北京市平谷区2022届初二下期末综合测试数学试题含解析

北京市平谷区2022届初二下期末综合测试数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．用配方法解一元二次方程2410x x -+=时，下列变形正确的是（ ）． A ．()2
21x -=
B ．()2
25x -=
C ．()2
23x +=
D ．()2
23x -=
2．如图，在平面直角坐标系中，若点()2,3A 在直线1
2
y x b =-+与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形内部，则b 的值可能是（ ）
A ．-3
B ．3
C ．4
D ．5
3．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ） A ．20%
B ．25%
C ．50%
D ．62.5%
4．如果1≤a≤2，则244a a -++|a ﹣1|的值是（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．2a ﹣3
D ．3﹣2a
5．某水果超市从生产基地以4元/千克购进一种水果，在运输和销售过程中有10%的自然损耗.假设不计其他费用，超市要使销售这种水果的利润不低于35%，那么售价至少为（ ）
A ．5.5元/千克
B ．5.4元/千克
C ．6.2元/千克
D ．6元/千克
6．如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是( )
A ．邻边不等的矩形
B ．等腰梯形
C ．有一角是锐角的菱形
D ．正方形
射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计表： 平均数 中位数 方差 命中10环的次数 甲 9.5 9.5 3.7 1 乙
9.5
9.6
5.4
2
若想选拔一位成绩稳定的选手参赛，则表中几个数据应该重点关注的是（ ） A ．中位数
B ．平均数
C ．方差
D ．命中10环的次数
8．已知二次函数y ＝ax 1+bx+c+1的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 1﹣4ac ＝0；③a ＞1；④ax 1+bx+c ＝﹣1的根为x 1＝x 1＝﹣1；⑤若点B （﹣14
，y 1）、C （﹣1
2，y 1）为函数图象
上的两点，则y 1＞y 1．其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
9．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为 ( ) A ．4
B ．4或34
C ．16或34
D ．4或34
10．如图，ABC 中，AB AC =，AB 5=，BC 8=，AD 是BAC ∠的平分线，则AD 的长为( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
二、填空题
11．已知方程232
21x y k x y k +=-⎧⎨+=-+⎩
的解满足x ﹣y ≥5，则k 的取值范围为_____．
12．如图，将△ABC 向右平移到△DEF 位置，如果AE ＝8cm ，BD ＝2cm ，则△ABC 移动的距离是___．
13．学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为15人，频率为0.3，那么被调查的学生人数为________． 14．计算：
2
3＝ ．
16．若次函数y ＝（a ﹣1）x+a ﹣8的图象经过第一，三，四象限，且关于y 的分式方程5311
y a
y y -+=-- 有整数解，则满足条件的整数a 的值之和为_____．
17．如果最简二次根式34a +和254a -是同类二次根式，那么a=_______
三、解答题
18．已知：菱形ABCD 中，对角线1612AC cm BD cm BE DC ==⊥，，于点E ，求菱形ABCD 的面积和BE 的长．
19．（6分）我们都知道在中国象棋中，马走日，象走田，如图所示，假设一匹马经过A 、B 两点走到点C,请问点A 、B 在不在马的起始位置所在的点与点C 所确定的直线上?请说明你的理由.
20．（6分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点. （1）求证：
；
（2）当四边形AECF 为菱形且
时，求出该菱形的面积.
21．（6分）已知：如图，在□ABCD 中，DE 、BF 分别是∠ADC 和∠ABC 的角平分线，交AB 、CD 于点E 、F ，
（2）若∠A=600，AE=2EB ，AD=4，求四边形DEBF 的周长和面积.
22．（8分）在△ABC 中，AB=30，BC=28，AC=1．求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
23．（8分）如图①，将直角梯形OABC 放在平面直角坐标系中，已知5,4,,3OA OC BC OA BC ===∥，点E 在OA 上，且1OE =，连结OB BE 、．
（1）求证：OBC ABE ∠=∠；
（2）如图②，过点B 作BD x ⊥轴于D ，点P 在直线BD 上运动，连结PC PE PA 、、和CE ． ①当PCE 的周长最短时，求点P 的坐标；
②如果点P 在x 轴上方，且满足CEP ABP S :S 2:1=△△，求DP 的长． 24．（10分）如图所示，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝4，BC ＝3，CD ＝12
5
（1）求AD 的长；（2）求证：△ABC 是直角三角形．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴
（1）求点D 的坐标． （2）求直线BC 的解析式．
（3）在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．D 【解析】 【分析】
根据配方法的原理，凑成完全平方式即可. 【详解】
解：2
410,x x -+=
241x x -=-， 24414x x -+=-+，
()
2
23x -=，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积. 2．D 【解析】
先根据点4（2.，3）在直线
1
2
y x b
=-+与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，可知点A（2，3）
在直线
1
2
y x b
=-+的下方，即当x=2时，y>3，再将x=2代入
1
2
y x b
=-+，从而得出-1+b>3，即b＞
4.
