生命表函数与生命表构造

1 1 1 1 1 d t d t d t ... d 1 l0 2 t 0 t 1 t 2

1 1 1 1 1 [ d 0 (1 )d1 (2 )d 2 .... ( 1 )d 1 ] l0 2 2 2 2 (3.11)
ln
s ( x n) ln n p x s ( x)
xn x
故 n p x exp(
y dy) exp( x s ds
0 t 0
n
同样，对于t p x exp( x s ds)
• 死亡效力与生存函数的关系
s ( x) exp{ s ds}
0 x
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g (t )
s ( x) s ( x t ) G (t ) 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
• 概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k px qx k k qx
设S ( x)为( x)在死亡年所活过的不足 一年的部分，它是（ 0， 1 ）上的连续分布
T（x）=K(x)+S(x)
n t 0
p x x t dt 1
根据死亡力的定义公式 ，容易得出
n
q x t p x x t dt
0
nm
qx
nm t
n
p x x t dt
死亡效力
• 死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
本章重点
• 生命表函数
– 生存函数 – 剩余寿命 – 死亡效力
• 生命表的构造
– – – – 有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
• 有关分数年龄的三种假定
本章中英文单词对照
• • • • • • • 死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表
2 2 0

o 2
整值剩余寿命的期望与方差
( x )整值剩余寿命的期望值(均 • 期望整值剩余寿命： 值),简记 e
x
ex E ( K ( x)) k k px qx k k 1 px
k 0 k 0


• 整值剩余寿命的方差
Var ( K ( x)) E ( K ) E ( K ) (2k 1) k 1 px ex
nm
q x 表示x岁的人在x n ~ x n m岁之间死亡的概率，定 义为：
m
d xn lxn lxnm q＝ n p x n m p x n p x m q x n nm x lx lx
n m qx n 1 qx n qx 其中， n 0 qx 0 q p n x n x
t 0 n 1
n
4.
n
Lx
Lx . x岁的人在x ~ x n岁生存的人年数。人年 数是
表示人群存活时间的复 合单位， 1个人存活了 1年是1人年， 在死亡均匀分布的假设 下，x ~ x n岁的死亡人数n d x平均 来说存活了n / 2年，而活到l x n岁的人存活了 n年，故 n n l x lx＋n n Lx n l x n＋ n d x 2 2 1 当n 1时，有Lx l x l x 1 2
o
o
当x为0时， e 表示出生时的平均余寿 ，表示同一批人从出生 到死亡 平均每人存活的年数。 假设死亡在每个年龄上 均匀分布，即 Lx e0 ＝
o
1 (l x l x 1） 2
T0 1 L0 L1 ... L 1 l0 l 0
1 1 (l0 l1 ) (l1 l2 ) ....(l 1 l ) l0 2
X岁余寿的生存函数
• 定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能 继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 • 分布函数G(t)=Pr(T(x)<t) ： t qx
t
qx Pr(T ( X ) t ) pr ( x X x t X x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
• • • • • • •
Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables
第一节 生命表基本函数
生命表基本函数
m 1 m0 m
第二节 生存分布
• 定义
• • • •
s( x) Pr(X x)
意义：新生儿能活到x岁的概率。 与分布函数的关系：s( x) 1 F ( x) 与密度函数的关系： f ( x) S ( x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr( x X z) s( x) s( z)
2 2 k 0

2
死亡效力
死亡效力
s( x) f ( x) x ln[ s( x)] s ( x) s ( x)
对上式两边从 x到x n积分，有
xn
y dy
x
xn

x
s ( y ) dy ln s ( y ) s( y)
xn x
[ln(x n) ln s ( x)]
：x岁的人将在1年内去世的概率
qx
：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世 的概率 t u qx
tu
qx t u qx t qx t px t u px
整值剩余寿命
( x ) 未来存活的完整年数，简记 K ( x) • 定义：
K ( X ) k, k T ( x) k 1, k 0,1,
0 1
生命表x岁累积生存人年数 Tx 正是生存人数函数 l x t 在0 ~ 上的积分，故 Tx l x t dt
0
lx t ex 0 所以， dt t p x dt 0 lx
o
ex (t. p
t
o
x
)
0
E T ( x)
t t p x x t dt
n
dx
2.
n
d x。在x ~ x n岁死亡的人数。当 n＝1时，简记为d x。
l0 d 0 l1 , l1 d1 l2 一般有，l x n d x l x n 由于在生命表最高年龄 上存活的人数为 0，即l 0， 因此0岁存活人数等于各个年 龄上死亡人数之和。 l0 d x
0

