集合与图论映射共25页
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高等代数 集合与映射共29页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
高等代数 集合与映射ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
《映射的概念》课件
《映射的概念》ppt课件
CONTENTS
• 映射的定义 • 一一映射 • 连续映射 • 映射的应用
01
映射的定义
什么是映射
01
映射是指将一个集合的元素按照 某种规则一一对应到另一个集合 中的元素，建立元素之间的对应 关系。
02
映射通常用函数来表示，函数是 从一个集合到另一个集合的映射 ，表示输入和输出之间的对应关 系。
机器学习
在机器学习中，输入数据与输出结果的聆听
THANKS
一一映射的例子
要点一
总结词
例如，将一组数或集合中的元素一一对应地映射到另一组 数或集合中的元素。
要点二
详细描述
在实际应用中，一一映射的例子很多。例如，在数学中， 可以将一组数或集合中的元素一一对应地映射到另一组数 或集合中的元素。在计算机科学中，文件系统中的文件名 到文件内容的映射、数据库中的记录到数据的映射等都是 一一映射的例子。此外，在现实生活中，一对一的约会、 一对一的商品交易等也可以看作是一一映射的实例。
详细描述
一一映射是一种特殊的映射关系，它要求每个原像都与一个唯一的像相对应， 并且每个像也都有其唯一的原像。也就是说，在映射过程中，每一个元素都不 被重复地映射到同一个像上，也不存在未被映射的原像。
一一映射的性质
总结词
一一映射具有可逆性、一一对应性和确定性等性质。
详细描述
一一映射是一种可逆的过程，即通过映射的反向操作可以找到原像。同时，一一映射确保了每个原像都与一个唯 一的像相对应，并且每个像也都有其唯一的原像。此外，一一映射还具有确定性，即每个原像都映射到唯一的像 上，没有歧义或不确定性。
拓扑学
在拓扑学中，映射用于研究空间之间的连 续变换和不变性。
CONTENTS
• 映射的定义 • 一一映射 • 连续映射 • 映射的应用
01
映射的定义
什么是映射
01
映射是指将一个集合的元素按照 某种规则一一对应到另一个集合 中的元素，建立元素之间的对应 关系。
02
映射通常用函数来表示，函数是 从一个集合到另一个集合的映射 ，表示输入和输出之间的对应关 系。
机器学习
在机器学习中，输入数据与输出结果的聆听
THANKS
一一映射的例子
要点一
总结词
例如，将一组数或集合中的元素一一对应地映射到另一组 数或集合中的元素。
要点二
详细描述
在实际应用中，一一映射的例子很多。例如，在数学中， 可以将一组数或集合中的元素一一对应地映射到另一组数 或集合中的元素。在计算机科学中，文件系统中的文件名 到文件内容的映射、数据库中的记录到数据的映射等都是 一一映射的例子。此外，在现实生活中，一对一的约会、 一对一的商品交易等也可以看作是一一映射的实例。
详细描述
一一映射是一种特殊的映射关系，它要求每个原像都与一个唯一的像相对应， 并且每个像也都有其唯一的原像。也就是说，在映射过程中，每一个元素都不 被重复地映射到同一个像上，也不存在未被映射的原像。
一一映射的性质
总结词
一一映射具有可逆性、一一对应性和确定性等性质。
详细描述
一一映射是一种可逆的过程，即通过映射的反向操作可以找到原像。同时，一一映射确保了每个原像都与一个唯 一的像相对应，并且每个像也都有其唯一的原像。此外，一一映射还具有确定性，即每个原像都映射到唯一的像 上，没有歧义或不确定性。
拓扑学
在拓扑学中，映射用于研究空间之间的连 续变换和不变性。
高等数学教学ppt离散数学_集合论_映射_关系
2.1相关定义
• 定义9：函数复合，不同函数对原像的多重 映射。
2.2练习
•determin whether each of these functions is a bijection from R to R a)f(x)=-3x+4 b)f(x)=-3x^2+7 c)f(x)=(x+1)/(x+2) d)f(x)=x^5+1
• 定义6：对于共域(codomain)中的每一个元 素，都能在定义域(domain)找到它的原像， 这样的函数 被称为满射
• 定义7：如果函数既是单射也是满射，那么 他被称为双射(或一一映射)
• 定义8：一一映射f的反函数就是以共域中的 元素为原像，映射到f的定义域中的唯一元 素的函数，记做： f 1 （用y表示x，然后 变量替换即可）
