090151】
[解] (1)由|a |2
＝(3sin x )2
＋(sin x )2
＝4sin 2
x ， |b |2
＝(cos x )2
＋(sin x )2
＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2
x ＝1.
3分 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.
5分
(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2
x ＝
32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，
8分
当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.
所以f (x )的最大值为3
2
.
12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2018·兰州模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →
＝b ，OC →
＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )
【导学号：00090152】
A ．－4
B ．3
C ．－11
D ．10
C [a ·b ＝2×3×cos 60°＝3，
AB →＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →
－OA ＝(m －1)a －2B ．
∵AB ⊥AC ，∴AB →·AC →
＝0，
即(b －a )·[(m －1)a －2b ]＝0，
∴(1－m )a 2
－2b 2
＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0， 即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0， 解得m ＝－11.故选C ．]
2．如图2，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →
的最大值为________．
图2
9 [由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →
方向上的投影 之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD →
＝9.]
3．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .
(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．
[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2
x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，
2分
令2k π≤2x ＋π
3≤2k π＋π(k ∈Z )，
解得k π－π6≤x ≤k π＋π
3
(k ∈Z )，
∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).
5分
(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.
7分 又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π
3. 9分 ∵a ＝7，
由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝(b ＋c )2
－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，
∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②
由①②可得b＝3，c＝2. 12分。