北京四中数学选修2-2【巩固练习】导数的应用--单调性(基础)

【巩固练习】
一、选择题 1．已知'()f x 图象如图3-3-1-5所示，则()y f x =的图象最有可能是图3-3-1-6中的（ ）
2．下列命题成立的是( )
A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0
B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数
C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存在
D ．若f ′(x )在(a ，b )上都存在，则f (x )必为单调函数
3. 函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
4．已知函数x x x f ln )(=，则（ ）
A ．在),0(+∞上递增
B ．在),0(+∞上递减
C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增
D ．在⎪⎭
⎫ ⎝⎛e 1,0上递减
5. 已知对任意实数x ，有f(-x)= -f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，'()0,'()0f x g x >>，则x<0
时( )
(A)'()0,'()0f x g x >> (B)'()0,'()0f x g x ><
(C)'()0,'()0f x g x <> (D)'()0,'()0f x g x <<
6．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )
A ．f (0)＋f (2)<2f (1)
B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)
C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)
D ．f (0)＋f (2)>2f (1)
7．若函数y=x 5―x 3―2x ，则下列判断正确的是（ ）
A ．在区间（―1，1）内函数为增函数
B ．在区间（―∞，―1）内函数为减函数
C ．在区间（－∞，1）内函数为减函数
D ．在区间（1，+∞）内函数为增函数
二、填空题
8．函数3
()f x x x =-的单调增区间是________和________，单调减区间是________。

9．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是____________．
10．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．
11．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________． 三、解答题
12．确定下列函数的单调区间
(1) y =x 3－9x 2+24x (2) y =3x －x 3
13．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a 、b 的值；
(2)讨论函数f (x )的单调性．
14．已知函数f(x)=ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数，求a 的取值范围。

15．（2008年北京）已知函数22()(1)(1)
x b f x x x -=
≠-，求导函数'()f x ，并确定()f x 的单调区间。

【答案与解析】
1. 【答案】C.
【解析】 由'()f x 图象可知，'()00f x x >⇒<或x ＞2；'()0f x <，0＜x ＜2。

2. 【答案】B.
【解析】 若f (x )在(a ，b )内是增函数，则f ′(x )≥0，故A 错；f (x )在(a ，b )内是单
调函数与f ′(x )是否存在无必然联系，故C 错；f (x )＝2在(a ，b )上的导数为f ′(x )＝0存在，但f (x )无单调性，故D 错．
3. 【答案】D.
【解析】 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，
令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.
4. 【答案】D.
【解析】 ()ln 1f x x '=+，1(0,)'()0x f x e
∈∴<时，lnx<-1,，所以选D.
5. 【答案】B.
【解析】 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单
调性相同(反)，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.
6. 【答案】 C
【解析】 由(x －1)f ′(x )≥0得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递
减或f (x )恒为常数， 故f (0)＋f (2)≥2f (1)．故应选C.
7. 【答案】D.
【解析】 422'532(52)(1)(1)y x x x x x =--=+-+，1x >当时，y'>0，故选D
8. 【答案】,3⎛-∞- ⎝⎭ 3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
33⎛- ⎝⎭
【解析】 求导，然后解不等式。

9． 【答案】
,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】 y ′＝x cos x ，当－π<x <－2
π时，cos x <0，∴y ′＝x cos x >0， 当0<x < 2
π时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0. 10. 【答案】 (－∞，－1)
【解析】 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <
12， ∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)．
11. 【答案】 [3，＋∞)
【解析】 y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax <0在区间(0,2)内恒成立，
即a >
32
x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3. 12. 【解析】
(1) 解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4)
令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.
∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4
.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)
(2) 解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1)
令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1.
∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.
∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
13．【解析】
(1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .
由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)， 所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，
解得a ＝1，b ＝－3.
(2)由a ＝1，b ＝－3得
f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．
令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；
当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；
当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．
14. 【解析】
2()3610,f x ax x '=+-≤ 所以003036120
a a a a <<⎧⎧⇒⇒≤-⎨⎨∆≤+≤⎩⎩ 。

15．【解析】
24
2(1)(2)2(1)'()(1)x x b x f x x ---⋅-=- 332222[(1)](1)(1)
x b x b x x -+----==--。

令'()0f x =，得x=b ―1。

（1）当b―1＜1，即b＜2时，'()
f x的变化情况如下表：
（2）当b－1＞1，即b＞2时，'()
f x的变化情况如下表：
所以，当b＜2时，函数()
f x在（－∞，b―1）上单调递减，
在（b―1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当b＞2时，函数()
f x在（－∞，1）上单调递减，
在（1，b―1）上单调递增，在（b―1，+∞）上单调递减。

当b =2时，
2
()
1
f x
x
=
-
，
2
2
'()0
(1)
f x
x
=-<
-
，所以函数()
f x在（―∞，1）和（1，+∞）上单调递减。