• 定义6：有序n元组就是由n个有序元素组成 的结构（排列与组合）
• 定义7：集合A与集合B的笛卡尔积记为 AxB(结果是一个集合，集合元素是一个二 元组，不满足交换律)
1.2集合的相关操作
• 并集 • 交集 • 差集：A-B，在A中并且不在B中的元素 • 德摩根律： ------------- --- ---
集合与映射
1.1相关定义
• 定义1：一组无序，不重复的元素的集合 • 定义2：如果集合包含元素完全相同，那么
集合相等；反之也成立 • 定义3：如果集合A的任意一个元素都是集
合B的元素，那么A是B的子集 • 定义4：集合有n个不同的元素（n>=0），
集合被称为有限集且集合的基数为n
1.1相关定义
• 定义5：集合S的幂集(power set)，就是集 合所有子集的集合，用P(S)表示
第1章 集合、映射与关系
������
≜
{������ ∶ ������, ������ ∈ ������}称为������形成的关于������的等价类或以������为代
例 ： 设 ������ = {������, ������, ������, ������, ������} ， ������ 上 的 一 个 等 价 关 系 ������ =
• 补集运算（余集运算）
基本集合：限制在一定范围内的研究对象的全体形成 的集合称为基本集合（全集）. 补集（余集）：给定基本集合������及其子集������ (⊂ ������), 称 差集������\������为集������的补集（余集）, 记������������ = ������\������.
第1章 集合、映射与关系
1.1 集合
1、集合的概念
• 若干个 (有限或无限) 确定的事物的全体叫做一个集合, 通常用大写字母������, ������, ������, ⋯ 表示集合. • 组成一个集合的事物叫做这个集合的元素, 用小写字 母 ������, ������, ������, ⋯表示集合的元素.
① 元������与元������有关系������即(������, ������) ∈ ������时, 简记为������������������.
② 若������, ������ 之间的二元关系������ 具有性质∀������ ∈ ������, ∃! ������ ∈ ������ , 使得������������������, 则关系������决定了������到������的一个映射. 因此， 二元关系是映射概念的推广.
• 多个集合的直积（笛卡尔积） ������1 × ������2 × · · ·× ������������ = { ������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ∶ ������������ ∈ ������������ , ������ = 1, 2, ⋯ , ������}
≜
{������ ∶ ������, ������ ∈ ������}称为������形成的关于������的等价类或以������为代
例 ： 设 ������ = {������, ������, ������, ������, ������} ， ������ 上 的 一 个 等 价 关 系 ������ =
• 补集运算（余集运算）
基本集合：限制在一定范围内的研究对象的全体形成 的集合称为基本集合（全集）. 补集（余集）：给定基本集合������及其子集������ (⊂ ������), 称 差集������\������为集������的补集（余集）, 记������������ = ������\������.
第1章 集合、映射与关系
1.1 集合
1、集合的概念
• 若干个 (有限或无限) 确定的事物的全体叫做一个集合, 通常用大写字母������, ������, ������, ⋯ 表示集合. • 组成一个集合的事物叫做这个集合的元素, 用小写字 母 ������, ������, ������, ⋯表示集合的元素.
① 元������与元������有关系������即(������, ������) ∈ ������时, 简记为������������������.
② 若������, ������ 之间的二元关系������ 具有性质∀������ ∈ ������, ∃! ������ ∈ ������ , 使得������������������, 则关系������决定了������到������的一个映射. 因此， 二元关系是映射概念的推广.