利用分部积分法，容易 证明：


0
t t p x x t dt

0
d ( t p x ) tdt t p x t dt Nhomakorabea 0
t
0
p x dt
t
0
p x dt
整值平均余寿与中值余寿
x岁的整值平均余寿是指 x岁的人未来平均存活的 整数年数，不包括 不满一年的零数余寿， 它是整值余寿随机变量 K ( x )的期望值，以 ex 表示： ex E ( K ( x )) k k p x q x k k k q x
dx
1.58 0.68 0.49 0.44
1000qx
生命表基本函数
1. l x。存活到确切整数年龄 x岁的人口数，x 0,1,..., 1。 确切年龄：从出生到测 算时点已存活的时间。 完全年龄：从出生到测 算时点已存活的整数年 数。 l0：同时出生的一批人数
：人口生命极限年龄， 是生命表的年龄上限， 人 口存活的最高年龄为 －1
看书上例题3.5 3.6
生命表x岁死亡的人数d x 正是生存人数函数 l x t 与死亡力 x t 在0 ~ 1上的积分，故 d x l x t x t dt
0 1
生命表x岁生存人年数L x 正是生存人数函数 l x t 在0 ~ 1上的积分，故 Lx l x t dt
剩余寿命
• 剩余寿命的生存函数t px：
t
px Pr(T ( x) t ) Pr( X x t X t ) s( x t ) s ( x)
• 特别：
x
p0 s( x)
剩余寿命
•
• •
：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px
p x 1 px qx 1 qx
1 1 1 (t )d t l0 t 0 2
运用生命表基本函数， 可以定义和表述寿险精 算中常用 的死亡概率。以 q 表示x岁的人存活n年并在第n 1年死亡 n x 的概率，或第x岁的人在x n ~ x n 1岁死亡的概率。 d xn lxn d xn q ＝ n p x n q x (3.12) n x lx lx lxn
0 t
x
px exp{ s ds}
x
x t
引入死亡力函数后，可 以推出T（x)的概率密度函数， 它是G（x)的导数，表示为 g (t )，即 d d s( x t ) g (t ) G(t ) t q x 1 dt dt s ( x) s ( x t ) s( x t ) t p x x t s ( x) s ( x t ) 其中，t 0 显然，有
x 0
1
n
3.
n
qx
q x . x岁的人在x ~ x n岁死亡的概率，当 n＝ 1时，简记为q x。
n
d x d x d x 1 ... d x n 1 q x 1 q x 2 q x ... n 1 q x n q x＝ lx lx t qx
生命表基本函数是反映 在封闭人口的条件下， 一批人从出生 后陆续死亡的全部过程 的一种统计表，封闭人 口是指所观察的 一批人口只有死亡变动 ，没有因出生的新增人 口和迁入或 迁出人口。
某生命表节选
年龄x 0 1 2 3
lx
1000000 998420 997740 997255 1580 680 485 435
Tx
5 Tx x岁的人群未来累积生存 人年数。 Tx Lx Lx 1 .... L 1

x 1
t 0
L
x t
(3.8)
在均匀分布的假设下， 有 1 Tx l x i l x i 1 i 0 2 (3.9)
ex
o
6
e x x岁人群的平均余寿，表 明未来平均存活的时间 。 o l T e x ＝ x t p x dt x t dt (3.10) 0 0 lx lx
剩余寿命的期望与方差
• 期望剩余寿命： ( x ) 剩余寿命的期望值(均值),简记 e x
o
ex E (T ( x)) td (1 t px ) t px dt
0 0
o


• 剩余寿命的方差
Var (T ( x)) E (T ( x) ) E (T ( x)) 2 t t px dt ex
k 0 k 0
由于 px t qx
t 1 2
px t qx
t 2

......... 故
k
k 0

k
q x＝1 q x 2 q x 3 q x ........ 2 q x 3 q x ........ 3 q x ........
k 1 q x