高一数学三角函数同步辅导讲义

高一数学三角函数同步辅导讲义
第1讲任意角的三角函数
一、学习指导
1．任意角的三角函数
（1）任意角的三角函不能再用初中定义锐角三角函数的办法来定义，因此通过平面直角坐标系来定义任意角的三角函数.
（2）对于任意角α的三角函数，由相似形的性质可知，α的三角函数值与P点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，即角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余
还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅αsin ，αcsc 为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅αtan ，αcot 为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅αcos ，αsec 为正，其余为负.
4．终边相同角的三角函数值 公式一：ααsin )360sin(=⋅+
k ， ααcos )360cos(=⋅+ k ，
ααtan )360tan(=⋅+ k . )(Z k ∈
也称为诱导公式一，利用公式一可以把任意角的三角函数化为
0到
360角的三角函数.
二、典型例题分析
例1 已知角α的终边上有一点)0()5,12(<a a a P ，求α的各三角函数值. 解 由已知，a x 12=，a y 5=. ∵0<a ，∴a a a a y x r 1313)5()12(2222-==+=+=.
∴135sin -==r y α，1312cos -==r x α，125
tan ==x y α， 512cot ==
y x α，12
13
sec -==x r α，513csc -==y r α. 例2 已知角α的终边经过点)0()4,3(≠-a a a P ，求ααcos 2sin +的值. 分析 因a 的符号不确定，所以要对字母a 进行讨论.当0>a ，P 点在第四象限，当0<a ，P 点在第二象限.
解 若0>a ，03>=a x ，04<-=a y ，P 点在第四象限. a a a a OP r 55)4()3(22==-+==.
54sin -==
r y α,5
3cos ==r x α. ∴5
2
53254cos 2sin =⨯+-
=+αα. 若0<a ，03<=a x ，04>-=a y ，P 点在第二象限. a a a a OP r 55)4()3(22-==-+==.
54sin ==
r y α，5
3
cos -==r x α.
∴5253254cos 2sin -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯+=
+αα. 例3 若4
0π
α<
<，利用三角函数线证明：ααcos sin <，且1tan <α.
① ααtan 2
1
tan 12121=⋅⋅=⋅⋅=
∆AT OA S TOA ， ∴
αααtan 2
1
21sin 21<<. αααtan sin <<. 例5 已知0sin >α，0cos <α，判断2
tan
α
的符号.
分析 首先应判断角α所在象限，然后再确定角2α所在象限及2
tan α
的符号. 解 ∵0sin >α，0cos <α， ∴α是第二象限角，
)(222
Z k k k ∈+<<+ππαππ
.
∴
ππ
α
ππ
k k +<
<
+2
2
4
.
当)(2Z n n k ∈=，
ππ
π
ππ
n n 22
2
24
+<
<
+，
2α是第一象限角，02
tan >α
. 当)(12Z n n k ∈+=，
ππ
αππn n 22
32245+<<+，
2α是第三象限角，02
tan >α
. ∴2
tan
α
必为正数.
例6 求函数x x y tan cos -+=的定义域.
解 由已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥.0tan ,0cos x x
由①，角x 的终边在y 轴上，或第一象限，或第四象限，或在x 轴的非负半轴上. 由②，0tan ≤x ，角α的终边在第二象限，或第四象限，或在x 轴上. ∴角x 的终边在第四象限或x 轴的非负半轴上. ∴函数的定义域为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
∈≤<+-Z k k x k x ,222πππ
. 例7 求值：
（1）)1020cot(1110tan )1380cos()1830sin(
-⋅+-⋅； ②
（2）⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ441cos 423sin 35cot 417cos 22
.
解 （1）)1020cot(1110tan )1380cos()1830sin(
-⋅+-⋅
]
360)3(60cot[)360330tan(]360)4(60cos[)360530sin( ⨯-+⋅⨯++⨯-+⋅⨯+=
60cot 30tan 60cos 30sin ⋅+⋅= 12
7314133332121=+=⨯+⨯=
. （2）⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ441cos 423sin 35cot 417
cos 22
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-++⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⨯-+⎪
⎭⎫ ⎝⎛⨯+=
ππππππ
ππ104cos 2)3(4sin 2)1(3
cot 224cos 22 5
32
1
312
14
cos
4sin
3
cot 4cos 2
2
=
+=
⋅+=
π
π
π
π.
巩固练习
一、选择题
1．已知角α是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（ ）
A ．ααcos sin +
B ．ααcos sin ⋅
C ．ααtan sin ⋅
D ．ααcos sin -
2．若点)0,4(-P 在角α的终边上，则下列函数中不存在的是（ ）
A ．αsin
B ．αcos
C ．αtan
D ．αcot
3．下列四个命题：①若0cos <α，则α是第二象限角或第三象限角；②0cos sin >⋅αα且
0cot cos <⋅αα是α为第三象限角的充要条件；③若βαcos cos =，则角α和角β的终边相
同；④若βα>，则βαsin sin >.其中真命题有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 二、解答题 1．求值：
（1）
405tan 780cos )690sin(2-+-； （2）ππ
πππtan 5
cot 49tan 527sin 223cos 3⋅+-+. .
2．已知02sin <θ，且θθsin sin -=，判断点)cos ,(tan θθP 在第几象限.。