• 多个集合的直积（笛卡尔积） ������1 × ������2 × · · ·× ������������ = { ������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ∶ ������������ ∈ ������������ , ������ = 1, 2, ⋯ , ������}
北大集合论与图论1PPT课件
第1讲 命题逻辑基础
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
高等工程数学课件--第1章 集合与映射
定义1.2.3 设X、Y、Z是三个非空集合，并设 有两个映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , 由 f1 , f 2 确定 X 到 Z 的映射 f3 : x f2 ( f1 ( x))( x X ) 称为映射 f1 和 f 2 的乘积(product)，记为 f 3 f 2 f1 定理1.2.1 设有映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , f3 : Z W , 则
lim An Ak .
n k 1
如果 An n 1是单调递减集合序列，则
lim An Ak .
n k 1
1.2 映 射(mapping)
定义1.2.1 设X、Y是两个非空集合，如果存在一
个X 到Y 的对应法则 f ，使得对 X中的每一个元素 x 都有Y中唯一的一个元素 y 与之对应，则称 f 是X 到Y的一个映射,记为 y f (x).
若 B A ，则称 A\B 为B 在A中的余集或B c 的补集，记为 B 。
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合, Ai (i I )为集合X的 子集，则
(1) A ( B C ) ( A B) ( A C ); A ( B C ) ( A B) ( A C );
（2） f 是X 到 Y的满映射当且仅当 Y R( f ).
非空集合，X 到自身的双映射称为X的一 一变换(one-to-one transformation)；如果X 是有限集，X 的一一变换称为X 的置换 (permutation)。
非空集合X 上的恒等映射是一个双映射。 例. 微分算子，积分算子，矩阵。
定理1.2.3 映射f :X→Y是可逆映射的充分必 要条件是 f 是X到Y的双映射。 定理1.2.4 设映射f : X→Y ， g :Y→Z，则 (1) 如果 f 和 g 都是单映射，则g f 是单映射；
集合论与图论第二章
32
2.4 映射的合成
复合函数 y=g(u),u=f(x) y=g(f(x)) 定义2.4.1 设f:XY,g:YZ, 如果xX,h(x)=g(f(x))。h:XZ称为f与g 的合成, “映射f与g的合成”h记为gf,省略中间 的“”，简记为gf 按定义，xX,我们有 gf(x)=gf(x)=g(f(x))。 注意：“f与g的合成”，在书写时写成gf。
4
2.1 函数的一般概念映射
定义2.1.2 设X和Y是两个非空集合，一个从 X到Y的映射是一个满足以下两个条件的XY的子 集 f： (1)对X的每一个元素x,存在一个yY,使得 (x,y)f; (2)若(x,y)、(x,y)f,则y=y。
5
2.1 函数的一般概念映射
1.AX, f在A上的限制
f-1({d})=。 f-1({b})={2,3}。 为了书写方便，f({a})常记为f(a), f-1({b})=f-1(b)。
29
2.3 映射的一般性质
定理2.3.1 设f：XY,CY,DY,则: (1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D); (2)f-1(C∩D)=f-1(C)∩f-1(D); (3)f-1(CD)=f-1(C)f-1(D); (4)f-1(Cc)=(f-1(C))c。
这n个映射的合成就可以记为: fnfn-1...f1, x A 1, fnfn-1...f1(x)=fn(fn-1...(f2(f1(x)))...) 定理2.4.2 设f:XY,则fIX=IYf
35
2.4 映射的合成
定理2.4.3 设f:XY,g:YZ,则 (1)如果f与g都是单射的，则gf也是单射的。 (2)如果f与g都是满射的，则gf也是满射的。 (3)如果f与g都是双射的，则gf也是双射的。
2.4 映射的合成
复合函数 y=g(u),u=f(x) y=g(f(x)) 定义2.4.1 设f:XY,g:YZ, 如果xX,h(x)=g(f(x))。h:XZ称为f与g 的合成, “映射f与g的合成”h记为gf,省略中间 的“”，简记为gf 按定义，xX,我们有 gf(x)=gf(x)=g(f(x))。 注意：“f与g的合成”，在书写时写成gf。
4
2.1 函数的一般概念映射
定义2.1.2 设X和Y是两个非空集合，一个从 X到Y的映射是一个满足以下两个条件的XY的子 集 f： (1)对X的每一个元素x,存在一个yY,使得 (x,y)f; (2)若(x,y)、(x,y)f,则y=y。
