37165_安徽省皖北协作区2011届高三高考最后一卷(数学文)

2011皖北协作区最后一卷
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟．满分150分．
答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：
样本数据n x x x ,,21的标准差
n
x x x x x x s n 2
2221)()()(-++-+-=
其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=
第Ⅰ卷（选择题共50分）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.复数
i i
++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23B ．2
1
C ．3
D ．1
2.已知R 是实数集，{}{}
22
20,1M x x x N y y x =->==+，则=M C N R
A ．)2,1(
B ．[]2,0
C .∅
D ．[]
2,1
3.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1B ．2C ．3D ．4
4.已知函数)6
2sin()(π
-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得(2)()f x a f x +=恒成立，则a 的
值是
A ．
6πB ．3πC ．4πD ．2
π 5.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为
（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β
（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m
A ．（1）、（2）
B ．（3）、（4）
C ．（2）、（3）
D ．（2）、（4）
6.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若|
|,23BC -=等于
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7.某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名,x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
则该校招聘
的教师最多（）名
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8.函数
x
x x f 1
lg )(-
=的零点所在的区间是 A ．(]1,0B ．(]10,1C ．(]100,10D ．),100(+∞
9.过直线y x =上一点P 引圆22
670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为
A ．
2
2B ．223C ．210D ．2
10.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知
抛物线2
y ax =上的两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线y x m =+对称，且1212
x x =-，
则m 的值为 A ．34B ．32C ．54D ．52
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
注意事项：
1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案
如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．
2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0
852=-a a ，则
=2
4
S
S
12.如图所示的程序框图输出的结果为__________.
13.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则
该球的表面积为__________.
14.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为
)4.11(lg 3
2-=E R ．2011年3月11日，日
本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍． 15.给出下列命题： ①已知,,a b m
都是正数，且b
a
b a >++11，则a b <； ②当(1,)x ∈+∞时，函数13
2
,y x y x ==的图像都在直线y x =的上方； ③命题“x R ∃∈，使得2
210x
x -+<”的否定是真命题；
④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y
x ”的充要条件.
其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)
第13题图
三、解答题：本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知向量),2
cos 2sin 3(2cos ,1(y x
x b x a +==→→
与共线，且有函数)(x f y =．
（Ⅰ）若1)(=x f ，(0,2)x π∈，求x 的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函
数)(B f 的取值范围.
17．（本小题满分12分）
在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度
y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：
时间x （秒） 5 10 15 20 30 40 深度
y （微米）
6
10
10
13
16
17
现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；
（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程
26
139
134ˆ+
=x y
，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠． 18.（本小题满分12分）
已知四棱锥BCDE A -，其中1===
=BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，
BE ∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ；
（Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥； （III ）求四棱锥BCDE A -的体积.
19.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a
成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设⎭
⎫
⎩⎨
⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分13分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于1
2
,它的一个顶点恰好是抛物 线2
x =的焦点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)(2,3),(2,3)P Q -是椭圆上两点，A 、B 是椭圆位于直线PQ 两侧的两动点， 若直线AB 的斜率为
1
,2
求四边形APBQ 面积的最大值. 21.（本小题满分14分） 已知函数
1
)(2++=
x b
ax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为 A
B
C
D
E
F
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.
文科数学参考答案及评分标准
一． 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．） BDBDBBDBCB
二． 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11．512．213.π3
1914.23
1015.①③
三．解答题
16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）（Ⅰ）∵→
a 与→
b 共线∴)2
cos 2sin 3(2cos x x x y
+=
2
1)6sin()cos 1(21sin 23++=++=πx x x 3分 ∴121)6sin()(=++=πx x f ，即2
1
)6sin(=+πx 4分
∵(0,2)x π∈，∴13()(,)666x πππ+∈566x ππ+=23
x π
=
6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+
由正弦定理得：
∴21cos =
A ，∴在ABC ∆中∠3π
=A 8分 ∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566π
ππ<
+<B 10分 ∴1)6sin(21≤+<πB ,2
3)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]2
3
,1(12分
17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种．3分
所以321510)(==
A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是3
2
．6分 (Ⅱ)当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y
9分 当30=x 时，;2|1626
379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y
所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点
∴FG ∥CD,且FG=2
1
DC=1．
∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等 ∴EF ∥BG ．2分
∴EF ∥面ABC 4分
（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，
∴BG ⊥面ADC ．6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC
∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ．8分
（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．
4
3
631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．12分
另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,
∴C CD BC AO CD =⊥ ,,∴
⊥AO 平面B C D E
，∴AO 为BCDE A V -的高，4
3
232331,23
21)21(,2
3
=⨯⨯=∴=⨯+==
-B
C
D E
A B C
D E
V S AO ． 19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意得
⎪⎩⎪⎨
⎧+=+=⨯++⨯+)
12()3(50254522331121
1
1d a a d a d a d a 2分 解得⎩
⎨⎧==231d a ，4分
1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．6分
(Ⅱ)
13-=n n n
a b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b 7分 n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=
- 9分
∴n
n n T 3⋅=12分 20．（本小题满分13分）
(Ⅰ）设C 方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x
，则b =.
由222
1,2
c a c b a ==+，得4a = ∴椭圆C 的方程为
22
11612
x y +=.5分 (Ⅱ)（i ）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为
t x y +=
2
1
， A
B
C
D
E
F G
代入
22
11612
x y +=，得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t
8分
由韦达定理得12,2
2121-=-=+t x x t x x . 四边形APBQ 的面积221348362
1
t x x S -=-⨯⨯=
∴当0=t
，max S =13分
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y
∴
21
1)1(-=+-=
-a
b f ，化简得4-=-a b ．2分 12
424)(22)1(-===-+=-'b
b a b a f ．4分
解得：2,2-==b a
∴1
2
2)(2+-=x x x f ．6分
（Ⅱ）由已知得1
2
2ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立
化简得22ln )1(2
-≥+x x x
即022ln ln 2
≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立．8分 设22ln ln )(2
+-+=x x x x x h ，
∵1≥x ∴21
,
0ln 2≥+
≥x
x x x ，即0)(≥'x h ．10分 ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h ∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立．14分。