【详解】
解：∵点A（2.3）在直线
1
2
y x b
=-+与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部。

∴点A（2，3）在直线
1
2
y x b
=-+的下方，即当x=2时，y>3，
又∵当x=2时，
1
21
2
y b b =-⨯+=+
∴-1+b>3，即b>4. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质，根据点A（2.3）在直线
1
2
y x b
=-+与x轴正半轴、y轴正半轴围成的
三角形内部，得到点A（2.3）在直线
1
2
y x b
=-+的下方是解题的关键.
3．C
【解析】
试题解析：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，
由题意可得：2（1+x）2=4.5，
解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合题意舍去），
答即该店销售额平均每月的增长率为50%；
故选C．
4．A
【解析】
【分析】
直接利用a的取值范围进而化简二次根式以及绝对值得出答案．
【详解】
解：1a
≤≤
|1|
a-＝2﹣a+a﹣1
＝1．
故选：A．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 5．D 【解析】 【分析】
设这种水果每千克的售价为x 元，购进这批水果m 千克，根据这种水果的利润不低于35%列不等式求解即可. 【详解】
设这种水果每千克的售价为x 元，购进这批水果m 千克，根据题意，得 (1-10%)mx-4m≥4m×35%， 解得x≥6，
答：售价至少为6元/千克. 故选D. 【点睛】
此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据实际问题中的条件列不等式时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出不等关系，列出不等式式是解题关键． 6．D 【解析】
如图：此三角形可拼成如图三种形状，
（1）为矩形，∵有一个角为60°，则另一个角为30°，∴此矩形为邻边不等的矩形； （2）为菱形，有两个角为60°； （3）为等腰梯形．故选D ． 7．C 【解析】 【分析】
方差是反映一组数据的波动大小，比较甲、乙两人的成绩的方差作出判断． 【详解】
∵==9.5x x 甲乙，S 甲=3.7＜S 乙=5.4，
本题考查一组数据的方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而方差反映波动的大小，波动越小数据越稳定． 8．D 【解析】 【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】
解：①由抛物线的对称轴可知：02b
a
-<， ∴0ab >，
由抛物线与y 轴的交点可知：22c +>， ∴0c >，
∴0abc >，故①正确； ②抛物线与x 轴只有一个交点， ∴0∆=，
∴240b ac -=，故②正确； ③令1x =-，
∴20y a b c =-++=， ∵12b
a
-
=-， ∴2b a =，
∴220a a c -++=， ∴2a c =+， ∵22c +>， ∴2a >，故③正确； ④由图象可知：令0y =，
即202ax bx c =+++的解为121x x ==-,
∴22ax bx c ++=-的根为121x x ==-，故④正确； ⑤∵11124
-<-
<-，
考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.
9．D
【解析】
解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x=；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则x=．故选D．
10．C
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质：底边上的三线合一，得出AD⊥BC，BD=1
2
BC,再由勾股定理求出AD的长．
【详解】
∵在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=1
2 BC．
∵BC=8，
∴BD=4
在Rt ABD中
2222
54
AB BD
--=3
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．二、填空题
11．k≥1
【解析】
【分析】
两方程相减可得x﹣y＝4k﹣3，根据x﹣y≥5得出关于k的不等式，解不等式即可解答．
【详解】
两方程相减可得x﹣y＝4k﹣3，
∵x﹣y≥5，
解得：k≥1，
故答案为：k≥1．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用，根据题意列出关于k的不等式是解题的关键．12．3cm.
【解析】
【分析】
根据平移的性质，对应点间的距离等于平移距离求出AD、BE，然后求解即可．【详解】
∵将△ABC向右平移到△DEF位置，
∴BE＝AD，
又∵AE＝8cm，BD＝2cm，
∴AD＝
82
3
22
AE DB
--
==cm．
∴△ABC移动的距离是3cm，
故答案为：3cm.