5
2.1 函数的一般概念映射
1.AX, f在A上的限制
f-1({d})=。 f-1({b})={2,3}。 为了书写方便，f({a})常记为f(a), f-1({b})=f-1(b)。
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2.3 映射的一般性质
定理2.3.1 设f：XY,CY,DY,则: (1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D); (2)f-1(C∩D)=f-1(C)∩f-1(D); (3)f-1(CD)=f-1(C)f-1(D); (4)f-1(Cc)=(f-1(C))c。
这n个映射的合成就可以记为: fnfn-1...f1, x A 1, fnfn-1...f1(x)=fn(fn-1...(f2(f1(x)))...) 定理2.4.2 设f:XY,则fIX=IYf
35
2.4 映射的合成
定理2.4.3 设f:XY,g:YZ,则 (1)如果f与g都是单射的，则gf也是单射的。 (2)如果f与g都是满射的，则gf也是满射的。 (3)如果f与g都是双射的，则gf也是双射的。
高等数学——集合与映射PPT课件演示文稿
元素 x 属于集合A，记为x A；元素 x 不属于 集合A，记为 x A 或 x A。
第六页，共12页。
2. 集合的表示法
表示集合的方法有两种:
(1) 列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 花括号括上。
(2) 描述法：将集合A中元素 x 所具有的特性 p(x) 列出 来表示如下 A { x | x 具有特性 p(x) }。
高等数学——集合与映射PPT 课件演示文稿
第一页，共12页。
（优质）高等数学——集合与 映射PPT课件
第二页，共12页。
第一章 集合与映射
本章学习要求： § 正确理解集合和映射概念。 § 掌握集合和元素的关系，集合的表示方法；映射的种类。 § 正确理解集合的运算法则，并能够正确使用。
第三页，共12页。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得
重复出现。（唯一，互异，无序）
第七页，共12页。
二、集合的基本运算
1. 集合运算的概念
为了研究和叙述上的方 便，我 们，我们常常 I 或 U 来表示所考虑表示所考象（元素）的全体所 构 成的集合，称之 为的集。
第八页，共12页。
设有集合A，B，则 A 与 B 的并：A B { x | x A 或 x B }； A 与 B 的交：A B { x | x A 且 x B }； A 与 B 的差：A－B A \ B { x | x A 且 x B }； A的补集（或余集）：A I A ( 或记为 AC )。
第十一页，共12页。
3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。
X
.x1
.x2
.x3
f
Y
.y1 .y2
Rf
第十二页，共12页。
第六页，共12页。
2. 集合的表示法
表示集合的方法有两种:
(1) 列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 花括号括上。
(2) 描述法：将集合A中元素 x 所具有的特性 p(x) 列出 来表示如下 A { x | x 具有特性 p(x) }。
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第一章 集合与映射
本章学习要求： § 正确理解集合和映射概念。 § 掌握集合和元素的关系，集合的表示方法；映射的种类。 § 正确理解集合的运算法则，并能够正确使用。
第三页，共12页。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得
重复出现。（唯一，互异，无序）
第七页，共12页。
二、集合的基本运算
1. 集合运算的概念
为了研究和叙述上的方 便，我 们，我们常常 I 或 U 来表示所考虑表示所考象（元素）的全体所 构 成的集合，称之 为的集。
第八页，共12页。
设有集合A，B，则 A 与 B 的并：A B { x | x A 或 x B }； A 与 B 的交：A B { x | x A 且 x B }； A 与 B 的差：A－B A \ B { x | x A 且 x B }； A的补集（或余集）：A I A ( 或记为 AC )。
第十一页，共12页。
3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。
X
.x1
.x2
.x3
f
Y
.y1 .y2
Rf
第十二页，共12页。
集合与映射的概念与应用
特征值与特征向量
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们描述了 矩阵对应的线性变换在某些特定方向上的行为。这也可以 看作是一种集合到集合的映射。
