高二数学选择性必修一第一次月考(答案答题卡主页搜索)

通榆一中2021级高二上学期第一次质量检测
数学试卷
命题人：
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A. {a ⃗ ，a ⃗ +b ⃗ ，a ⃗ −b}⃗⃗⃗
B. {b ⃗ ,a ⃗ +b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ }
C. {c ⃗ ,a ⃗ +b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ }
D. {a ⃗ +b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ ,2a ⃗ +b ⃗ }
2. 已知A ，B ，C 三点不共线，对空间内任意一点O ，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18
OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P ，A ，B ，C 四点( )
A. 不共面
B. 共面
C. 不一定共面
D. 无法判断是否共面
3. 已知直线l 1、l 2的方向向量分别为a ⃗ =(1,2,−2)、b ⃗ =(−2,1,m)，若l 1⊥l 2，则m 等于( )
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
4. 已知向量a ⃗ =(−1,2,1)，b ⃗ =(3,x,y)，且a ⃗ //b ⃗ ，那么|b ⃗ |=( )
A. 3√6
B. 6
C. 9
D. 18
5. 如图所示，空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗
=c ⃗ ，点M 在OA 上，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为BC 中点，则MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 12a ⃗ −23b ⃗ +12c ⃗ B. −23a ⃗ +12b ⃗ +1
2c ⃗
C. 1
2a ⃗ +1
2b ⃗ −2
3c ⃗ D. 2
3a ⃗ +2
3b ⃗ −1
2
c ⃗ 6. 已知空间向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=2π3
，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −√5−5 B. -√5
C. −√5+5
D. √5+5
7. 若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是a →
=(0,−2,−1)，b ⃗ =(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角
的余弦值等于( )
A. −2
5
B. 2
5
C. −2√5
5 D. 2√55
8. 已知O 为坐标原点，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，
则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，点Q 的坐标为( ) A. (12,34,1
3)
B. (12,32,3
4)
C. (43,43,8
3)
D. (43,43,7
3)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列命题中，正确的有( )
A. n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ 分别是平面α，β的法向量，若α // β，则n 1⃗⃗⃗⃗ //n 2⃗⃗⃗⃗
B. n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ 分别是平面α，β的法向量，若n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0，则α⊥β
C. n
⃗ 是平面α的法向量，a ⃗ 是直线l 的方向向量，若n ⃗ ⋅a ⃗ =0，则l// α D. n
⃗ 是平面α的法向量，a ⃗ 是直线l 的方向向量，若<n ⃗ ，a ⃗ >=120°，则l 与平面α所成角为60° 10. 空间直角坐标系O −xyz 中，已知A (1,2,−2),B (0,1,1)，下列结论正确的有( )
A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,3)
B. 若m ⃗⃗⃗ =(2,1,1)，则m ⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗
C. 点A 关于xOy 平面对称的点的坐标为(1,−2,2)
D. |AB|=√5
11. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)， AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−1)，则下列结论正确的有( ) A. |AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6 B. AP ⊥AD C. AP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. |AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |=√53 12. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则下列结论正确的是( ) A.直线BD 1⊥平面A 1C 1D
B.三棱锥P −A 1C 1D 的体积为定值
C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π4,π
2] D.直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为√6
3
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a ⃗ =(x,2,−1)，b ⃗ =(2,1,0)，|a ⃗ |=√5，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ．
14. 已知直线l 的方向向量为(2,m,1)，平面α的法向量为(1,1
2,2)，且l//α，那么m = ． 15. 已知空间向量a ⃗ =(3,0,4)，b ⃗ =(−3,2,1)，则向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影向量是__________． 16. 点A(1,2,1)，B(3,3,2)，C(λ+1,4,3)，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角，则λ的取值范围为__________． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（10分）已知空间向量a ⃗ =(2,4,−2)，b ⃗ =(−1,0,2)，c ⃗ =(x,2,−1)． (1)若a ⃗ //c ⃗ ，求|c ⃗ |；(2)若b ⃗ ⊥c ⃗ ，求(a ⃗ −c ⃗ )⋅(2b ⃗ +c ⃗ )的值．
18.（12分）在棱长是2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，A 1C 的中点． (1)证明：EF//平面AA 1D 1D ；(2)证明：EF ⊥平面A 1CD ．
19.（12分）如图，棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =2√2 (1)求证：BD ⊥平面PAC; (2)求点C 到平面PBD 的距离．
20.（12分）如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ．
(1)求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值; (2)求二面角A −PC −B 的余弦值．
21.（12分）如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，AD =DC =2，AB =4，现将△ADC 所在平面沿对角线AC 翻折，使点D 翻折至点P ，且成直二面角P −AC −B ． (1)证明：平面PBC ⊥平面PAC ；
(2)若异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为1
4，求二面角B −PA −C
的余弦值；
22.（12分）如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD =AD ，N 为线段BC 上的动点． (1)证明：平面MND ⊥平面PBC ；
(2)当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位
置，并说明理由．。