【点睛】
本题考查了平移的性质，熟记对应点间的距离等于平移距离是解题的关键．13．50
【解析】
【分析】
根据频数与频率的数量关系即可求出答案．
【详解】
解：设被调查的学生人数为x，
∴15
0.3 x
=，
∴x=50，
经检验x=50是原方程的解，
故答案为：50
【点睛】
本题考查频数与频率，解题的关键是正确理解频数与频率的关系，本题属于基础题型．14．3
【解析】
分析：
23=．
15．6 【解析】
【详解】
因为在Rt ABC ∆中
90ACB ∠=︒，30A ∠=︒
∴AB=2BC 又D 为AB 中点，
∴CD=AD=BD=BC=
12AB 又E ，F 分别为AC ，AD 的中点，
∴EF=12
CD ，所以CD=2EF=6 故BC 为6
【点睛】
本题主要考查三角形的基本概念和直角三角形。

16．1
【解析】
【分析】
根据题意得到关于a 的不等式组，解之得到a 的取值范围，解分式方程根据“该方程有整数解，且1y ≠”，得到a 的取值范围，结合a 为整数，取所有符合题意的整数a ，即可得到答案．
【详解】 解：函数(1)8y a x a =-+-的图象经过第一，三，四象限，
∴1080a a ->⎧⎨-<⎩
解得：18a <<，
方程两边同时乘以(1)y -得：(5)3(1)y y a --+-=，
去括号得：533y y a -++-=，
移项得：353y y a -+=-+，
合并同类项得：22y a =-，
系数化为1得：22
a y -=， 该方程有整数解，且1y ≠，
2a -是2的整数倍，且22a -≠，
即2a -是2的整数倍，且4a ≠，
18a <<，
∴整数a 为：2，6，
268∴+=，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了分式方程的解和一元一次不等式组的整数解，正确掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
17．3
【解析】
分析：根据同类二次根式的被开方式相同列方程求解即可.
详解：由题意得，
3a+4=25-4a ，
解之得，
a=3.
故答案为：3.
点睛：本题考查了同类二次根式的应用，根据同类二次根式的定义列出关于a 的方程是解答本题的关键.
三、解答题
18．菱形ABCD 的面积为296cm BE ，的长为
485cm ． 【解析】
试题分析：
根据菱形的性质可由AC=16、BD=12求得菱形的面积和菱形的边长，而由求出的面积和边长即可求得BE 的长.
试题解析：
如图，∵菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC=16cm ，BD=12cm ，
∴AC ⊥BD 于点O ，CO=8cm ，DO=6cm ，S 菱形=
11612962⨯⨯=（cm 2），
∴10=（cm ），
∵BE ⊥CD 于点E ，
∴BE·CD=72，即10BE=96，
∴BE=485
（cm ）.
19．在，理由见解析.
【解析】
【分析】
以B为原点，建立直角坐标系，求出直线BC的解析式，再讲A点坐标代入解析式就可以得出结论．【详解】
点A、B、C在一条直线上．
如图，以B为原点，建立直角坐标系，
A（-1，-1），C（1，1）．
设直线BC 的解析式为：y=kx，由题意，得
1=k，
∴y=1x．
∵x=-1时，
∴y=-1．
∴A（-1，-1）在直线BC上，
∴点A、B、C在一条直线上．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，由自变量的值确定函数值的运用，解答时建立平面直角坐标系求出函数的解析式是关键．
20． (1)详见解析;(2)
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和菱形的面积解答即可．
【详解】
（1）证明：∵平行四边形ABCD
∴，，
∵点E、F分别为BC、AD中点
∴，
∴
∴，
∴
（2）∵四边形AECF是菱形
∴CE=AE
BE=CE=AE=4
∵AB=4
∴AB=BE=AE=4，
过点A作AH⊥BC于H
AH=2
S 菱形AECF=CE×AH=4×2=8.