矩阵的秩与映射的像
矩阵的秩可以看作是矩阵对应的线性变换像空间的维度， 它反映了映射的像集合的大小。
图论中顶点集和边集对应关系
图的定义
图由顶点集和边集组成，其中边集中的元素是顶点集中元素的无序对或有序对。这可以看作是一种从顶点集 到边集的映射关系。
05
04
集合的补集
对于一个全集U，由所有不属于集合A 的元素所组成的集合称为集合A的补集 ，记作CuA。
常见数集及其符号表示
整数集
用Z表示，包括所有 正整数、负整数和 零。
实数集
用R表示，包括所有 有理数和无理数。
自然数集
用N表示，包括所 有正整数。
有理数集
用Q表示，包括所 有可以表示为两个 整数之比的数。
运算规则
复合映射满足结合律，即(h○f)○g=h○(f○g)。
03
集合与映射关系探讨
集合间关系对映射影响分析
子集与超集
若集合A是集合B的子集， 则A中的每个元素都映射 到B中的某个元素上，但B 中不一定每个元素都有A
中的对应元素。
相等集合
两个集合相等当且仅当它 们包含相同的元素，此时 它们之间的映射是双射，
拓扑排序
03
在计算机科学中，拓扑排序是一种基于偏序关系的排序算法，
它用于解决具有先后依赖关系的任务调度问题。
函数作为特殊映射讨论
单射、满射与双射
函数作为映射的一种特殊情况，可以是单射 、满射或双射，分别对应不同的映射性质和 特征。
复合函数与逆函数
通过复合和逆操作，可以构造出更复杂的函数和映 射关系，进而解决更广泛的问题。
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们描述了 矩阵对应的线性变换在某些特定方向上的行为。这也可以 看作是一种集合到集合的映射。
矩阵的秩与映射的像
矩阵的秩可以看作是矩阵对应的线性变换像空间的维度， 它反映了映射的像集合的大小。
图论中顶点集和边集对应关系
图的定义
图由顶点集和边集组成，其中边集中的元素是顶点集中元素的无序对或有序对。这可以看作是一种从顶点集 到边集的映射关系。
05
04
集合的补集
对于一个全集U，由所有不属于集合A 的元素所组成的集合称为集合A的补集 ，记作CuA。
常见数集及其符号表示
整数集
用Z表示，包括所有 正整数、负整数和 零。
实数集
用R表示，包括所有 有理数和无理数。
自然数集
用N表示，包括所 有正整数。
有理数集
用Q表示，包括所 有可以表示为两个 整数之比的数。
运算规则
复合映射满足结合律，即(h○f)○g=h○(f○g)。
03
集合与映射关系探讨
集合间关系对映射影响分析
子集与超集
若集合A是集合B的子集， 则A中的每个元素都映射 到B中的某个元素上，但B 中不一定每个元素都有A
中的对应元素。
相等集合
两个集合相等当且仅当它 们包含相同的元素，此时 它们之间的映射是双射，
拓扑排序
03
在计算机科学中，拓扑排序是一种基于偏序关系的排序算法，
它用于解决具有先后依赖关系的任务调度问题。
函数作为特殊映射讨论
单射、满射与双射
函数作为映射的一种特殊情况，可以是单射 、满射或双射，分别对应不同的映射性质和 特征。
复合函数与逆函数
通过复合和逆操作，可以构造出更复杂的函数和映 射关系，进而解决更广泛的问题。
集合与映射
§6.1 集合 映射
是一个集合， 例4 M是一个集合，定义 ： 是一个集合 定义I： I(a)＝a ， ＝
∀a ∈ M
上的元素映到它自身， 是一个映射， 即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一个映射， 称 I 为 M 上的恒等映射（identity mapping）或 上的恒等映射 恒等映射（ ） 单位映射． 单位映射． 任意一个在实数集R上的函数 例5 任意一个在实数集 上的函数 y＝f(x) 都是实数集R到自身的映射， 都是实数集 到自身的映射， 到自身的映射 即，函数可以看成是映射的一个特殊情形． 函数可以看成是映射的一个特殊情形．
1、定义
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 集合 组成集合的这些事物称为集合的元素（ 组成集合的这些事物称为集合的元素（element）． 元素 ） 常用大写字母A、 、 等表示集合； ☆ 常用大写字母 、B、C 等表示集合； 用小写字母a、 、 等表示集合的元素． 用小写字母 、b、c 等表示集合的元素． 是集合A的元素时 当a是集合 的元素时，就说 属于 ，记作 a ∈ A ； 是集合 的元素时，就说a 属于A， 不是集合A的元素时 不属于A， 当a不是集合 的元素时，就说 不属于 ，记作 a ∉ A . 不是集合 的元素时，就说a不属于
§6.1 集合 映射
2、映射的乘积
设映射 σ : M → M ', τ : M ' → M '' ， 乘积
τ oσ
定义为： 定义为：
τ oσ(a)＝τ(σ(a)) ＝
即相继施行σ和 的结果 的结果， 即相继施行 和τ的结果，τ 映射． 映射．
∀a ∈ M
o σ 是 M 到 M" 的一个
高等数学——集合与映射
第一章 集合与映射
本章学习要求： ▪ 正确理解集合和映射概念。 ▪ 掌握集合和元素的关系，集合的表示方法；映射的种类。 ▪ 正确理解集合的运算法则，并能够正确使用。
