2018版高中数学一轮全程复习(课件)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-5.1

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法二：原不等式可化为x－12＋x＋12≤3， 其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过 3 的点
的集合，数形结合知，当 x＝32或 x＝－32时，到12，－12两点的距
离之和恰好为 3，故当－32≤x≤32时，满足题意，则原不等式的
解集为x－32≤x≤32
(1)画出 y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|>1 的解集．
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[解析]
x－4，x≤－1， (1)f(x)＝3x－2，－1<x≤32，
－x＋4，x>32，
y＝f(x)的图象如图所示．
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(2)由 f(x)的表达式及图象，当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3；
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考向三 与绝对值不等式有关的参数范围问题 [互动讲练型] [例 3] (2016·课标全国Ⅲ，24)已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集； (2)设函数 g(x)＝|2x－1|.当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3，求 a 的 取值范围．
证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. ∴由绝对值不等式的性质，得 |x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)| ＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1. 即|x＋5y|≤1.
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考向二 绝对值不等式的解法[自主练透型] [例 2] (2016·课标全国Ⅰ，24)已知函数 f(x)＝|x＋1|－|2x－ 3|.
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第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
当 f(x)＝－1 时，可得 x＝13或 x＝5，
故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}；
f(x)<－1 的解集为xx<13或x>5
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所以|f(x)|>1 的解集为
xx<13或1<x<3或x>5
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——[悟·技法]—— 形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解
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[知识重温] 一、必记 2●个知识点 1．含有绝对值的不等式定理 (1)定理：对任意实数 a 和 b，有①|a_＋__b_|_≤__|a_|_＋_，|b|其中等号成
立的条件为 ab≥0. (2)定理中的 b 以－b 代替，则有|a－b|≤|a|＋|b|.其中等号成
立的条件为②__a_b_≤__0____. (3)对任意实数 a 和 b，有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
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2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解集：
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a ③_{_x_|－__a_＜__x_＜__a} ④__∅______ ⑤___∅_____
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[解析] (1)当 a＝2 时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6 得－1≤x≤3. 因此 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)当 x∈R 时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|2x－1|≥|2x－a＋1 －2x|＋a＝|1－a|＋a， 所以 f(x)＋g(x)≥3 等价于|1－a|＋a≥3.① 当 a≤1 时，①等价于 1－a＋a≥3，无解． 当 a＞1 时，①等价于 a－1＋a≥3，解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数
轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设 a<b)三个部分，在 每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各 个不等式解集的并集．
(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到 点 x1＝a 和 x2＝b 的距离之和大于 c 的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－ a－(x－b)|＝|a－b|.
(3)图象法：作出函数 y1＝|x－a|＋|x－b|和 y2＝c 的图象，结 合图象求解．
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——[通·一类]—— 2．不等式|2x－1|>3 的解集为________． 解析：由|2x－1|>3，得 2x－1<－3 或 2x－1>3，即 x<－1 或 x>2. 答案：{x|x<－1 或 x>2}
——[通·一类]—— 4．设函数 f(x)＝|2x＋2|－|x－2|. (1)求不等式 f(x)>2 的解集； (2)若∀x∈R，f(x)≥t2－72t 恒成立，求实数 t 的取值范围．
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解析：(1)不等式 f(x)>2 等价于x－<－2x1＋，2＋x－2>2
或－2x1＋≤2x≤＋2x，－2>2 或x2>x2＋，2－x－2>2，
解得 x<－6 或23<x≤2 或 x>2，
∴x>23或 x<－6.
∴不等式的解集为xx>23或x<－6
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－x－4，x<－1， (2)∵f(x)＝3x，－1≤x<2，
x＋4，x≥2， ∴f(x)min＝f(－1)＝－3， 若∀x∈R，f(x)≥t2－72t 恒成立， 则只需 f(x)min＝－3≥t2－72t⇒2t2－7t＋6≤0⇒32≤t≤2， 综上所述，32≤t≤2.
[授课提示：对应学生用书第 197 页] 考向一 绝对值三角不等式性质的应用 [例 1] (2016·江苏卷，21D)设 a>0，|x－1|<a3，|y－2|<a3， 求证：|2x＋y－4|<a. [证明] 因为|x－1|<a3，|y－2|<a3， 所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×a3＋ a3＝a.
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——[悟·技法]—— 对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点
(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求 函数的最大(小)值时．
(2)该定理可推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a| －|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推论．
(3)当 ab≥0 时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当 ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋ |b|；当 b(a＋b)≤0 时，|a|－|b|＝|a＋b|；当 b(a－b)≥0 时，|a|－|b| ＝|a－b|.
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——[通·一类]—— 1．已知 x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14， 求证：|x＋5y|≤1.
|x|＞a ⑥_{_x_|x_＞__a_或 ___x_＜__－_ a}⑦{_x_|_x_∈__R__且__x_≠__0_} ⑧_____R___
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
(ⅰ)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
(ⅱ)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
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——[悟·技法]—— (1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分
类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解 决，是常用的思想方法．
(2)f(x)＜a 恒成立⇔f(x)max＜a；f(x)＞a 恒成立⇔f(x)min＞a.
第二十页，编辑于星期六：二十二点来自二十四分。第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
3．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.
解析：法一：当 x>12时，原不等式转化为 4x≤6⇒12<x≤32；
当－12≤x≤12时，原不等式转化为 2≤6，恒成立；
当 x<－12时，原不等式转化为－4x≤6⇒－32≤x<－12.
综上知，原不等式的解集为x－32≤x≤32
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(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等 式的解法．
(ⅰ)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的 思想．
(ⅱ)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想． (ⅲ)通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方 程的思想．
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二、必明 2●个易误点 1．利用均值不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对 象”，使其符合几个重要不等式的特征． 2．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时， 必须使等号同时成立．
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