【点睛】
考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质和全等三角形的判定解答是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）四边形DEBF的周长为12 ，面积是3
【解析】
分析：（1）证明EF、BD互相平分，只要证DEBF是平行四边形；利用两组对边分别平行来证明．
（2）求四边形DEBF的周长，求出BE和DE即可．
详解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥AB,CD=AB,AD=BC
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线
∴∠ADE=∠CDE,∠CBF=∠ABF
∵CD∥AB,∴∠AED=∠CDE,∠CFB=∠ABF
∴∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF
∴AE=AD,CF=CB,∴AE=CF,∴AB-AE=CD-CF 即BE=DF ∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形
∵∠A=60°，AE=AD∴△ADE是等边三角形
∵AD=4，∴DE=AE=4,∵AE=2EB，∴BE=2
∴四边形DEBF的周长=2(BE+DE)=2(4+2)=12
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD=4，∠A=60°，
∴DG=ADcos∠A=4×3
=23
∴四边形DEBF的面积=BE×DG=2×23=43
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质与判定．在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
22．△ABC的面积为2
【解析】
【分析】
根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．
【详解】
解：过点D作AD⊥BC，垂足为点D．
设BD=x，则CD=28﹣x．
在Rt△ABD中，AB=30，BD=x，
由勾股定理可得AD2=AB2﹣BD2=302﹣x2，
在Rt△ACD中，AC=1，CD=28﹣x，
由勾股定理可得AD2=AC2﹣CD2=12﹣（28﹣x）2，
∴302﹣x2=12﹣（28﹣x）2，
解得：x=18，
∴AD2=AB2﹣BD2=302﹣x2=302﹣182=576，∴AD=24，
S△ABC=1
2
BC•AD=
1
2
×28×24=2
则△ABC的面积为2．
【点睛】
此题考查勾股定理，解题关键是根据题意正确表示出AD2的值．
23．（1）见解析；（2）①
8
3,
5
P
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；②
8
5
或8
【解析】【分析】
（1）先由已知条件及勾股定理求出AE=1，AB=AB OA
AE AB
=，又∠OAB=∠BAE，根据两边对应
成比例且夹角相等的两三角形相似证明△OAB∽△BAE，得出∠AOB=∠ABE，再由两直线平行，内错角相等得出∠OBC=∠AOB，从而证明∠OBC=∠ABE；
（2）①由于CE为定长，所以当PC+PE最短时，△PCE的周长最短，而E与A关于BD对称，故连接AC，
交BD于P，即当点C、P、A三点共线时，△PCE的周长最短．由PD∥OC，得出AD PD
AO OC
=，求出PD的
值，从而得到点P的坐标；
②由于点P在x轴上方，BD=1，所以分两种情况：0＜PD≤1与PD＞1．设PD=t，先用含t的代数式分别表示S△CEP与S△ABP，再根据S△CEP：S△ABP=2：1，即可求出DP的长．
【详解】
解：（1）由题意可得：
∵OC=1，BC=3，∠OCB=90°，
∴OB=2．
∵OA=2，OE=1，
∴AE=1，=
==，
∴AB OA AE AB
=．
∵OAB BAE
∠=∠，∴OAB BAE △∽△，
AOB ABE
∴∠=∠．
∵//
BC
OA，
∴OBC AOB
∠=∠，
∴OBC ABE
∠=∠.
（2）①∵BD⊥x轴，ED=AD=2，
∴E与A关于BD对称，
当点C P A
、、共线时，PCE的周长最短．
∵//
PD OC，
∴
AD PD
AO OC
=，即
2
54
PD
=
∴
8
5
PD=
∴
8
3,
5
P
⎛⎫
⎪
⎝⎭
．
②设PD t
=，
当04
DP
<时，如图：
∵PEC
S S
=
△梯
OCPD
1111
(4)34124
2222
OCE PED
S S t t t
--=⨯+⨯-⨯⨯-⨯=+
△△
，
1
2(4)4
2
PAB
S t t
=⨯⨯-=-
△
；
又∵:2:1
CEP ABP
S S=
△△
．
∴
1
42
2
41
t
t
+
=
-
，
∴
8
5
t DP
==；
当4
DP>时，如图：
∵
1
4
2
PEC
S t
=+
△
，4
PAB
S t=-
△
，
∴
1
42
2
41
t
t
+
=
-
1
2(4)4
2
t t
∴-=+．
8
t DP
∴==．
∴所求DP的长为
8
5
或8.
【点睛】
本题是相似形的综合题，涉及到勾股定理，平行线的性质，轴对称的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，有一定难度．（2）中第二小问进行分类讨论是解题的关键．
24．（1）
16
5
，（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）依据∠ADC＝90°，利用勾股定理可得AD22
AC CD
-
（2）依据勾股定理的逆定理，可得BC2+AC2＝AB2，即可得到△ABC是直角三角形．
【详解】
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴AD22
AC CD
-22
1216
4()
55
-=；
（2）证明：由上题知AD＝
16
5
，
同理可得BD＝
9
5
，
∴AB＝AD+BD＝5，
∵32+42=52，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．
25．（1）D（4，7）（2）y=39
44
x （3）详见解析
【解析】
试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．
试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
过D作DE⊥y于点E，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∠DAE+∠OAB=90°，
∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠DAE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°=∠AOB，
∵DE⊥AE
∴∠AED=90°=∠AOB，
∴△DAE≌△ABO（AAS），
∴DE=OA=4，AE=OB=3，
∴OE=7，
∴D（4，7）；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，
同上可证得△BCM≌△ABO，
∴CM=OB=3，BM=OA=4，
∴OM=7，
∴C（7，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
代入B（3，0），C（7，3）得，，
解得，
∴y=x﹣；
（3）存在．
点P与点B重合时，P1（3，0），
点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．
考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数。