第一节 集合与映射
一、集合的基本概念 二、集合的基本运算 三、映射的基本概念
一、集合的基本概念
1. 集合
所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一 个整体来考虑的结果。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。（唯一，互异，无序）
二、集合的基本运算
1. 集合运算的概念
为了研究和叙述 便上 ，我 的 们方 ，我们I常常 或U来表示所 虑考 表示所 象考 （元素）的全构体所 成的集合，为 称的 之。集
设有A 集 ， B， 合则 A与 B的并：A B { x | x A 或 x B }； A与 B的交：A B { x | x A 且 x B }； A与 B的差：A－B A \ B { x | x A 且 x B }； A的补集（或余集）：A I A ( 或记为AC )。
反过来, 若 y Y, 存在唯一的 x X 使得 y = f ( x ), 则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。
3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。
X
.x1 .x2 .x3
f
Y
.y1 .y2
Rf
2. 映射的种类
满射 ：Y中的任意元素y都是X中的某元素的 像； 单射：如果 不相等x 1，x 2 X，存在唯一
的 y1 = f ( x 1)不等于y2= f ( x 2)
一一对应（满射） 设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。 如果 x X，存在唯一的 y = f ( x ) Y 与之对应；
本章学习要求： ▪ 正确理解集合和映射概念。 ▪ 掌握集合和元素的关系，集合的表示方法；映射的种类。 ▪ 正确理解集合的运算法则，并能够正确使用。
第一节 集合与映射
一、集合的基本概念 二、集合的基本运算 三、映射的基本概念
一、集合的基本概念
1. 集合
所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一 个整体来考虑的结果。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。（唯一，互异，无序）
二、集合的基本运算
1. 集合运算的概念
为了研究和叙述 便上 ，我 的 们方 ，我们I常常 或U来表示所 虑考 表示所 象考 （元素）的全构体所 成的集合，为 称的 之。集
设有A 集 ， B， 合则 A与 B的并：A B { x | x A 或 x B }； A与 B的交：A B { x | x A 且 x B }； A与 B的差：A－B A \ B { x | x A 且 x B }； A的补集（或余集）：A I A ( 或记为AC )。
反过来, 若 y Y, 存在唯一的 x X 使得 y = f ( x ), 则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。
3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。
X
.x1 .x2 .x3
f
Y
.y1 .y2
Rf
2. 映射的种类
满射 ：Y中的任意元素y都是X中的某元素的 像； 单射：如果 不相等x 1，x 2 X，存在唯一
的 y1 = f ( x 1)不等于y2= f ( x 2)
一一对应（满射） 设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。 如果 x X，存在唯一的 y = f ( x ) Y 与之对应；
01 Chapter1 集合与映射(10-09)
A\ B A B
C
3. 集合运算的性质 1 .交换律 A B B A , A B B A 2 . 结合律 ( A B) D A ( B D)
( A B) D A ( B D)
3 .分配律 4 . 对偶律 ( De Morgan公式 )
a
x
( X [ a , b ] )
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b
x
x X
(定义域) • 定义域
f
y f ( X ) y y f ( x), x X
(值域)
(对应规则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.（自然定义域） • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦函数
定义域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域
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值域
2 x , 0 x 1 例4. 已知函数 y f ( x) 1 x , x 1
求 f ( 1 ) 及 f ( 1 ) , 并写出定义域及值域 . 2 t 解: f ( 1 ) 2 2
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要注意，映射f和g的复合是有顺序的，这就是说，
f◦g有意义并不意味g◦f也一定有意义。即使都有意义 即Rg Df 与Rf Dg都满足，复合映射f◦g与g◦f一般来 讲也是不同的。例如： 特别地，若将f与它的逆映射f -1进行复合，则得到
下述两恒等映射。
f f ( y ) y, y R f f 1 f ( x) x, x X
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
集合论与图论SeTheoryandGraphTheory
集合论与图论
REPORTING
https://
• 集合论基础 • 图论基础 • 集合论与图论的联系 • 集合论与图论的应用 • 集合论与图论的未来发展
目录
PART 01
集合论基础
REPORTING
WENKU DESIGN
集合的定义与性质
总结词
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。集合具有确定性、互异性和无序性等基本 性质。
离散概率论
离散概率论是计算机科学中研究离散随机事件的数学分支，集合论 为其提供了数学框架，用于描述概率空间和随机事件。
计算机科学中的图论应用
01
02
03
计算机网络
图论在计算机网络中用于 描述网络拓扑结构、路由 算法、最短路径算法等问 题。
操作系统
操作系统的进程管理和通 信可以通过图论进行建模 和分析，例如进程间的依 赖关系和通信路径。
集合论与图论的结合将在计算机科学中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思路 和方法。
集合论与图论的交叉研究在其他学科的应用前景广泛
集合论与图论的交叉研究将在其他学科中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思 路和方法。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
集合论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着计算机科学的飞速发展，集合论在数据结构、算法设计、离散概率论等领域的应用将更加广 泛和深入。
图论的发展趋势
图论与其他数学分支的结合将更加紧密
图论与代数、拓扑、组合数学等分支的结合将更加紧密，推动图论理论的进一步丰富和发展。
图论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着大数据和人工智能的兴起，图论在数据挖掘、机器学习、社交网络分析等领域的应用将更加广泛和深入。
REPORTING
https://
• 集合论基础 • 图论基础 • 集合论与图论的联系 • 集合论与图论的应用 • 集合论与图论的未来发展
目录
PART 01
集合论基础
REPORTING
WENKU DESIGN
集合的定义与性质
总结词
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。集合具有确定性、互异性和无序性等基本 性质。
离散概率论
离散概率论是计算机科学中研究离散随机事件的数学分支，集合论 为其提供了数学框架，用于描述概率空间和随机事件。
计算机科学中的图论应用
01
02
03
计算机网络
图论在计算机网络中用于 描述网络拓扑结构、路由 算法、最短路径算法等问 题。
操作系统
操作系统的进程管理和通 信可以通过图论进行建模 和分析，例如进程间的依 赖关系和通信路径。
集合论与图论的结合将在计算机科学中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思路 和方法。
集合论与图论的交叉研究在其他学科的应用前景广泛
集合论与图论的交叉研究将在其他学科中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思 路和方法。
THANKS
感谢观看
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集合论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着计算机科学的飞速发展，集合论在数据结构、算法设计、离散概率论等领域的应用将更加广 泛和深入。
图论的发展趋势
图论与其他数学分支的结合将更加紧密
图论与代数、拓扑、组合数学等分支的结合将更加紧密，推动图论理论的进一步丰富和发展。
图论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着大数据和人工智能的兴起，图论在数据挖掘、机器学习、社交网络分析等领域的应用将更加广泛和深入。
数学分析 第一章 集合与映射
(2) 复合映射 引例.
X
手电筒 复合映射
X
X1
X2
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定义1.2.3
设有映射链
g
xX
u
g(x)
g(X
)
u X1 f
则当 g(X ) X 1 时, 由上述映射链可定义由 X 到 Y 的复
合映射 , 记作
或 f g(x), x X .
g(X )
注意: 构成复合映射的条件 g(X ) X 1不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形.
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 逆像（也称为原像）. 集合 X 称为映射 f 的定义域 ，记为Df=X; Y 的子集
f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 ,记为Rf 。
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
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函数的性质
函数f(x)在I上有上界 函数f(x)在I上无上界 函数f(x)在I上有下界 函数f(x)在I上无下界 函数f(x)在I上有界 函数f(x)在I上无界
定义
MR, xI, 都有f (x)M MR, x0I, 都有f (x0)>M mR, xI, 都有f (x)m mR, x0I, 都有f (x0)<m MR, xI, 都有|f (x)|M MR, x0I, 都有|f (x0)|>M
ax bx
( X [ a , b ] )
x X f y f (X ) y y f (x), x X
(定义域)
(对应规则)
(值域)
• 定义域
集合论与图论
答疑
时间： （待定） 地点： 理科楼群#1，1625室 电话： 62765818 Email：
liu_tian@ liutian@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田北京大学计算机系 2001年2月
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册， ， 耿素云，北大出版社，1998年2月
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 ， 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
内容介绍
《离散数学》
《集合论与图论》 《代数结构与组合数学》 《数理逻辑》
内容介绍
《集合论与图论》
第一部分 集合论
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 集合 二元关系 函数 自然数 基数
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章 图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
进度安排
第1周 第2--7周 第8--17周 第8、15周 第18周 预备知识（数理逻辑） 集合论（6周） 图论（10周） 测验（2次） （机动）
成绩评定
书面作业占10%，4--5题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
作业
时间：每周日交上周作业，下周日发回 顺序：每次交一个班，1、2、3班轮流 讲解：每次作业都有课上讲解 要求：正确、完全、简洁、清楚 Correct，Complete，Concise，Clear 提示：独立完成作业，可以讨论，但要 杜绝抄袭
高等数学——集合与映射ppt课件
.
5
2Hale Waihona Puke 集合的表示法表示集合的方法有两种:
(1) 列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用
(2)
花括号括上。
(2) 描述将 法集 ： A中 合元 x所 素具有的 p(x)列 特出 性 来表示如下 A{x| x具有特 p(x)}性 。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得
重复出现。（唯一，互异，无序）
高等数 学
第一讲 集合与映射
授课教师：陈艺华
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1
第一章 集合与映射
本章学习要求： ▪ 正确理解集合和映射概念。 ▪ 掌握集合和元素的关系，集合的表示方法；映射的种类。 ▪ 正确理解集合的运算法则，并能够正确使用。
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第一节 集合与映射
一、集合的基本概念 二、集合的基本运算 三、映射的基本概念
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3
D (f) A ; R (f) f(A ) . { y |y f(x )x , A } 。9
注意：
1) 映射是集合间的一种对应关系. 集合 X 、Y 中所含的元素不一定是数，可以是其它的一 些对象 ( 或事物 )。
2) 对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之 对应，这一点很重要，它说明集合间元素的 对应关系不一定就是映射。
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3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。
X
.x1 .x2 .x3
f
Y
.y1 .y2
Rf
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2. 映射的种类
满射 ：Y中的任意元素y都是X中的某元素的 像； 单射：如果 不相等x 1，x 2 X，存在唯一
的 y1 = f ( x 1)不等于y2= f ( x 2)
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